拆基本图证几何题

430300 湖北省武汉市黄陂区实验中学 程 斌

题目(武汉市2011年九年级四月调考第24题)在等腰△ABC中，AB=AC，分别过点B，C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D，E，连接DC，BE，DC与AB边相交于点M，BE与AC边相交于点N.

(1)如图1，若DE∥CB，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明;

(2)如图2，若DE与CB不平行，在(1)中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明.

图1

图2

分析第(1)问由平行四边形对角线互相平分可得与AM相等的线段有AN，BM，CN.第(2)问图形由特殊到一般且结论开放.

求解在明确结论AM=CN的前提下就证明方法作如下探讨.

证明(2)法1利用平行线分线段成比例将原题拆成基本图3(①～④)

图3

法2利用三角形相似将原图拆成基本图4(⑤～⑦)

图4

再利用比例性质可得AM=CN.

法3分别延长DB，EC相交于点P，则四边形ABPC为菱形.

将原题拆成基本图5(⑧～⑩)

图5

即证得AM=CN.

法4过点E作AC平行线交BC的延长线于点F，则可得CE=EF.

将原图拆成基本图6(○11 ～ ○13)

图6

由CE=EF可得AM=CN.