一种二元有理插值曲面的两个性质和点控制问题

陆海波1，邓四清2，方 逵3，谢 进4



一种二元有理插值曲面的两个性质和点控制问题

（1. 湘南学院数学系，湖南郴州423000；2. 韶关学院数学与信息科学学院，广东韶关 512005；3. 湖南农业大学信息科学技术学院，湖南长沙 410128；4. 合肥学院数理系，安徽合肥 230601）

文献[22]中已经构造了一种基于函数值的带参数的二元有理插值样条，它是分子为双四次、分母为双二次的有理样条。论文研究了该种二元有理插值样条的有界性，给出了插值的逼近表达式，讨论了插值曲面形状的点控制问题。在插值条件不变的情况下，插值区域内任一点插值函数的值可以根据设计的需要通过对参数的选取修改，从而达到插值曲面局部修改的目的。

二元插值；二元有理样条；参数；计算机辅助几何设计

曲线曲面的构造和数学描述是计算机辅助几何设计中的核心问题。现在已有很多这种方法，如多项式样条方法、B样条及非均匀有理B样条(NURBS)方法、Bézier方法等等。这些方法已广泛应用于工业产品的形状设计，如飞机、汽车、轮船的外形设计。通常来说，多项式样条方法一般都是插值型方法，插值曲线和插值曲面均通过插值点。构造这些多项式样条，其插值条件除插值点处的函数值外，一般还需要表示方向的导数值。但在很多实际问题中，导数值是很难得到的。同时，多项式样条方法的一个缺点是它的整体性质，在插值条件不变的情况下，在“插值函数关于插值条件的唯一性”的约束下，无法进行所构造的曲线曲面的整体或局部修改。 NURBS方法和Bézier方法是所谓的非插值型方法，用这些方法所构造出来的曲线曲面一般不通过给定的点，给定的点是作为控制点出现的，通过给定点的变动控制插值曲线曲面的形状。因此，如果能设计出一种方法，它兼顾以上两种类型方法的优点，即既是插值型的，又能进行局部或整体修改，同时又是在便于获取的插值数据下使插值函数具有简洁的显示表示，将是非常有意义的。

样条插值是曲线曲面设计中强有力的工具，十多年来，有理三次插值曲线曲面以及它们在形状控制中的应用已引起了广泛的兴趣。有理四次插值样条由于其构造所花费的计算量太大以及在使用上的不方便而让人们忽视了其重要的应用价值，因此以前很少有人研究它们。但近年来，有理四次插值样条是比较热门的研究课题。实际上，在某些情况下有理四次插值样条有其独特的应用效果，比如叶懋冬建立的一种具有局部插值性质的分母为二次的有理四次样条，即一个剖分子区间上的有理插值式只与邻近区间上的插值点有关，一个插值节点上的数值变动只影响其邻近的局部范围；闵杰等构造了一种分母为线性的有理四次插值样条，研究得到了该种有理四次插值样条不但具有三次多项式的插值精度而且具有独特的逼近性质；Wang等先构造了一种有理四次插值样条，讨论了插值样条的保单调性、连续性以及逼近性质，然后将其推广到有理双四次插值曲面；张彩明等讨论了连续的四次样条曲面插值。邓四清等研究了一种空间曲面插值问题，给出一种新的矩形分划上的仅基于函数值的分片二元有理插值样条的构造方法，每片中带有关于方向两个参数和关于方向的两个参数，是分子为双四次、分母为双二次的有理函数；导出了关于插值曲面的光滑性定理，该定理指出，当选取其中关于方向的两个参数满足一定条件时，插值曲面在插值区域光滑。更有趣的是，当关于方向的两个参数满足某种条件时，插值函数可表示为矩阵形式，并且这种表示具有对称性，最后还讨论了插值基函数的性质。该文研究了此种二元有理插值的边界性质和点控制问题。证明了无论参数取何正值，在给定的插值区域内插值函数均有界，称之为插值有界性。同时，给出了插值的逼近表达式，且表达式与参数无关。在给定插值数据不变的条件下，选择适当的参数可于插值区域内修改任意点插值函数值，可将此应用于在实际设计中，不改变插值数据而修改插值曲面。

