提取函数“框架”教学思想的构建与应用

邓海英

摘 要：函数是学生中普遍反映最难学的内容。因此，在教学实践中，从函数入手，深入浅出，提取函数的“框架”，化抽象为具体，化“无形”为“有形”，提高了学生的抽象能力，也促进了学生数学整体思想的形成，有助于学生数学学习的进步和发展。

关键词：数学学习效率；函数的框架；教学思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2011）07-0042-03

一、提取函数的“框架”，化抽象为具体，化“无形”为“有形”

学生在学习函数时，往往受函数解析式的束缚，将变量的形式进行变化以后，往往混淆不清，无从下手。函数难学与学生所处年龄阶段的思维结构也有关系。科学探究得出结论，少年期或初中阶段主要是以经验型为主的抽象逻辑思维；青年初期或高中阶段主要是以理论型为主的抽象逻辑思维。[1]在初中起点五年制专科层次的全科型小学教师的函数教学中，笔者提出了函数“框架”的概念。以下是一个真实的教学片段：

例1： 求函数y=sin2x的周期。[2]

学生已有知识：正弦函数y=sinx的周期是2π，以及周期函数的定义：若f（x+T）=f（x），T为不为零的常数，则T为函数f（x）的周期。

问题解决过程：

生：将2x看成一个角，在后面直接加2π，得y=sin（2x+2π）

师：下一步呢？周期怎么算？还是2π吗？

部分学生认为就是2π，也有支吾不知道的。有人看到课本的解法后在嘀咕：为什么要把“2”提出来呢？

师：如果还是2π的话，按照这种方法，那么把2x改成3x，4x，等等，结果不都是2π吗？这种现象禁不住让人怀疑啊！（这么一说，学生也觉得是有点不对，开始动摇）课本上是把2提出来写成2（x+π）的形式，括号里的才是要求的周期。按照这种方法，如果是sin3x，sin4x那么就要把3，4提出来，也就是要把x前的倍数提出来以后，与x相加的那个数才是函数的周期。（至此，学生能记住解法，视觉冲突很强烈，但是仍然不知其所以然。期待进一步解释。）

师： 联系周期函数的定义：f（x+T）=f（x）进行如下分析：

f（x+T）=f（x）中：从形式看上，就是用x+T这个整体作为变量代替x，函数值不变，与x相加的数就是周期。所以，我们在求函数周期时，一定要出现x+T这个整体。所以上述例题中要提出2。（这种类型学生很快就掌握了方法，也认为都会解了，觉得容易。）

易得函数的框架为f（）=（）2+1。所以，f（x）=x2+1。

运用二：求函数定义域。

分两种情形，

第一类：已知f（x）的定义域，求fφ（x）的定义域。

例3：已知f（x）=ax2+3x+1的定义域为 [-1, 2]，求f（x2-1）的定义域。

分析：函数的框架是f（）=a（）2+3（）+1，函数的定义域指的就是x的范围。f（x）的括号里只有一个x，此时的范围就是“f（）”括号里整体的范围。因此，f（x2-1）中，应有-1≤x2-1≤2，解不等式即得f（x2-1）的定义域。

第二类：已知fφ（x）的定义域，求f（x）的定义域。

例4：已知函数f（x+1）的定义域为[-2, 3]，求f（x）的定义域。

分析：f（x+1）中x的范围为[-2, 3]，于是x+1的范围[-1, 4].即为“f（）”括号中整体的范围。所以，f（）中x的范围为[-1, 4]，即为f（）的定义域。

运用三：复合函数求导数。

在高等数学中，复合函数求导数的步骤学生往往出现遗漏，或者分不清求导的先后顺序。在此，笔者也引入框架对应的整体思想，帮助理解和把握。

复合函数一般形式：y=f[φ（x）]，导数y＇=f＇[φ（x）]φ＇（x）dx。即将φ（x）看成一个整体，先在f（）的框架里对φ（x）求导。第二步，再在φ（x）的框架里对x求导。最后两步相乘。如果φ（x）又是一个复合函数，那么，继续求导数，依次类推，最后所有的求导步骤全部相乘。

例5：已知函数f（x）=sin[（lgx）2+3]，求f＇（x）。

分析：复合函数求导数是将分解的基本初等函数按照由外向里的顺序分别求导数再相乘的。因此，我们也可引入框架，让求导的先后顺序更加明了。该函数的框架为f（）=sin[lg（）2+3]：先求对数，再平方加3，最后再求正弦值。因为加一个常数不影响导数，所以对数值平方再加3可当成一步求导。按照由外向里的顺序求导为：先对正弦求导，再对平方加3求导，最后对对数求导。然后全部相乘。即：

由此可以看到，函数框架的思想和方法，确实能使思路更加清晰，做题更加简捷，也不易出错。尤其是能更深层次的理解函数的抽象意义，举一反三，提高学习效率，培养数学能力。笔者会在今后的教学中，结合全科型小学教师的自身特点以及培养模式的特殊性，将继续摸索，探究，寻找更有效的教学方法，让爱好数学的学生在全科型的培养模式下学有所长，“全”中有“专”。

参考文献：

［1］林崇德.学习与发展［M］.北京：北京师范大学出版社，2002.

［2］［3］湖南省教育厅组织编写.五年制专科层次小学教师培养教科书 数学（第2册）［M］.湖南科学技术出版社，2010，（3）.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文