对自由下落的篮球受到地面最大弹力的研究

魏喜武

(安徽省宣城中学,安徽宣城 242000)

有一道经常出现的初中物理竞赛题:怎样测量篮球从某一高度自由落下时地面对篮球的最大弹力?

原解:把1张白纸平放在地面,然后把篮球的表面洒上水,让篮球击到白纸上,留下水印,然后把白纸放到体重计上,把球慢慢向下压,当球和水印重合时,根据体重计的读数就可知最大弹力的大小.

那么这种解答是否合理呢?下面笔者来谈谈自己在理论与实验上对这一问题的研究.

篮球在重力作用下自由下落,速度不断发生变化,对地面产生一个冲力(大小为篮球受到地面的弹力).为了对篮球对地面冲力的大小有个估测,我们可以首先求出平均冲力.由牛顿第二定律的微分形式,可知

Fdt=dp.

将上式对篮球与地面接触的时间由 t0到 t′段积分,即考虑地面对篮球作用力在这段有限时间内的积累效应,则有

设平均冲力为 ¯F,则

即

当质量为m的篮球,自由下落的高度为h1,反弹高度为 h2时,可得

实验中,我们把质量为0.58 kg的篮球从2 m的高度自由落下到水泥硬地面上反弹的高度为1.17 m,有人经过精确测量与地面的接触时间仅为0.019s.把这些数据代入上式 可得 ¯F=339 N.

实际上,在篮球与地面的碰撞过程中,相互作用力往往很大而且随时间而变化,冲力应有一个峰值Fm,如图1所示.精确测量表示:对0.58 kg的篮球从2 m高度自由下落撞到测试台面上时,冲力的峰值Fm可高达575 N,要比篮球自身的重力大100倍.从上面讨论可知,篮球受到的平均冲力¯F与冲力的峰值Fm相差不大,在要求不太严格的条件下,可以用平均冲力¯F代替冲力的峰值Fm.那么,当我们把一张白纸平放在地面,然后把篮球的表面洒上水,让篮球击到白纸上,留下水印,然后把白纸放到体重计上,把球慢慢向下压,当球和水印重合时,体重计的读数与我们上面得到的峰值Fm是否能吻合呢?

图1

实验时,我们把打湿的篮球从2 m的高度自由落在白纸上,经测定白纸上留下水印的直径为12.5 cm,为便于观察,在水印的边缘用色笔着了色.然后把把白纸放到体重计上,一位学生把篮球扶在水印的中央,在篮球的上方放一块长方形木板,让两位学生分别扶着课桌,踩在木板的两端,慢慢向下使劲.当我们发现球和水印重合时,体重计的读数达90.5 kg,约为900 N,比篮球冲力的峰值 Fm要大得多.那么为什么又会出现这样的情况呢?下面我们来进行定性的分析.

图2

从图2不难看出,当篮球自由下落碰撞地面时,只有一处发生形变,而被用力挤压的篮球有两处发生了形变.图2(b)中球内空气体积减小的量约是图2(a)中球内空气体积减小量的两倍,由此而导致了图2(b)中球内压强也应该比图2(a)中球内空气压强大得多.所以,只有对图2(b)球施更大的力,才能保证两只篮球下端的形变相同.从以上讨论可知测量篮球从某一高度自由落下时地面对篮球的最大弹力Fm,可用平均冲力¯F近似代替,但不可用挤压篮球的形变与撞击地面的形变来等效.

1 张三慧.大学物理学-力学.北京:清华大学出版社,1999.