含干摩擦两单自由度碰撞振动系统的动力学分析

杨 昊，王树国

(兰州交通大学数理与软件工程学院，兰州 730070)

在工程技术的许多领域，机械系统内部或边界上的间隙常使系统产生碰撞振动，最常见的是零部件之间或零部件与边界之间的往复摩擦碰撞。由摩擦力和碰撞引起的振动是强非线性、非连续、非光滑性的，所以含干摩擦振动是比较复杂的系统，吸引了众多学者从事这方面的研究［1－3］。Holmes［1］对弹跳球模型、Shaw［2］对双面碰撞振动系统进行数值模拟，并发现了Smale马蹄。Ivanov等［3－4］对碰撞周期倍化过程中的“擦边”运动及奇异性进行探讨。Masri［5］首次提出单自由度冲击消振器任意碰撞次数稳态周期运动的精确解，研究了对冲击周期运动与非对称冲击周期运动的相互转化。Ding用中心流形－范式的方法研究多自由度碰撞振动系统强共振的hopf分岔与次谐分岔问题。

在碰撞振动和摩擦振动的研究中，很少涉及同时存在干摩擦和碰撞时的系统动力学问题。对于包含干摩擦的碰撞振动系统来说，往往写不出分段响应的解析式，其理论研究较为复杂。Cone等［9］采用数值方法研究包含干摩擦的单自由度双面冲击振子，结果发现系统存在周期倍化序列、擦边分岔以及黏滑碰撞运动。Virgin等［10］描述了包含库伦摩擦阻尼的双边谐激励碰撞振子的全局动力学，由吸引域的研究给出系统的完全解集，并说明擦边分岔是系统行为突变的来源。本文主要用了数值方法结合理论分析研究了干摩擦激励下两单自由度碰撞振动系统在皮带轮速度变化下的分岔现象，并讨论了摩擦因数和激励振幅比对系统粘滑振动的影响。

1 力学模型及运动方程

1.1 力学模型

图1为含干摩擦两单自由度碰撞振动系统模型。质量为M1和M2的质块的位移分别用X1和X2表示，质块M1和M2分别由刚度为K1、K2的线性弹簧和阻尼系数为C1、C2的线性阻尼器连接。质块M1和M2放置在以速度V运动的皮带轮上，质块与皮带轮间的动摩擦因数为U。作用在质块M1和M2上的激励振幅为P1和P2，频率为Ω的简谐激励为 Pisin(ΩT+τ)，i=1，2。

图1 干摩擦碰撞振动模型

1.2 运动微分方程

当2个质体的位移间隙为 B，X1(t)－X2(t)=B时质量为M1和M2的质块将会发生碰撞，碰撞由动量守恒定律描述，并且假设碰撞持续的时间忽略不计。假设模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，系统的碰撞恢复系数由R确定。在任意2次碰撞之间，2个单自由度振子的无量纲运动微分方程:

假设碰撞为刚性碰撞，碰撞过程在瞬息完成，根据动量守恒定律及恢复系数R描述碰撞前后碰撞体的速度跳跃，且能耗在撞击细节中不考虑。当x1(t)－x2(t)=δ时，质块M1和M2发生碰撞。

对于摩擦力，假设质块与皮带轮的摩擦力符合库仑摩擦模型。式(3)中:fμ与 fμm/(1－m)表示质块 M1和 M2所受的滑动摩擦力;fμs与fμsm/(1－m)表示质块M1和M2在皮带轮上受的最大静摩擦力。

1.3 粘着、滑动及碰撞

在图1所示系统中，干摩擦和间隙的存在会导致系统出现不连续，但出不连续点外系统是连续的，由此可见系统的动力学模型可以分为一段段的线性系统，并在一完整的运动过程中会产生粘着、滑动及碰撞。系统在一个完整运动过程过程中，有以下几种情况并给出各种情况出现的边界条件，可令质块M1除摩擦力外所受的合外力为质块M2除摩擦力外所受的合外力为

情况1 x1=v，x2≠v。此时，M1粘着 M2滑动且，直到开始滑动。

情况2 x1≠v，x2=v。此时，M1滑动 M2粘着且，直到－m)，M2开始滑动。

情况3 x1=v，x2=v。此时，M1粘着 M2粘着且)，直到开始滑动或开始滑动。

情况4 x1≠v，x2≠v。此时，M1滑动 M2滑动且，2 个质块都处于滑动状态。直到开始粘着或(1－m)，M2开始粘着。

情况5 x1(t)－x2(t)=δ。此时，两质块发生碰撞。

质块M1和M2的运动状态反复在上述5种状态间转换。

2 系统的周期运动及其稳定性

通过运动方程的映射图对碰撞系统进行适宜的分析，每一次迭代都表示质块M1和M2发生一次碰撞，在适当参数条件下，2质块碰撞振子可以呈现周期碰撞运动。令θ=ωt，取Poincaré截面:，建立2碰撞振子 q=1/1运动的Poincaré映射:，式中:X∈R4;v 是实参，v∈R1或 R2;X=X*+ΔX;X'=X*+ΔX';Δx和 Δx'是Poincaré截面 σ 上 q=1/1不动点 ΔX=的扰动量。在适当的参数下，振子的运动呈现周期性，并且图1所示系统具有对称性，在一定参数下系统会出现对称的碰撞运动。假设在n个激励周期内，经历了p次右碰撞和k次粘滑后，系统运动重复，称为n－p－k运动，其无量纲时间t为0。那么下次质块碰撞前瞬时，无量纲时间 t恰好为 2nπ/ω(n=1，2，…)，即连续两次碰撞的时间间隔皆为2nπ/ω。对于给的Poincaré映射，由于流的解析解很难给出，对于这些映射的研究一般借助数值的方法来完成。将各个映射的复合映射的链式法则复合，可以得到映射P的Jacobi矩阵DP，根据矩阵DP的特征值λ可以判断出图1所示碰撞振动系统周期运动的稳定性和局部分岔。

