Bloch型空间到Zygmund型空间的广义Cesàro算子和复合算子的积

欧阳小荣

(浙江师范大学数理信息与工程学院,浙江金华321004)

Bloch型空间到Zygmund型空间的广义Cesàro算子和复合算子的积

欧阳小荣

(浙江师范大学数理信息与工程学院,浙江金华321004)

ω和μ是[0,1)上的正规函数,g是单位球Bn上的全纯函数,φ是Bn上的全纯自映射,由g和φ诱导的算从Bloch型空间到Zygmund型空间有界和紧的充要条件.

Bloch型空间;Zygmund型空间;Cesàro算子;复合算子;有界性;紧性

MSC 2000:47B38

0 引言

以Bn={z∈Cn∶|z|<1}表示Cn上的单位球,H(Bn)表示Bn上全纯函数的全体.设z=(z1,…,zn),w =(w1,…,wn)是Cn中的两点,其内积定义为,其径向导数和梯度分别是

于是,当f∈H(Bn)时其中|α|=α1+α2+…+αn.

给定区间[0,1)上的正值连续函数ω,如果存在0≤δ<1和0

Bn上的Bloch型空间Βω和小Bloch型空间Βω,0分别定义为:

在范数‖f‖Βω=|f(0)|+‖f‖ω下,容易验证Bloch型空间和小Bloch型空间都是Banach空间.对这个空间的研究可见文[1]、[2]等.进一步,若取ω(r)=(1-r2)α,分别取α=1和0<α<1,则Βω是Bloch空间和Lipschitz空间.对Bloch空间和Lipschitz空间的研究可见文[8]、[9]、[10]等.

给定正规函数μ(z)=μ(|z|),Bn上的Zygmund型空间定义为:

其中,μ(z)=μ(|z|).进一步,称f属于小Zygmund空间Ζμ,0,如果f∈Ζμ且满足

容易验证Ζμ和Ζμ,0在范数

下是Banach空间.

设g∈H(Bn),H(Bn)上的广义Cesàro算子Tg定义为:

φ=(φ1,…,φn)是Bn上的全纯自映射,复合算子Cφ定义为:

广义Cesàro算子和复合算子的积为:

通过计算有:

其中,ℜφ(z)=(ℜφ1(z),…,ℜφn(z)).以下所出现的φ和ℜφ(z)都如这里所述.若n=1,g=φ,φ(0)=0,该算子就是Volterra型复合算子;若φ(z)=z,该算子就是广义Cesàro算子(见文[4]、[6]、[7]).在文[3],Li首先引入算子TgCφ,并研究了该算子从H∞和Bloch空间到Zygmund空间的有界性和紧性.之后,Li和Stevic在文[10]又研究了该算子在Bloch空间上的有界性和紧性.本文主要研究TgCφ在单位球Bn上从Bloch型空间到Zygmund型空间的算子有界性和紧性.文[3]中的部分结果正好是本文在n=1,ω (r)=1-r2时的结果.

本文涉及的C表示正常数,在不同的位置可表示不同的数.A⋍B表示存在常数C使得

1 TgCφ的有界性

为了研究TgCφ的有界性,我们先引入几个引理.引理1[6]设f∈Βω,则

文章所出现的函数h都如这里所述.

引理2 给定正规函数ω,则h∈H(Bn),|h(z)|≤h(|z|)∈R,z∈Bn.且

进一步,对任意的r∈(0,1),ω(r)⋍ω(r2).

证明 可参见文[5].

定理1 设g∈H(Bn),φ是Bn上的全纯自映射.则下列各条款等价:

(i)TgCφ∶Βω→Ζμ有界;

(ii)TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界;

证明 (i)⇒(ii)是显然的.

(iii)⇒(i).对任意的f∈Βω,有:

由(2)、(3)、(4)、(6)、(7)、(9)式得:

结合(8)式得:

(i)⇒(iii).首先,假设TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界.令f(z)=1,则(f°φ)(z)=1,ℜ(f°φ)(z)=0,由(8)、(2)式及TgCφ的有界性得:

再令f(z)=z,由(8)、(2)、(10)式知:

对任意w∈Bn,令

其次,设w∈Bn,当|φ(w)|≤δ,δ∈(0,1),显然有:

当δ<|φ(w)|<1时,令

由引理2知,

由TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界.故对任意的w∈Bn,有:

定理证完.

定理2 设g∈H(Bn),φ是Bn上的全纯自映射,则TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0有界的充要条件是TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界,且

成立.

证明 必要性 假设TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0有界,则TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界,且对任意的f∈Βω,0有TgCφf∈Ζμ,0.取f(z)=1,则

取f(z)=z,则

所以(12)、(13)式成立.

充分性 设p是一多项式,由(13)、(14)式知,当|z|→1时,

所以TgCφp∈Ζμ,0.又因为多项式集是Βω,0中的稠密集,所以对任意的f∈Βω,0,存在多项式列{pk}k∈N＊,使得‖Pk-f‖Βω→0,(k→∞).于是,对任意的f∈Βω,0,当k→∞时,由TgCφ∶Βω,0→Ζμ的有界性,

所以TgCφf∈Ζμ,0.由闭图像定理,所以TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0有界.定理证毕.

2 TgCφ的紧性

引理3 闭集K⊂Ζμ,0是紧集当且仅当K有界且满足:

证明 类似于文[11]中引理1.

