平板电容器边缘电场特性探究

邵小桃,成 超,张静文

(北京交通大学 电子信息工程学院,北京 100044)

平板电容器是“电磁场与电磁波”课程中静态场部分常见的计算模型。根据平板电容器的电荷分布,可以计算平板电容器的电位和电场分布。为了求解方便,一般情况下将平板导体上的电荷分布视作均匀的,基于Schwarz-Christoffel变换,仿真求解平板电容器电场和电位分布。在实际情况下,平板导体上电荷分布并不是均匀的。本文讨论线电荷密度为ρ的带电长线在相距为r的点处产生的电位,然后利用Matlab仿真软件,得出平板电容器上的电荷密度分布,最终给出空间电位分布和电场分布仿真图形。从结果可以看出,平行板平均分块数N越大,所得出的结果越逼近实际情况。

1 均匀带电长条的电位分布

图1 xoz平面中的均匀带电长条

沿 x2到 x1方向,电荷均匀分布,此时每一线元dx实际代表与z轴平行的带电长线。如选取有限足够远r0处为参考点,线电荷密度为ρ的带电长线在轴距为r处产生的电位:

宽度在x2到x1的带电长条可看做无限多个线电荷密度为ρ的带电长线构成,每个带电长线在二维平面中的点(x,y)处产生的电位

因为r0选在有限足够远,则x对r′0无影响,可看作常数。此处仅讨论等位线,可将上式积分常数项舍去,故有

宽度在x2到 x1的带电长条在二维平面中的点(x,y)处产生的电位为

其等位线如图2所示。

图2 均匀带电长条的电位分布

从图2可以看出,等位线为椭圆簇;电场线在导体表面有切向分量,切向分量沿边缘方向越来越大,并致边缘完全达到切向。电场线在导体表面有较强的切向分量,将促使导体内部自由电荷向导体两端移动,直至电荷分布使得其产生的电位满足导体为等位体,否则电荷将在切向电场的作用下继续移动。最终,电荷分布将呈现出两端多,中间少的情形。这就是平行板的“边缘效应”。

2 平板电容器电场分布逼近

依据上面讨论,将实际将实际平板电容器沿z向无限延伸,而 x方向则有限延伸,将三维问题转换成为二维问题。xoy平面内相距为d、宽度为a的平板电容器如图3所示放置。

图3 平板电容器xoy平面图

依据前面推导出的公式,对应图3可写出中点位于(0,0)处、长为a的均匀带电长条在点(x,y)处产生的电位

其中,有

那么,当长条中心位于(X,Y)处时,其在(x,y)点出激发的电位为

从上式可以看出,平行板电容器的空间电位分布与板上的电荷密度有关,由于数学表达式复杂,直接求解存在一定的难度。此处采用逼近思想,间接求出平板电容器极板上的电荷分布。

将平行板平均分为2N块窄长条,上下各为N块,如图记作1,2,…,2N-1,2N号。每块窄长条带电均匀,且电荷密度分别为ρ(1),ρ(2),…,ρ(2N-1),ρ(2N)。

由对称性知:

xoy平面内任意一点(x,y)处的电位为2N个窄长条在此处产生电位的叠加,表示为

图4 平板电容器在xoy平面产生的电位

如果利用vi表示第i块长条中心点处的电位,由上式则有

利用上式,可由计算机求出电荷密度σ数组,这样由式

可得出空间电位分布,利用式 E(x,y)=-φ(x,y),也可以得到空间电场分布。

利用Matlab仿真可以计算,N=10时的电荷密度分布ρ,如图5(a)所示。此处只给出极板N=10个长条分别对应的电荷密度大小。

当N=100时,计算出的ρ如图5(b)所示。

图5 不同N时平板电容器电荷密度分布

从图5可以看出,平板电容器极板上的电荷密度呈现两端多,中间少的分布情形,即平板电容器的“边缘效应”。且N越大,所得出的结果越逼近实际情况。利用quiver函数,可以得到对应电位的电场分布。N=20时电位和电场分布的Matlab仿真图形如图6所示。

图6 平板电容器电位和电场连续分布的Matlab仿真

可见,导体表面电场线仍然垂直于导体表面,但在无限大的空间,呈现的则是曲线。

3 结语

考虑边缘效应的平板电容器电场和电位场分布逼近法,并没有推导出严格的电荷分布函数,但是却适应于任何形状的导体电荷密度的近似求解。只要得到电荷密度,电位、电场分布也就迎刃而解。将此结果与通过S-C变换得到的理论值的仿真结果作比较,结果非常吻合,说明此逼近方法切实可行。

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