3 数值分析

着重研究干摩擦和振动对系统动力学的影响，任意选定一组参数:m=0.75，ζ1=0.01，ζ2=0.01，fμ=0.2，ω0=1.2，δ=0.01，v=0.2，fμs=1.1fμ，取不同的f0和摩擦因数fμ为变化参数，当ω由1.5到7变化得到的全局分岔图。由图2(a)中可以看出摩擦力fμ和激振振幅f0对系统运动影响在不同频率段的敏感程度不同。激振振幅f0在从2到7增大时候系统的复杂程度降低。运动由多段的单周期到倍周期到混沌交错出现的过程，逐渐演化成2段，而且质块穿越Poincaré截面的速度在ω从1.5到3的阶段变化相当敏感。随着f0的增大，在ω从1.5～3的阶段质块穿越Poincaré截面的速度在不断变大。图2(b)表现了不同的摩擦力对Poincaré截面投影图的影响。随着摩擦力的增大，在激励频率比较大的阶段，系统从存在混沌带和一些周期窗口演化成倍周期混沌最后到周期运动。在激励频率比较小的时候只是影响的穿越截面的速度大小。混沌带和一些周期运动窗口与下一次之间是通过稳定的周期一运动过渡。并大整个频率段多处稳定周期运动进入混沌时存在周期倍化分岔。

图3为选定 f0=7，fμ=0.5 随 ω(3 ～3.55)的递增出现周期倍化分岔(除图中标明的参数外其他均为基本参数，以下同)，展示系统在粘滑状态下由周期1－1－1运动(如图3(b)所示)变为周期2－2－1运动(如图3(c)所示)，再由周期4－4－1运动(如图3(e)所示)变为混沌运动(如图3(f)所示)，经过比较窄的混沌带后，系统化为周期运动。图3(g)～(i)分别为M1响应的速度时间历程图。无论是从相图还是时间响应图中都可以看出质块粘滞于皮带轮上的情况，并且展现了随着摩擦因数的变化系统的运动状态也发生变化的情况。

图2 分岔图ω－

图3 周期倍化过程

4 结束语

建立了一个2单自由度含间隙和干摩擦耦合碰的撞振动系统动力学模型，给出了判定系统粘滑碰撞准则和判定系统周期运动稳定性的理论方法，对系统在不同摩擦力的影响所呈现的动力学行为进行了非线性动力学分析以及由于摩擦导致的粘－滑振动行为。讨论Poincaré截面上的不动点类型的转化及其向混沌的演化过程。数值模拟的结果表明增大摩擦力对系统动力学性能影响比较大。在频率比较大的时候影响了系统的拓扑结构，在频率比较小的时候影响了质块穿越的速度。激振振幅的变化对系统的运动的拓扑形态产和穿越Poincaré截面的速度产生了比较敏感的影响。对其分岔与混沌行为的研究为机械系统的动力学优化设计提供了理论的依据。

［1］Holmes P J.The dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table［J］.Joumal of Sound and Vibration，1982，84(2):173 －189.

［2］Shaw S W.The dynamics of a harmonically exited system having rigid amplitude constraints［J］.Joumal of Applied Mechanics，1985，52(2):453 －464.

［3］Ivanov A P.Stabilization of an impact oscillator near grazing incidence owing to resonance ［J］.Joumal of Sound and Vibration，1993，162(3):562 －565.

［4］Nordmark A B.Non－periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator［J］.Joumal of Sound and Vibration，1991，145(2):279 －297.

［5］Masri S F.General motion of impact damper［J］.The Jourmal of Acoustical Society of America，1970，47:229－237.

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［7］Xie J H，Ding W C.Hopf-hopf bifurcation and T2 torus of a vibro-impact system ［J］.Intemational Joumal of Non － linear Mechanics，2005，40(4):531 －543.

［8］Ding W C，Xie J H，Interaction of Hopf and period doubling bifurcations of a vibro－impact system［J］.Joumal of Sound and Vibration，2004，275(1 －2):29 －45.

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［10］Virgin L N，Begley C J.Grazing bifurations and basins of attraction in an impact-friction oscillator［J］.Physica D，2001，132:43 －57.

［11］陆启韶，金俐.具有刚性约束的非线形动力系统的局部映射方法［J］.固体力学学报，2005，26(2):132－138.

［12］丁旺才，张有强，张庆爽.含对称间隙的摩擦振子非线性动力学分析［J］.工程力学，2008，25(10):212－213.