均匀圆阵多宽带LFM信号的二维DOA估计

李 昕， 辛元芳

（安徽理工大学 电气与信息工程学院，安徽 淮南 232001）

0 引言

随着宽带线性调频（LFM）信号在雷达目标检测、通信对抗等领域的广泛应用，LFM 信号的波达方向（DOA）估计成为阵列信号处理研究的前沿课题。分数阶傅里叶变换（FRFT）对LFM信号具有能量聚焦特性，用FRFT对LFM信号 DOA估计不存在交叉项干扰和较高的精度[1-3]。基于FRFT的LFM信号的时频空算法DOA估计成为新热点。

传统 DOA估计针对的是非相干窄带信号，如传统的MUSIC、ESPRIT算法及改进[4-6]。而对于宽带相干信号，传统算法性能会急剧下降，文献[7-8]针对相干信号的DOA估计进行了研究，但仍是基于相干窄带信号的DOA估计。文献[9]将窄带空时频分布(STFD)的求根-MUSIC算法推广到均匀线阵宽带相干信号的DOA估计。目前宽带LFM信号源的DOA估计算法主要是针对均匀线阵（ULA）的，如文献[1-2]是针对均匀线阵对宽带LFM信号的DOA高分辨估计，文献[3]针对均匀线阵结合Toeplitz矩阵重构法，对宽带LFM相干DOA估计。但是现实使用的天线阵以均匀圆阵较多，第三代移动通信基站系统中主要使用的就是均匀圆阵（UCA）接收天线[5]。均匀圆阵可以同时估计信号的方位角和俯仰角，在阵元数不少于8个时均匀圆阵可以提供360度的无模糊方位角，且在各方向上有相同方向特性。而均匀线阵只能提供180度的方位角，对信号的估计只是一维的方位角，对二维的DOA估计无能为力[10-11]。

针对均匀圆阵，利用FRFT对LFM信号聚焦能力，将观测信号变换为FRFT域的一系列平稳单频信号，在FRFT域建立阵列信号模型，应用MUSIC算法实现多个宽带LFM信号源的DOA估计。

1 均匀圆阵阵列模型

均匀圆阵由N个全向天线组成，均匀分布在平面内半径为r的圆周上，空间关系以球坐标系定义，圆周中心为接收天线的参考点，如图1所示。在高斯白噪声环境背景下，假设Q个远场互不相关的宽带LFM信号入射到均匀圆阵，方位角和俯仰角分别为φq和θq(q = 1 ,2,… ,Q )，则在均匀圆阵中第i个阵元接收到的信号为：

式中， sq(t)为第q个LFM信号，fq和µq分为第q个LFM信号的初始频率和调频率；τiq为路径延时；c为光速；ni(t)为高斯白噪声。

图1 均匀圆阵示意

2 二维DOA估计

信号 x (t)的分数阶傅里叶变换基本定义式：

式中p为FRFT阶次， α = pπ/2为p阶FRFT域相对时域的逆时针旋转角度， Fp是 FRFT算子。实际应用中一般采用运算量与FFT相当的分解型FRFT快速算法。

对于参考阵元接收到的第q个LFM信号 sq(t)，将其以fs采样频率进行离散化为：

则其离散分数阶傅里叶变换为：

根据 FRFT对 LFM 的能量聚集性，显然在 α =αq0，m=mq0， Sq( αq0,mq0)出现峰值。

同样，对于第i个阵元接收到的第q个 LFM 信号为si,q( t) = sq( t -τi,q)，显然第i个阵元相对参考阵元接收到的第q个LFM信号仅是产生了一个时延，而LFM信号延时后并不改变调频率，因此 si,q(t)离散化后的DFRFT Si,q(α,m)同样会在αq0处有最佳的能量聚集，其峰值出现的位置：mi,q= mq0+ fsτi,qcosαq0，幅度大小 Si,q( αq0, mi,q) = Aq( τi,q)⋅，Sq( αq0, mq0)反映了LFM信号延时后在FRFT域仅出现峰值位置和幅度的变化。由于时延τi,q二次项很小，可忽略不计，所以

由以上分析可知，由于LFM信号的FRFT是一种线性变换，所以对于同一个阵元接收到Q个LFM信号的叠加，会在FRFT域出现Q个峰值；不同阵元接收到的Q个信号，会在对应Q个相同阶次的FRFT域上出现明显能量聚集，仅是峰值出现的位置不同。因此可以通过选取峰值，实现具有不同时频特性的LFM信号，变换为FRFT域的一系列平稳单频信号，从而简化数据。

对式（1）进行DFRFT，则第q个信号在 (αq0,mk,q)位置具有相对应的峰值点近似为：

所有阵元的空间时频输出用向量表示，得到FRFT的空间时频分布数据模型：

根据以上模型，显然由于 Aq( τi,q)为第q个信号的FRFT方向向量，其值仅与时延τi,q有关，即仅与第q个信号俯仰角φq和方位角θq有关，且是时不变的，因此可以利用MUSIC算法进行DOA估计。

根据以上分析，可以给出针对均匀圆阵的FRFT-MUSIC算法的计算方法：

①对参考阵元上接收到的信号进行FRFT变换，并进行二维峰值搜索，得到 Q个 LFM 信号出现峰值的坐标

②计算各个阵元接收信号关于{(αq0)}Qq=1的FRFT变换，并得到峰值位置{(mi,q)}，由式（4）得空间时频输出向量X；

③计算相关矩阵 RXX=XXH，并对 RXX进行特征值分解，由小特征值对应的向量构成噪声子空间 UN；

④遍历θ和φ角，根据 MUSIC算法P(θq,φq)=得到LFM信号的FRFT-MUSIC空间谱估计，并进行二维峰值即搜索可得到θq和φq。

⑤当存在多个LFM信号时，重复④，即可得到各个信号的DOA估计。

3 仿真实验结果

Q=2个远场 LFM 信号，初始频率和调频率分别为f1= 9 MHz和µ1=-6 ×1 011Hz/s，f2= 1 2MHz和µ=1×1012Hz/s，入射角分别为 ( θ1,φ1) = (60°，170°)，(θ2,φ2)=(20°，50°)。采样频率为50 MHz，采样快拍数为1 024。图2分别给出了信噪比SNR＝10时，均匀圆阵的两个LFM信号的MUSIC谱 P (θ,φ)。由其峰值位置可以得到两个信号的入射角估计值分为(60.89°，170.31°)，(20.57°，50.23°)。

图2 两个LFM信号的二维空间谱（SNR=10）

取0～40 dB间隔5 dB的不同信噪比下各作100次独立实验，得到两信号估计的均方根误差（RMSE）与信噪比之间的关系如图3。

图3 RMSE随SNR变化曲线

仿真结果表明，针对均匀圆阵所提出的基于 FRFT和MUSIC算法的方法能够有效的对多个LFM信号的进行二维DOA估计。该方法不需要对LFM信号的初始频率进行估计，对于多个宽带LFM信号，也不存在交叉项的干扰，有较高的估计精度，且计算复杂度较小，适于实际工程中实现。

4 结语

针对均匀圆阵，利用LFM信号在FRFT域的聚集性，将具有不同时频特性LFM信号的分离，变换为FRFT域的一系列平稳单频信号，构造新的空时频分布模型数据，并结合传统MUSIC算法实现多个宽带LFM信号源的DOA估计。通过仿真结果表明在低信噪比条件下能够得到较好的估计性能。对于多宽带 LFM 信号，不存在交叉项的干扰，计算复杂度较小，且具有较高的估计精度。

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