引理4 设g∈H(Bn),φ是Bn上的全纯自映射,有界算子TgCφ∶Βω(Βω,0)→Ζμ是紧算子当且仅当对Βω(Βω,0)中任意有界且在Bn内内闭一致收敛于零的序列{fk}k∈N＊有‖TgCφfk‖μ→0(k→∞).

定理3 设g∈H(Bn),φ是Bn上的全纯自映射,TgCφ∶Βω→Ζμ有界.则下列各条款等价:

(i)TgCφ∶Βω→Ζμ是紧算子;

(ii)TgCφ∶Βω,0→Ζμ是紧算子;

证明 (iii)→(i).设(15)、(16)式成立,则对任意的ε>0,存在δ∈(0,1),当δ<|φ(z)|<1时,有:

由于{fk}与{▽fk}在Bn内内闭一致收敛以及ε的任意性知,当k→∞时,

由引理4知TgCφ∶Βω→Ζμ是紧算子.

(ii)→(iii).事实上,(16)式的成立等价于

设{zk}k∈N＊是Bn中的序列,满足|φ(zk)|→1(k→∞).令

则fk∈Βω,0,‖fk‖Βω≤C.且

由(5)和(2)式得:

由TgCφ的紧性可得(16)式.

对上述的{zk},令

于是,由引理2得:

由于TgCφ的紧性和(16)式成立,得:

定理证毕.

定理4 设g∈H(Bn),φ是Bn上的全纯自映射,则下列各条款等价:

(i)TgCφ∶Βω→Ζμ,0是紧算子;

(ii)TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0是紧算子;

证 (i)→(ii)是显然的.

(iii)→(i).由引理3知,TgCφ∶Βω→Ζμ,0是紧算子当且仅当

设‖f‖Βω≤1,由(19)、(20)式得:

所以TgCφ∶Βω→Ζμ,0是紧的.

(ii)→(iii).假设TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0是紧的,则TgCφ∶Βω,0→Ζμ是紧算子.由定理3(15)式知,对任意的ε>0,存在δ∈(0,1),使得当δ<|φ(z)|<1时,有:

因为TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0是紧算子,所以TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0有界,由定理2知:

故对上述的ε,存在r∈(0,1),使得当r<|z|<1时,有:

因此,当δ<|φ(z)|<1,r<|z|<1时,

当|φ(z)|≤δ,r<|z|<1时,

由(21)、(22)式及ε的任意性可得(15)式.同样的方法可得到(16)式.证毕.

致谢:衷心感谢胡璋剑教授的精心指导.

[1]ZHU K H.Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball[M].New York:Springer,2005:79～103.

[2]COWEN C C,MACCLUER B D.Composition Operators on Spaces of Analytic Functions[M].Boca Raton:Studies in Advanced Mathematics,CRC Press,1995:15～94.

[3]LI S X,STEVO S.Products of Volterra type operator and composition perator fromH∞and Bloch spaces to Zygμnd spaces[J].J Math Anal Appl,2008(345):40～52.

[4]HU ZJ.Extended Cesgrave aro operators on the Bloch space in the unit ball ofCn[J].Acta Math Sci Ser B Engl Ed, 2003,23(4):561～566.

[5]HU ZJ,WANG S S.Compositions operators on Bloch-type spaces[J].Proc Royal Soc Edinburgh,2005(135):1229～1239.

[6]TANG X M.Extended esgrave aro operators between Bloch-type spaces in the unit ball ofCn[J].J Math Anal Appl, 2007(326):1199～1211.

[7]ZHOU Z H,ZHU M.Extended Cesàro operators between generalized Besov spaces and Bloch type spaces in the unit ball[J].Journal of Function Spaces and Applications,2009,7(3):209～223.

[8]FL ETT TM.Lipschitz spaces offunctions on the circle and the disc[J].J Math Anal Appl,1972(39):125～158.

[9]JANSON S.Generalization on Lipschitz spaces nd applications to Hardy spaces and bounded mean oscillation[J].Duke Math J,1980(47):959～982.

[10]LI S X,STEVO S.Products of inegral-type operators and composition operators between Bloch-type spaces[J].J Math Anal Appl,2009,49(2):596～610.

[11]MADIGAN K,MATHESON A.Compact composition operators from Zygund spaces into Bloch spaces[J].Trans A-mer Math Soc,1995(347):2679～2687.

Products of ExtendedCesàroOperator and Composition Operator fromBloch-typeSpaces toZygmund-typeSpaces

OU YANG Xiao-rong
(College of Mathematica,Physics and Information Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)

Letωandμbe normal function,gbe holomorphic function on the unit ball andφbe holomorphic self-mapping ofBn.The operatorTgCφ∶Bω(Bω,0)→Zμ(Zμ,0)induced bygandφ,defined byTgCφfditions for the operatorTgCφfromBloch-ty pespaces toZy gmund-ty pespaces.

Bloch-ty pespaces;Zy gmund-ty pespaces;extended Cesàrooperator;composition operator

O175.14

A

1009-1734(2011)01-0018-07

2010-10-24;

2010-11-12

国家自然科学基金项目(10771064);浙江省自然科学基金项目(Y7080197,Y6090036,Y6100219).

欧阳小荣,浙江师范大学数理信息与工程学院2008级在读硕士,从事函数论研究.

MSC 2000:47B38