幅值调节力驱动的Josephson系统的异宿分支与混沌*

石艳香，郝江辉，白定勇，刘桂荣

(1.山西大学数学科学学院，山西 太原 030006；2.广州大学数学与信息科学学院，广东 广州 510006;3.潞安集团余吾煤业公司自动化科，山西 长治 046103)

近几年,有很多研究专注于非线性系统中不同周期力的影响。例如,由扭曲力产生的混沌行为[1],周期脉冲产生的复合周期加倍[2],周期外力产生的混沌反控制[3],带有不同周期外力的随机共振[4]等等。研究的方法包括多重进位扰动理论和Melnikov方法,这些方法用于研究由不同周期力驱动的非线性系统的非线性共振和同宿分支。

本文研究幅值调节力对Josephson系统的影响,系统如下

(1)

这里sinx+ksin 2x表示相位检测特性的混沌环；β-α(1+kcosx)y表示理想过滤器的移位函数； (f+2gcosωt)sinΩt是幅值调节力，f是非调节载体的振幅，2g是调节度，ω和Ω表示外力的两个频率。

许多实际问题的模型都是由此方程,或者相似的方程描述的。Josephson系统具有一个明显的特征，即具有非线性属性。因此，有必要去研究系统(1)，以此来获得系统随不同的参数变动时的动态特征。Salam等[5]和Bartuccelli等[6]利用Melnikov函数和定性分析,提供分支图来证明对一些参数系统混沌的存在。带有一个周期外力的Josephson方程的研究见文献[7-9]。Yang等[10]研究了带有两个周期外力的Josephson系统的复杂动态,得到了系统在周期扰动和拟周期扰动下混沌存在的准则。另外，Jing等[11-12]研究受常数dc和ac驱动的Josephson系统，显示出导致混沌的条件以及考虑了当锁相变化时，对周期和次谐分支的影响。最近，Ravichandran等[13]从理论分析和数值模拟两方面，研究了受幅值调节力控制的Duffing振子的同宿分支和从正规到混沌的转变。本文研究系统(1)的异宿分支和混沌。利用Melnikov方法[14]，得到异宿分支及混沌存在的条件。同时，利用数值模拟研究分支参数对系统动力学行为的影响。数值模拟包括不动点的分支图、相图和系统分支图，以此来验证理论分析，并且还显示出新的动态行为: 包括在不同混沌区域中的n周期轨道，一系列倍周期分支和逆倍周期分支，带有复杂周期窗口和内部危机的瞬时混沌等。

1 非扰动系统的不动点和相图

若ε=0，系统(1)可以写成如下非扰动形式

(2)

系统(2)是一个Hamilton系统，Hamilton函数为

特征方程为

λ2+cosx+2kcos 2x=0

(3)

通过对系统(2)不动点(xj,yj)稳定性分析，可以得到如下结论。

图1(a)和(b)分别是系统(2)当k=1时不动点的分支图和相图。

图1 系统(2)不动点的分支图和相图，这里k=1

2 计算Melnikov函数

系统(1)可改写为如下的自治形式

(4)

假设未扰动系统的异宿轨道为(x0,y0)=(x0(t),y0(t)),则系统(4)的Melnikov函数为

(5)

这里t0是Poincare映射与横截面相交的时间，也可理解为外力项的初始时刻。

2[βA1-αA2(k)+fA3(Ω)sinΩt0+gA4(Ω+ω)·

sin(Ω+ω)t0+gA5(Ω-ω)sin(Ω-ω)t0]

(6)

3 Ω=ω时幅值调节力对系统的影响

通过理论分析和数值模拟，研究当Ω=ω时系统(1)马蹄混沌的产生，有以下3种情形

Case 1:g=0；

Case 2:g固定不变；

Case 3:f固定不变。

3.1 g=0时的异宿分支与混沌

当g=0时，系统(1)由正弦外力fsinΩt驱使，则Melnikov函数(6)为

M(t0)=2[βA1-αA2(k)+fA3(Ω)sinΩt0]

因此，如果

定理1 系统(4)在

f=±R1(β,α,k,Ω)

处发生异宿分支，说明如果ε>0充分小，则横截异宿轨道存在，系统(4)可能产生混沌。

图2(a)-(d)分别给出了系统(1)在(f,x),(α,x)和(β,x)平面上的分支图，这里(a)g=0,β=0.02,α=0.2,k=1；(b)g=0,β=0.02,f=2,k=1；(c)g=0,β=0.004,f=1.5,k=1；(d)g=0,α=0.2,f=1,k=1。

