用龙格-库塔法优化一种模糊控制器

王江荣

(兰州石化职业技术学院 信控系，甘肃 兰州 730060)

0 引言

带有可自调整因子的模糊控制器输出的一般形式为U=-{α(t)E(t)+(1-α(t))EC(t)}(0＜α＜1)，其中 E(t)和 EC(t)是模糊论域上量化后t时刻的误差和误差变化。α(t)是时刻t的可调整因子(可在线实时调整)。U=U(t)是模糊论域上的输出，其值取决于对误差和误差变化的加权。对可调整因子α(t+1)=α(t)+Δα的在线修改往往根据人们的经验或实验调试确定，这样的修改会有一定的主观性和盲目性。本文利用四阶龙格一库塔公式逼近被控对象，再结合梯度下降法实现了可调整因子中的Δα(t)中的在线修改和在线优化，仿真曲线表明，在响应时间相同的情况下，具有优化后的调整因子的模糊控制器在稳定时间、超调及鲁棒性等几方面的性能均优于未优化的模糊控制器，显著地改善模糊控制系统的控制精度和稳态性能。

1 龙格-库塔

龙格-库塔法是求解常微分方程初值问题的有效数值方法。这种方法的特点是区间［xk，xk+1］上取N个点，以这N个点的斜率值f(xk，yk)的线性组合为加权平均斜率，构造近似公式

其中 k1=f(xk，yk)

确定这些常数的原则和方法是:将精确解y(xk+1)在xk作Taylor展开，ki在(xk，y(xk))点作二元Taylor展开，将展开式按h的幂次整理后，令h0，h1，h2，…等项的系数为零，使Tk+1首项中 h的幂次尽量高。

在近似公式中取N=4，可得到四阶龙格-库塔法公式yk+1其中 k1=f(xk，yk)

四阶龙格-库塔法的优点是它的精确度高且是一步法，即已知yk就可以算出yk+1，另外容易用程序实现。

2 可调整因子α(t)的自动优化过程

设t时刻的可调因子值为α(t)，t时刻算出的α(t)的增量为Δα(t)，t时刻后算出的修改因子为 α(t+1)=α(t)+Δα，Δα 可由t时刻采样所得的误差e(t)求得。对α(t)的实时修改和优化具体推理过程如下:

设t时刻的误差e(t)和误差变化ec(t)量化后得到模糊论域上的误差为E(t)和误差变化EC(t)，则t时刻模糊控制器在模糊论域上的输出为

该输出乘以输出比例因子Ku就得到t时刻的控制器的实际输出 u(t)，即

设被控对象的状态方程(可用MATLAB软件将被控对象的传递函数H(s)转化为状态方程)

其中，A，B，C，D 是系数矩阵。u为式(1)。

用龙格-库塔法逼近被控对象如下

则t+1时刻系统的输出为

t+1时刻的误差

这里的r(t+1)是系统输入。

Δα(t)的计算

这里的λ和μ是比例系数。

按负梯度方向求t时刻可调整因子α(t)的增量Δα(t)，即

由(2)可得

将上四式代入(9)得

将(8)、(9)及(11)代入(7)得

当系统确定时，即A，B，C，D及h确定时

由(12)知只需调整参数β和γ就能计算出Δα(t)(并不依赖状态方程中的系数矩阵)，进而实现对模糊控制器的优化。

3 仿真结果

利用MATLAB进行仿真实验

(2)假设系统的模型可以用二阶加纯滞后表示，即传递函数为采样时间间隔为 ΔT=0.01 s，输入为阶跃函数r(t+1)=1.5，α 的初始值取 0.5，β=0.065，γ =0.015时，系统的输出响应为如图2中的曲线1.图2中的曲线2是没有加修改的 Δα(t)的情形。可以看到用龙格-库塔法进行修改 Δα(t)，模糊控制器的输出曲线上升时间短(到达稳态)，且具有很好的稳态性能(振荡幅度小)，说明本文方法起到了优化效果。

4 结束语

本文利用龙格-库塔法改进了自寻优模糊控制器的可调因子α(t)，实现了对α(t)的在线实时优化。从仿真曲线表明，在响应时间相同的情况下，具有优化后的调整因子的模糊控制器在稳定时间、超调及鲁棒性等几方面的性能均优于未优化的模糊控制器。它最大限度地识别和利用控制系统所提供的信息，不断的修正控制规则，使控制器本身的控制规律适应系统的需要，从而显著地改善模糊控制系统的控制精度和稳态性能。

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