基于正多面体法的单相异步电机优化设计

马吉祥 孙 华

（1.上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 200129；2.江苏省吴江市供电公司，江苏 吴江 215200）

单相异步电动机又称单相感应电动机，具有结构简单，价格低廉，运行可靠，维护使用方便等一系列优点，被广泛运用于轻工设备，日用机电器具等诸多方面，成为最贴近人们生活的电机品种。随着电力电子和控制技术的不断发展，单相异步电机的控制性能也得到了很大的提升，因此对其进行优化设计，降低其成本，提高其性能是必然的趋势。

传统电机优化设计[1-2]采用的优化算法是一种基于设计变量可微分性的数值方法，主要有直接搜索法和随机搜索法两种寻优模式，其中经典寻优策略有Powell法、单纯形法、惩罚函数法（SUMT）[3]、可变容差法和梯度法等等。20世纪90年代以来，模拟退火（SA）[4-8]、遗传算法（GA）[9-14]、禁忌搜索（TS）[15]和模拟进化（SE）等现代启发式优化算法得到迅速发展。其中惩罚函数法（SUMT）的惩罚因子常常难以选取；惩罚因子过大，函数会因对分配的权重过小而忽略对目标函数的影响，将给计算增加困难，惩罚因子过小，惩罚项得不到足够的惩罚，满足约束条件的精度就会降低。模拟退火算法（SA）的温度控制难以掌握，计算量很大，需要太长的计算时间，直接影响了此算法的寻优能力。遗传算法（GA）需要进行大量的目标特性的分析，如果目标分析方法比较耗时，计算量很大，此外在遗传操作中会产生大量的不可行解，对参数的控制要求也比较严格，且易发生早熟现象。

正多面体法是一种约束优化的有效方法，收敛迅速，在搜索过程中只需要计算目标函数值，程序简单，控制量少。算法包含平移、翻转、收缩3个主要动作，利用搜索点的局部测试信息来寻找目标函数的下降方向，并向这个方向平移，越限后翻转或者收缩，然后重复这样的动作直至到达最优点。正多面体法适合于单相异步机这样低成本，结构简单的电机设计，是本文研究的算法。

1 正多面体算法的基本原理

1）选择一个可行点（内点）X(0)作为初始点，在n维欧氏空间中生成一个以 X(0)为形心，边长为T0的初始正多面体。此正多面体具有n+1个顶点。

2）在比较形心点 X(0)和正多面体n+1个顶点的目标函数数值以及约束满足的情况下，使正多面体在n维空间执行平移，翻转和收缩等3种基本搜索策略，并形成一个新的正多面体。在每次变动中必须满足以下条件：

（1）在搜索过程中，始终保持形心在可行域D内。

（2）在搜索过程中，正多面体不发生畸变，始终保持为正多面体的形状，只是位置或大小有所变化。

（3）每次搜索变动后，正多面体形心的目标函数值必须小于变动前的形心函数值。

反复运用上述3种基本搜索策略，使新的正多面体的形心 X(0)逐渐逼近最优点X*。

3）以2维的正三角形为例加以说明。

（1）平移：每在一个新的正多面体形成后，经过形心函数值和各顶点函数值比较后，如果有一个函数值最小的可行顶点 X(L)，其函数值 FL比形心X(0)的函数值F0还要小时，正多面体就沿 X(0)X(L)连线方向平移搜索（如图1所示）。

图1 平移策略

平移步长H就是形心 X(0)与那个好顶点 X(L)的距离，即

平移点为

函数值为 F ( Z )= F( X(Z))，一旦平移成功，则按步长H继续平移，直至平移失败，退回最后一个成功点 X(Z)，且把 X(Z)作为新正多面体的形心 X(0)。

如果可行顶点 X(L)的函数值 FL并不比形心函数值F0小时，则无法平移，而进入翻转移动。若各顶点中无一是可行点，则进入收缩。

（2）翻转：当正多面体所有可行顶点的函数值均比形心值F0大时，就准备翻转。所谓翻转就是，除某一顶点 X(U)外，正多面体的其他几个定点不动，将 X(U)用其他n个顶点所决定的超平面对称点X(W)来代替，形成一个新的正多面体（如图2所示）。