从图2(a)-(c)，看到混沌状态与周期状态的交替出现。从图2(d)，发现带有周期窗口和内部危机的瞬时混沌。图3给出了对应于图2的相图。

图2 (a) 系统(1)在(f,x)平面的分支图；(b-c)系统(1)在(α,x)平面的分支图；(d)系统(1)在(β,x)平面的分支图

图3 (a-b)对应图2(a)的相图;(c-d)对应图2(b)的相图; (e-f)对应图2(c)的相图;(g-h)对应图2(d)的相图.

3.2 g固定不变时的异宿分支与混沌

g的值固定不变，当Ω=ω时，Melnikov函数(6)为

M(t0)=2[βA1-αA2(k)+fA3(Ω)sinΩt0+

gA4(2Ω)sin(2Ω)t0]

因此，如果

|R2(β,α,k,Ω,g)|

定理2 系统(4)在

f=±R2(β,α,k,Ω,g)

处发生异宿分支，说明如果ε>0充分小，则横截异宿轨道存在，系统(4)可能产生混沌。

图4(a)和(b)分别给出了系统(1)在(f,x)和(β,x)平面上的分支图，这里(a)g=0.1,β=0.02,α=0.2,k=1;(b)g=0.1,f=0.2,α=0.2,k=1。

图4 (a) 系统(1)在(f,x)平面的分支图；(b)系统(1)在(β,x)平面的分支图

从图4中可以看到混沌状态与周期状态的交替发生，带有复杂周期窗口与内部危机的瞬时混沌。图5(a)和(b)分别给出当f=1.15和β=1.137的相图。

图5 对应于图4的相图

3.3 f固定不变时的异宿分支与混沌

f的值固定不变，当Ω=ω，使Melnikov函数M(t0)具有简单零点的必要条件是

定理3 系统(4)在

g=±R3(β,α,k,Ω,f)

处发生异宿分支，说明如果ε>0充分小，则横截异宿轨道存在，系统(4)可能产生混沌。

图6(a)和(b)分别给出了系统(1)在(g,x)和(α,x)平面上的分支图，这里(a)f=0.2,β=0.02,α=0.2,k=1;(b)f=0.2,β=0.02,g=0.1,k=1；图6(c)和(d)分别是图6(a)和(b)的局部放大分支图。

从图6(c)看到，当g=1.64和g=1.68时带有周期-2窗口和内部危机的混沌区域。图7(a)和(b)分别给出g=1.645和α=0.05时的相图。

图6 (a) 系统(1)在(g,x)平面的分支图；(b) 系统(1)在(α,x)平面的分支图； (c) 对应(a)的局部放大分支图，这里1.5

图7 (a) 对应图6(a)的相图； (b) 对应图6(b)的相图

4 Ω≠ω时幅值调节力对系统的影响

通过数值模拟，研究受幅值调节力驱动的系统(1)在不同频率Ω≠ω下的动力学行为。有以下两种情形

Case 1:Ω和ω是可通约的；

Case 2:Ω和ω是不可通约的。

4.1 Ω和ω是可通约的

取参数值β=0.02,α=0.2,k=1,ω=1,Ω=2。这种情形下外力是周期的。图8(a)给出了g=0而f是变化的分支图。图中可看出具有内部危机、间断动力学行为以及从1，2周期开始到混沌的倍周期分支。研究当f分别固定在一正规区域和一混沌区域时，系统(1)随控制参数g变化的动力学行为。当f=1.18且g=0时系统是周期的，图8(b)是g从0到1的分支图。图8(c)是对应于f=1.22时的分支图(当g=0时是混沌的)。图8(d)给出了f=0且g∈[0,1]时的分支图。图8(e)和(f)分别给出了当固定g为g=0.63(周期区域)和g=0.66(混沌区域)时的分支图，从图中可以清晰的看出控制参数f对系统动力学的影响。

