非齐性空间上新型奇异积分算子的弱(1,1)不等式*

谭超强

(汕头大学理学院数学系，广东 汕头 515063)

在Rd空间中，如果测度为Lebesgue测度，那么经典的奇异积分算子是指满足以下条件的算子

(i) 算子T是L2有界的线性算子；

经典的理论告诉我们算子T是弱(1,1)的，即满足如下的分布不等式

其中λ>0

随着调和分析理论发展，我们发现有很多算子是不满足Hormander条件[1-5]，但是他们依然满足弱(1,1)不等式估计。为了把经典的奇异积分算子理论应用到这些算子上，Duong等[6]定义并发展一套新型的奇异积分算子理论，将上述光滑性条件减弱，并且仍然得到了算子的弱(1,1)估计。下面我们简单介绍他们的结论。

命题1 假定测度μ满足双倍测度条件，算子T是L2(μ)上的有界线性算子，其核函数为k(x，y)。假设存在一系列积分算子At，t>0，满足上述条件，并且假定算子TAt对应的核函数为kt(x，y)，它满足如下的性质

他们还证明了上述定理所对应的算子类包含了经典的奇异积分算子，即经典的奇异积分算子是他们的特殊情形，因此他们推广了经典的奇异积分算子理论。但是我们要指出的是，他们的命题要求测度μ满足双倍测度条件。

一个自然的问题是对于非双倍测度来说，是否存在类似的理论。我们知道非双倍测度空间上的奇异积分算子理论是近年来调和分析领域里的热门课题，经过Tolsa、Nazarov、Treil和Volberg等[7-12]的研究，经典的奇异积分算子理论的大部分结论能推广到非双倍测度空间上，譬如在文献[7]中，Tolsa证明了满足大小条件和光滑性条件的奇异积分算子满足弱(1,1)估计。本文的主要目的是在非双倍测度空间上建立类似于Duong等条件的奇异积分算子理论，给出算子的弱(1,1)估计。我们指出如果测度是Lebesgue测度，那么我们所定义的新型奇异积分算子与Duong等所定义的是一致的。

1 定理的提出

μ(Q(x，r))≤C0rn对任意的x∈Rd，r>0成立

(1)

其中n为满足0

给定α>1和β>αn，方体Q⊂Rd称为(α，β)-双倍如果它满足μ(αQ)≤βμ(Q)，其中αQ为与Q同心且边长为其α倍的方体。中心极大算子Mμ定义如下

(2)

众所周知，中心极大算子Mμ是L2(μ)有界的。

我们假设存在一系列积分算子At，t>0，算子At的核为αt(x，y)在如下的意义下成立

并且核αt(x，y)满足如下的估计

|αt(x，y)|≤ht(x，y)=C1p(y，t)·

(3)

定理1 假定测度μ满足增长性条件(1)，算子T是L2(μ)上的有界线性算子，其核函数为k(x，y)。假设存在一系列积分算子At，t>0，满足上述条件(3)，假定算子TAt对应的核函数为kt(x，y)，它满足如下的性质

(4)

2 定理1的证明

为证明定理1，我们先给出如下几个引理：

引理1 假设函数f∈L2(μ)，那么如下的结论成立

(5)

进一步，对任意的y′Q(y，t1/m)，有

(6)

注意到对任意的y′∈Q(y，t1/m)，有Q(y，2k+2t1/m)⊃Q(y′，3·2kt1/m)⊃Q(y，2kt1/m)，因此

Cp(y，t)Mμf(y′)

下面的引理是对应于非双倍测度的Calderon-Zygmund分解，其证明由Tolsa给出[7]。

引理2 假定测度μ满足增长性条件(1)。那么存在常数C，对任意f∈L1(μ)和任意的λ>2d+1‖f‖L1(μ)/μ(Rd)，下面的结论成立。

(c) |f|≤λa.e.(μ) 在Rd∪iQi上。

(d)supp(φi) ⊂Ri,且在其支集上恒为常数；

定理1的证明：

不失一般性，我们可假定定理1中的常数c2=1。设f∈L1(μ)，若λ≤2d+1‖f‖L1(μ)μ(Rd)，定理1显然成立，因此我们可假定λ≤2d+1‖f‖L1(μ)/μ(Rd)。令Ri为形式为Ri=6kQi，k≥1的最小的(6，6n+1)-双倍方体，根据引理2，我们可以把函数f分解为f=g+b，且满足下面的性质：

根据引理2的性质(a)，有

因此只需证明

根据引理2，我们易知|g|≤Cλ，根据算子T的L2有界性，我们有

μ(x∈Rd∪i2Qi：|Tg|>λ/2)≤

令ti=(l(Qi))m，我们做如下的分解

Tbi(x)=TAtibi(x)+T(I-Ati)bi(x)

下面首先证明：

(fwi)(y)|dμ(y)dμ(x)≤

并且类似地有

根据算子T的L2(μ)有界性，Ri为(6，6n+1)-双倍方体，引理1和引理2的性质(g)，有

从而得到

最后，我们只需证明

(7)

注意到

(8)

根据式(3)以及bi=fwi-φi，我们有

Ⅰ+Ⅱ

(9)

根据引理1的式(6)，对变量y′∈Qi进行积分，得

又

结合I、II、式(8)和式(9)的估计，我们便得到式(7)的证明，从而得到定理1的证明。

参考文献：

[1]FEFFERMAN C. Inequalities for strongly singular convolution operators [J]. Acta Math, 1970, 124(1): 9-36.

[2]CHRIST M. Weak-type (1,1) bounds for rough operators [J]. Ann Math, 1988, 128(1): 19-42.

[3]CHRIST M, RUBIO DE FRANCIA J L. Weak-type (1,1) bounds for rough operators II [J]. Invent Math, 1988, 93(1): 225-237.

[4]HOFMANN S. Weak (1,1) boundedness of singular integrals with nonsmooth kernel [J]. Proc Amer Math Soc, 1988, 103(1): 260-264.

[5]SEEGER A. Singular integral operators with rough convolution kernels [J]. J Amer Math Soc, 1996, 9(1):95-105.

[6]DUONG X T, MCINTOSH A. Singular integral operators with non-smooth kernels on irregular domains [J]. Rev Mat Iber, 1999, 15(2): 233-265.

[7]TOLSA X. A proof of the weak (1,1) inequality for singular integrals with non doubling measures based on a Calderon-Zygmund decomposition [J]. Publ Mat, 2001, 45(1): 163-174.

[8]GARCIA-CUERVA J, MARTELL J M. Weighted inequalities and vector-valued Calderon-Zygmund operators on nonhomogeneous spaces [J]. Publications Matemàtiques, 2000, 44:613-640.

[9]NAZAROV F, TREIL S, VOLBERG A. Weak type estimates and Cotlar inequalities for Calderon-Zygmund operators in nonhomogeneous spaces [J]. Int Math Res Not, 1998, 9:463-487.

[10]NAZAROV F, TREIL S, VOLBERG A. Cauchy integral and Calderon-Zygmund operators on nonhomogeneous spaces [J]. Int Math Res Not, 1997, 15:703-726.

[11]TOLSA X. L2 -boundedness of the Cauchy integral operator for continuous measures [J]. Duke Math J, 1999, 98(2): 703-726.

[12]TOLSA X. Littlewood-Paley Theory and the T(1) Theorem with Non-doubling Measures [J]. Adv in Math, 2001, 164(1): 57-116.