图2 翻转策略

翻转后的新正多面体的形心 X(V)称为原正多面体的旁心。显然，一个正多面体有n+1个旁心，可以有n+1种不同的翻转。

为实现最理想的翻转，从n+1个旁心中找出函数值最小的可行旁心，记 X(V)，其函数值记为FL。如果满足

即旁心的函数值 FL小于原正多面体形心得函数值F0，则实施这种翻转，并令 X(0)= X(V)；否则，说明无法进行翻转，只能实现收缩。

（3）收缩：当正多面体的各顶点均为非可行点或无法进行翻转时，就实施收缩。将正多面体的各个顶点均向形心 X(0)收缩相同的距离，本文中收缩1/2，使形成的新正多面体的边长T也相应收缩1/2，即

如图3所示。

2 正多面体法的具体实现

（1）给定维数n，初始可行形心 X(0)，初始边长 T0和精度ε。 T0要取得适当，如果取得过大或者过小都会增加搜索时间。

图3 收缩策略

（2）形成初始正多面体：设形心 X(0)的坐标为函数值为 F0= F ( X(0))则n+1个顶点坐标可用两维数组 X Y( i, j)表示如下，行号i为顶点号，列号j为该顶点的各维坐标分量。

其中

（3）判别正多面体的各个顶点是否均为外点。

如果所有顶点都为非可行点，则转式（9）进行收缩；否则转式（4）。

（4）找出可行域中的最好顶点 X(L)

若满足 F L＜F0，则转式（5）进行平移；否则转式（6）找旁心。

（5）平移搜索：平移的方向是 X(0)→X(L)，平移的步长为 H = X(L)- X(0)。对 Z=1，2，…，n，依次考察 X(Z)= X(0)+ ( Z + 1 )H ， F ( Z )= F ( X(Z))。如果X(Z)是内点，且 F ( Z)＜F0，即平移成功，继续平移，且令 Z = Z+1， F0= F ( Z)；否则，退回最后一个成功点作为形心，即

平移后形成的新正多面体的各顶点坐标为

且转式（3）。（6）计算各旁心，并判别是否均为外点？各旁心的坐标为

各旁心的约束函数最大值

若各旁心均为非可行点，则转式（9）进行收缩；否则找出最好的可行旁心 X(V)，其函数值记为FL。

（7）翻转判别：如果满足 F L＜F0，则转式（8）实施正多面体的翻转，否则式（9）进行收缩。

（8）翻转计算：设翻转前的形心为 X(0)，顶点为 X(U)，翻转后的对应顶点为 X(W)，翻转后的新形心为 X(V)，则

且转式（3）

（9）收缩：当形成的正多面体的各顶点均为非可行点或者无法进行翻转移动时，便实施收缩策略。将正多面体各顶点向形心 X(0)移动一半的距离，形成一个新的小正多面体。各新顶点的坐标为

(i = 1 ,2,… ,n + 1 , j = 1,2,… ,n )边长也减为一半，即

（10）终止迭代判别：如果正多面体的边长满足

此时，则输出最优点

否则转式（3）进行新的迭代。

3 软件开发和算例分析

3.1 软件的主要功能

（1）根据电机结构和尺寸计算其电磁特性、输出转矩、效率、输出功率等力能指标以及温升、损耗和有效材料成本。

（2）采用基于正多面体算法，以成本作为目标函数对电机的结构参数进行优化，并进行优化前后电机性能和成本的比较。

3.2 软件的主题结构

根据软件的主要功能，可分为两个模块，即电机电磁特性、性能、成本等计算模块和优化算法模块。模块图如图4所示。

图4 软件模块图

3.3 算例分析

我们以有效材料成本为目标函数，采用正多面体优化算法对单相异步电机进行了优化设计。这里我们采用的电机仍为单相4极异步电机，额定转速1500r/min，额定功率14W，电压200V。具体结果如表1所示。

表1 参数对比分析

优化后，主绕组槽满率下降了29.02%，副绕组槽满率下降了27.38%，成本降低了6.73%。

4 结论

（1）正多面体算法程序简单，控制量少，在搜索过程中只需要计算目标函数值，避免了因进行大量的目标特性分析、方法比较而造成的速度慢，计算量大，运算时间长等弊端。

（2）正多面体算法具有收敛迅速的优点，操作过程中不会产生大量的不可行解。

（3）正多面体算法适用于低成本，结构简单的电机设计，可有效地降低成本，具有经济实用性。

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