Duffing混沌系统的全局快速Terminal滑模变结构控制

赵黎明

(广东海洋大学信息学院，广东湛江524003)

混沌系统是一类普遍存在且重要的非线性系统，具有复杂和难以预测等行为，而Duffing方程系统，不仅是描述共振现象、调和振动的简单数学模型，而且是一个典型的非线性振动系统，极具代表性，许多工程实际问题都可转化为该类方程系统来研究。同时，在一定条件下存在奇异吸引子，并产生混沌现象［1］。因此，研究Duffing方程混沌系统的稳定控制问题具有重要的理论与实际意义。

针对Duffing方程混沌系统，已提出许多不同的控制方法［2－8］，其中:文献［2］研究了基于 Lyapunov方法的稳定控制问题;文献［3］研究了基于状态观测器的混沌控制方法;文献［4－5］研究了外加激励的混沌控制方法;文献［6］研究了状态反馈混沌控制方法;文献［7－8］研究了自适应混沌控制方法。由于Duffing方程混沌系统中存在不确定性，因此研究不确定Duffing方程混沌系统的稳定控制问题必将具有重要的实际意义。而由于滑模变结构控制方法是一种重要的鲁棒控制方法，因此本文重点研究Duffing方程混沌系统的Terminal滑模变结构控制，并设计一种全局快速Terminal滑模面。

1 Duffing方程混沌系统描述及研究内容

考虑Duffing方程混沌系统［2］

其中，x=(x1，x2)T为系统状态，p1、p2、p、q、w 为系统的不确定参数且在一定范围内变化。

当 p1= －1、p2=1、p=0.25、q=0.27、w=1，x1=1、x2=1时，系统出现混沌现象，其对应混沌吸引子的相轨迹如图1所示。

图1 Duffing系统混沌吸引子的相轨迹

研究混沌系统(1)的渐近稳定控制问题，即设计控制律，使系统(1)状态x渐近收敛至x=0，其受控系统为

其中f(x)= －p1x1－p2x31－px2+qcos(ωt)为系统的不确定性。根据混沌系统有界性可知，f(x)满足有界性条件。

由于系统(1)存在不确定性，而滑模变结构控制具有很强的鲁棒性，因此本文研究其滑模变结构控制问题。在传统的滑模变结构控制中，通常通过构造一个线性的滑模面，在控制律作用下使系统到达滑模面后，系统状态沿期望的滑动模态渐进地收敛到零点。为了改善系统状态的渐进特性，一些学者研究了 Terminal滑模变结构控制［9－11］，通过设计非线性滑模面，使得当系统到达滑模面后，系统状态能在有限时间范围内到达闭环零点。

2 基于全局快速Terminal滑模变结构控制器设计

针对系统(1)，根据全局快速Terminal滑模变结构控制原理［12］，设计了一种新的全局快速Terminal滑模面，其形式为

其中，α，β ＞0，0＜ σ ＜1。正是由于非线性项 β·sign(x1)|x1|σ的存在，改善了系统状态沿滑模面趋向于平衡点的速度，并使其在有限时间范围内收敛至x=0。

由于系统不确定性f(x)的存在，因而为其设计鲁棒控制律，根据文献［12］可得，控制律u为

其中，γ1，γ2＞0，0 ＜ σ1＜1。同时，为了满足闭环系统稳定条件γ2应满足

并选择 γ2为

其中，δ＞0，L为|f(x)|的上界。

3 稳定性分析

Duffing方程混沌系统(1)在控制律(4)作用下，其受控系统如式(2)所示。针对受控系统(2)，定义Lyapunov函数V为

对其求导，可得

由于 γ2－f(x)/(sign(s)|s|σ1)＞0，可知式(9)满足

可见，在控制律(4)作用下，受控闭环系统(2)满足Lyapunov稳定性条件。

4 仿真实验

令Duffing方程混沌系统(1)状态的初始值为x1=1、x2=0，系统参数选取为 p1= －1、p2=1、p=0.25、q=0.27、w=1，控制律(4)参数选取为 α =2、β =1、σ =0.75、γ1=90，γ2=L/|s|0.4+ δ、δ=1.2、σ1=0.4进行仿真，仿真结果如图2所示。

图2 闭环系统仿真效果图

由仿真结果可以看出，采用本文提出的控制方法，不仅能够很好地抑制Duffing方程混沌系统(1)混沌现象的产生，而且使得受控Duffing方程混沌系统(1)实现了稳定控制。

5 结论

本文研究了Duffing方程混沌系统基于全局快速Terminal滑模的有限时间稳定控制问题。通过设计一种新的全局快速Terminal滑模面，使得当系统到达滑模面后，系统状态能在有限时间范围内到达闭环零点。由仿真结果可以看出，采用本文提出的控制方法，对于具有典型非线性振动特性的Duffing方程混沌系统具有很强的鲁棒性，不仅能够很好地抑制其混沌现象的产生，而且使得受控系统实现了有限时间稳定控制。

［1］陈关荣，吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步［M］.北京:科学出版社，2003:1－4.

［2］徐红兵，吕炳朝.基于Duffing方程不确定性模型的混沌控制［J］.系统工程与电子技术，2000，22(2):15－17.

［3］刘剑，宋珊珊，刘美菊，等.一种基于状态观测器的Duffing系统的混沌控制［J］.沈阳建筑大学学报(自然科学版)，2009，25(2):395－398.

［4］沈建和，陈树辉.混沌Mathieu－Duffing振子的开闭环控制［J］.应用数学和力学，2009，30(1):21－29.

［5］褚衍东，李险峰，张建刚.Van der Pol－Duffing耦合系统的分岔与混沌控制［J］.江南大学学报(自然科学版)，2007，6(1):119－123.

［6］周群利，张绍德.基于反馈线性化的Duffing混沌系统控制［J］.安徽工业大学学报(自然科学版)，2007，24(1):58－62.

［7］王中生，李伟锋，廖晓昕.不确定Duffing混沌系统的自适应跟踪控制［J］.华中科技大学学报(自然科学版)，2005，33(2):64－66.

［8］周培培，曹鸿钧.Helmholtz－Duffing振子同宿分岔的自适应反馈控制［J］.科学技术与工程，2008，8(7):1769－1773.

［9］Yuqiang Wu，Xinghuo Yu，Zhihong Man.Terminal sliding mode control design for uncertain dynamic systems［J］.Systems ＆Control Letters，1998，34(5):281 －287.

［10］Yong Feng，Xinghuo Yu，Zhihong Man.Non － singular terminal sliding mode control of rigid manipulators［J］.Automatic，2002，38(12):2159－2167.

［11］Xinghuo Yu，Man Zhihong.Fast terminal sliding－mode control design for nonlinear dynamical systems［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，2002，49(2):261 －164.

［12］刘金琨.滑模变结构控制MATLAB仿真［M］.北京:清华大学出版社，2005:320－360.