图8 各种分支结构，这里k=1,β=0.02,ω=1,Ω=2,α=0.2

4.2 Ω和ω是不可通约的

图9 分支结构，这里k=1,β=0.02,

图10 对应图9(a)和(b)的相图

5 系统(1)的其他分支结构和动力学行为

研究系统(1)的其他分支结构和动力学行为， 考虑以下3种分支参数情形

(i)β为分支参数(0≤β≤0.05)，固定α=0.2,g=0.1,ω=1,Ω=2和一些f值；

(ii)α为分支参数(0≤α≤0.5)，固定f=0.2,g=0.1,ω=1和一些Ω值；

(iii)Ω为分支参数(0≤Ω≤2)，固定β=0.002,f=0.2,g=0.1,ω=1和一些α值。

情形(i)对不同的f值，图11(a)-(d)给出了系统(1)在(β,x)平面上的分支图，显示出振幅f对系统动力学的影响。从图中可以看到混沌行为和周期行为交替出现，并且发现带有复杂周期窗口的混沌区域。

图11 系统(1)在(β,x)平面的分支图，这里(a)f=0.5;(b)f=0.7;(c)f=0.8;(d)f=1

情形(ii) 对不同的Ω值，图12(a)-(d)给出了(α,x)平面上的分支图，显示出频率Ω对系统动力学的影响。从图中可以看到混沌行为和拟周期行为交替出现。

图12 系统(1)在(α,x)平面的分支图，这里(a)Ω=0.2;(b)Ω=1.4;(c)Ω=2;(d)Ω=3

情形(iii) 图13(a)和(b)给出了系统(1)在(Ω,x)平面上的分支图。从图中可以发现大范围的带有小的拟周期窗口的混沌区域。

图13 系统(1)在(Ω,x)平面的分支图，这里(a)α=0.1;(b)α=0.25

6 结 论

本文研究了受幅值调节力驱动的Josephson系统的动力学行为，利用理论分析和数值模拟发现很多复杂动力学行为，这些行为源自阻尼和幅值调节力的影响。特别的，从图11-13可以看出幅值调节力中的振幅f和频率Ω对系统动力学的影响起了关键的作用。图12显示出通过调节阻尼α值，可以调节系统从混沌进入到周期状态，故可以将其看作是一个控制器。对理解Josephson系统的动力学行为，这些结论是重要且实用的。

参考文献：

[1]KONISHI K. Generating chaotic behaviors in an oscillator driven by periodic forces[J]. Phys Lett A,2003,320:200-206.

[2]VENKATESAN A,PARTHASARATHY S,LAKSHMANAN M. Occurrence of multiple period-doubling bifurcation route to chaos in periodically pulsed chaotic dynamical systems[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2003,18(4):891-898.

[3]GE Z M,LEU W Y. Anti-control of chaos of two-degrees-of-freedom loudspeaker system and chaos synchronization of different order systems[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2004,20(3): 503-521.

[4]GANDHIMATHI V M,MURALI K,RAJASEKAR S. Stochastic resonance with different periodic forces in over damped two coupled an harmonic oscillators[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2006,30(5):1034-1047.

[5]SALAM F M A,SASTRY S S. Dynamics of the forced Josephson junction circuit: the regions of chaos[J]. IEEE Trans Cir Syst,1985,32:784-796.

[6]BARTUCCELLI M,CHRISTIANSEN P,PEDESEN N,et al.Prediction of chaos in a Josephson junction by the Melnikov function technique[J]. Phys Rev B,1986,33:4686-4691.

[7]JING Z J. Application of qualitative methods of differential equation to study phase-locked loops[J]. SIAM J Appl Math,1983,43(6):1245-1258.

[8]JING Z J. Chaotic behavior in the Josephson equation with periodic force[J]. SIAM J Appl Math,1989,49(6):1749-1758.

[9]JING Z J,CHAN K Y,XU D S,et al. Bifurcation of periodic solutions and chaos in Josephson system[J]. Discrete Contin Dyn Syst,2001,7(3):573-592.

[10]YANG J P,FENG W,JING Z J. Complex dynamics in Josephson system with two external forcing terms[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2006,30(1):235-256.

[11]JING Z J,CAO H J. Bifurcation of periodic orbits in a Josephson equation with a phase shift[J]. Int J Bifurcation Chaos: Appl Sci Eng,2002,12(7):1515-1530.

[12]CAO H J,JING Z J. Chaotic dynamics of Josephson equation driven by constant dc and ac forcings[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2001,12(10):1887-1895.

[13]RAVICHANDRAN V,CHINNATHAMBI V,RAJASEKAR S. Homoclinic bifurcation and chaos in Duffing oscillator driven by an amplitude-modulated force[J]. Phys A,2007,376:223-236.

[14]WIGGINS S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos[M]. New York: Springer-Verlag,1990.