Boussinesq方程新的精确解

杨琼芬 杜先云 杨立娟

（绵阳师范学院数学与计算机科学学院 绵阳 621000）

0 引 言

随着非线性科学技术的不断发展，非线性科学理论的研究问题在自然科学和社会科学领域当中正在蓬勃发展.构造非线性发展方程精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.目前，人们已经发现了很多有效的求解方法，如双曲正切函数法［1］，齐 次 平 衡 法［2］，试 探 函 数 法［3］，辅 助 方 程法［4］，EXP－函数展开法［5］等.

试探函数法是一种行之有效的用于求解非线性偏微分方程的方法，本文利用函数变换与双线性算子相结合的方法，构造Boussinesq方程新的精确解.

经典的Boussinesq方程形如

式中：u（x，t）为流体自由表面的运动；正常数a，b依赖于流体的深度和长波的特征速度.

Boussinesq方程是一种能够描述规则波和不规则波在复杂地形上发生浅化、折射、绕射和反射效应相当有效的数学模型.1871年Boussinesq考虑垂向流速及压强分布的影响，假定垂向流速从底面零线性增加到自由表面的最大值，得到了Boussinesq方程.考虑波浪传播的非线性变化，1967年Peregrine推导了变水深条件下浅水区波浪传播的Boussinesq方程.后来Boussinesq方程也适用于其他的物理应用中，如等离子体中的离子声波等，由于它可以用来描述2个相反方向传播的Kdv孤波，也可以描述一维非线性晶格的振动［6］，因此，Boussinesq方程的研究受到许多学者的关注［7］.

1 Boussinesq方程的精确解

式中：f为待定函数.

将式（2）代入式（1）成双线性形式

再将f（x，t）代人式（2）得到原方程（1）的大量的新的精确解，包括实数解，复数解为u（x，t）＝

即得到原方程的一个新的通解.

再将式（12）代人式（2）得到原方程的一个精确解为

为了对解的结构有一个清楚的认识，借助于Maple，画出了解式（13）对应的解的波形图如图1所示.

图1 解式（13）对应的解的波形图

2 结束语

根据齐次平衡原则，试探函数法并利用双线性形式求出了Boussinesq方程一些精确解，包括实数解，复数解.当参数取不同的值，可以得到不同形式的新的精确解.在利用试探函数法时引进了新的函数，且采用了双线性形式使式子看起来更为简单.其解都是新解，且这些解对于解释一些物理现象有一定的意义.

［1］Parkes E J，Duffy B R.An automated tanh－function method for finding solitary wave solutions to nonlinear evolution equation［J］.Comp.Phys.Commun，1996，98：288－300.

［2］Wang Mingliang.Solitary wave solutions for variant Boussinesq quations［J］.Phys.Lett.A，1995，199：69－172.

［3］Kudryashow N A.Exact solutions of the generalized Kuramoto－Sivashinsky equations［J］.Phy.Lett.A ，1990，147（5－6）：287－291.

［4］Sirendaoreji，Sun J.Auxiliary equation method for solving nonlinear Partial differential equation［J］.Phys.Lett.A，2003，309：387－396.

［5］He J H，Wu X H.Exp–function method for nonlinear wave equations［J］.Chaos Solitons Fract ，2006，30：700－708.

［6］Deift P，Tomei C，Trubowitz E.Inverse scttering and the Boussinesq equation［J］.Pure Appl Math，1982，35（5）：567－628.

［7］吴勇旗.（2＋1）维Boussinesq方程的新的周期解［J］.物理学报，2008，57（9）：5390－5394.