1 插值函数的构造

此处

且

此处

且

2 插值基函数

本文的如下部分，作者总假定分划是等距的，即考虑矩形插值域上的等距矩形分划，即对所有的和，有，记之为，且，记之为。对任一和所有，假设常数且=常数，分别记之为与，对任一，假设另一组参数，对所有的亦分别为常数，分别记之为，。于是由文献[22]知，由式（1）定义的插值函数可以表示为

其中

（4）

（6）

且

这里

（8）

且

3 插值函数的有界性及逼近性质

证 明 由式（7）和式（8）得

（10）

同理可得

（12）

令

又

（14）

从而由式（10）知

即定理的结论成立。

于是有

由式（7）和式（9），得

于是有

从而由式（13）及式（14），有如下的逼近定理：

4 插值的中央点控制

一般而言，在插值区域内，插值曲面的形状依赖于插值数据。由于插值的唯一性，若插值数据给定，则插值曲面的形状便固定。但是，对于由式（2）所定义的插值，因其含有参数，故在插值数据不变的情况下，当参数变化时插值函数也随之变化。因此，插值曲面随参数改变而改变。基于此特点，通过选择适当的参数能够修改插值曲面的形状。

令

所以

（17）

（19）

（20）

（22）

（23）

（25）

将式（17）~式（25）代入式（16），并整理得

（26）

记

则式（26）变为

定理3 “中央点－平均值”控制问题有解的充分条件是方程式（27）存在正参数解，，和。

5 结束语

对二元插值而言，通过插值数据确定插值函数表达式的边界值非常困难，而得到二元插值函数误差估计的表达式更为困难，这两个问题该文分别由定理1和定理2圆满解决。此外，该文还建立了中央点控制的方法，对任意给定的实数，由式（16）可以衍生出多种不同的表达式，因此，通过“中央点－平均值”控制问题的解决，同样也可以得到多种控制的方案。

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Two Properties and Point Control of Bivariate Rational Interpolating Surface

LU Hai-bo, DENG Si-qing, FANG Kui, XIE Jin

( 1. Department of Mathematics, Xiangnan University, Chenzhou Hunan 423000,China;2. School of Mathematics and Information Science, Shaoguan University, Shaoguan Guangdong 512005, China;3. School of Information Science and Technology, Hunan Agricultural University, Changsha Hunan 410128, China;4. Department of Mathematics and Physics, Hefei University, Hefei Anhui 230601, China )

A bivariaterational interpolation spline with parameters was created in an earlier work which was based on function values only, and this spline is a rational one with biquartic numerator and biquadratic denominator. This paper discusses the spline’s boundary property, the approximation expression of the interpolation and the point control method of the interpolating surface. It is proved that the values of the interpolating function in the interpolation region are bounded no matter what the parameters might be, which is called the boundary property of the interpolation. Also, the approximation expression of the interpolation are derived, which does not depend on the parameters. More important is that the values of the interpolating function at any point in the interpolating region can be modified under the condition that the interpolating data are not changed by selecting the suitable parameters, so the interpolation surface can be modified for the given interpolation data when needed in practical design.

bivariate interpolation; bivariate rational spline; parameter; computer aided geometric design

TP 391；O 241.3

A

1003-0158(2011)03-0028-07

2008-10-13

国家自然科学基金资助项目（60773110）；湘南学院科研资助项目（2010Y060）；湖南省科技计划资助项目（2008FJ3046）；韶关学院校级重点扶持学科建设项目；湖南省高校科技创新团队计划支持项目；安徽省教育厅自然科研资助项目（KJ2008B250）

陆海波（1962-），男，湖南耒阳人，副教授，主要研究方向为计算机辅助几何设计。