啜英咀华，细品真味——2011年一道高考数学题的解法赏玩

832000 新疆石河子一中 杨长根

2011年高考尘埃落定，仔细研读高考数学试题，感觉整个试卷试题难度梯度设置比较平稳，知识考查平中见奇，尤其是第16题(新课标卷理科数学).题目如下：

题目 在 △ABC中，B=60°，AC，则AB+2BC的最大值为.

此题作为一道填空题，题目的表述简洁明了，初看很平淡，但细细赏玩，却感到厚味很足.下面就本人对此题解法的种种考虑一一细述，以飨同仁.

于是有a=2sinA，c=2sinC，

所以有AB+2BC=c+2a=4sinA+2sinC. ①

又因为在△ABC中，A+B+C=180°，且B=60°，

所以：C=120°-A，于是

代入①式得

这一解法利用正弦定理进行边角转换，将三角形中关于边的不等式问题转换为关于角的不等式，充分利用三角函数的有界性进行处理.我想，这应该是此题的正统解法.如果仅限于此，那么此题的入口就比较狭窄，作为高考题显然欠一些分量.

如果一上手就使用余弦定理得到a2+c2-ac=3，然后求AB+2BC=c+2a的最大值，从不等式的角度来理解，应该是一个中规中矩的不等式问题，但作为学生，这方面的考虑能力要求较高，尤其是对式子a2+c2-ac=3的理解和变形如果不到位，就难以为继.但是我想，应该有不少学生会采用这一思路的，至于能不能进行下去，就不好妄加揣测.下面我就对这一思路加以深入探讨.

如果以代数方程的观点看待式子a2+c2-ac=3，可以产生以下两种解法.

解2 由余弦定理可知：a2+c2-ac=3. ②

设AB+2BC=c+2a=t＞0，则有c=t-2a.

根据题意，方程③显然有解，故有

Δ =25t2-28(t2-3)≥0，即有t2≤28，注意到t＞0，

当t= 2时，方程③为7a2-10+25=0，解此方程得a=，从而可得c=，显然满足题意.

这一解法的关键是将a2+c2-ac=3看成一个二次方程，设AB+2BC=c+2a=t后代入此式，运用一元二次方程的知识处理，不易想到.

仍以方程的观点看待此式，还可以有下面的解法.

解3 由余弦定理可知c2-ac+a2-3=0，

将上式看作关于c的方程解得

由柯西不等式，得

也是一样的.

如果将式a2+c2-ac=3作为一般的二次式看，做简单的配方处理可得(2a-c)2+3c2=12，然后将AB+2BC=c+2a用2a-c和c表示，再做处理，可得下面的解法.

解4 由余弦定理可知a2+c2-ac=3，从而有

由柯西不等式可知

注意到 2a-( )c2+3c2=12，故

解5 由余弦定理可知a2+c2-ac=3，从而有

如果以曲线方程的观点看待式子c2-ac+a2-3=0，辅以变换的策略，又可以有下面的解法.

解6 由余弦定理可知：a2+c2-ac=3，从而有

图1

而AB+2BC=c+2a=2

如果注意到本题条件：B=60°，利用平面几何知识又可以得到下面的解法：

图2

解7 如图2所示，在△ABC中，过点A作AD⊥BC.

此处用到了柯西不等式，也可以利用函数观点处理，即运用导数工具.

如此赏玩之后发现，其实此题看似平淡，实则暗藏玄机，果真把它拿下，需要深厚的数学功力.特别是解法二、三、四、五、六，源于对二次式a2+c2-ac=3的细细咀嚼和品味，充分理解其代数意义和几何意义以及相应的处理方法与技巧.如果在日常教学中，能够经常地引导学生从多角度全方位地观察与思考所面对的数学对象，相应的数学素养和解题能力一定会极大地得到提高.

此题作为高考题，确实能够考查学生多方面的数学素养和能力，的确是一道好题.如今恰好凑足七碗之饮，以飨读者，聊表心意.