多径效应下的信号相关性分析

刘春静 张锦中

(中国电子科技集团公司第三十八研究所 合肥 230088)

1 引言

在无线信号传输的过程中，由于自然环境的影响使得信号的传播存在多种可能的路径，传播路径的不同就可能导致多个不同时延的信号在接收机处相互叠加，从而产生多径效应。多径效应对于阵列信号处理中的DOA(direction of arrival)估计也会产生不利的影响，但一些文献片面地认为这种不利影响是由于多径时延信号之间必然的相干性(或高度相关性)引起的［1～4］，因为超分辨测向算法(如 MUSIC等［5］)实现的前提是入射信号互不相关。文献［6］比较认真地讨论了DOA估计中的信号相关性问题，纠正了以前文献中的诸多错误之处，遗憾的是，文章最后得出的一个主要结论并不完善。该结论认为:只有频率和初始相位都相同的单频点信号才是相干信号，而事实并非如此。该文从信号相关性的定义着手，分别推导了单频信号和带通信号下的互相关系数表达式，并重点研究了多径信号之间的相关性问题，最后对宽带频域DOA估计中一个容易被忽略的错误进行了详细的分析和阐述。

2 信号相关性

两个信号x(t)和y(t)的相关程度可以采用相关系数ρ来衡量，其定义为［7］:其中D(·)表示信号方差，E(·)表示数学期望。

当ρ=0时，两信号互不相关;当0＜|ρ|＜1时，两信号相关;当|ρ|=1时，两信号相干，即完全相关。

根据相关系数的定义，两个单频信号x(t)=asin(ω1t+φ1)与y(t)=bsin(ω2t+φ2)的互相关系数为:

其中 φ1，φ2分别为信号 x，y的初始相位。当 ω1≠ ω2时，ρ=0，即两个不同频率的单频信号必定互不相关;当 ω1= ω2时

文献［6］指出只有频率和初相位都相同的单频信号才是相干信号，由(3)式可以看出，该结论并不正确，而应该修改为:频率相同且相位相差0°或180°的单频信号为相干信号，而相差为90°或270°的单频信号互不相关。

现实环境中并不存在理论上的单频信号，而总是具有一定带宽的(无论窄带还是宽带信号)。假设两个信号可表示为:

则x(t)与y(t)的互相关系数为:

从(4)式可知，x(t)与y(t)互不相关的情况有以下两种:

a．两信号的频带互不重叠时，即 ∀i，j，ωi≠ ω'j时，ρ=0;

b．两信号的频带完全相同，即I=J且ωi=，当满足时，ρ=0。

值得注意的是，对于频带完全相同的两个信号，其互相关系数为:

即同频带信号并不一定相关，而是取决于各频率点的幅度和对应的相位差;只有同频带的信号才可能相干，但还应该满足以下条件:

3 多径信号与相关信号

在实际的无线环境中，多径效应是比较普遍的现象。在一些文献中将多径信号与相关信号的概念相混淆［1～4］，下面我们讨论多径信号与相关信号之间的关系。

多径效应的产生是由于相同的信号经过不同的路径到达接收机而造成一定的时延。假设直达信号为x(t)，其中一多径信号为x(t-τ)，τ为时延。对于单频点信号，信号相位差为ωτ=nω/fs，n为延迟样本数，fs为采样频率，即

因此，ρxy与信号频率、延迟样本数和采样频率有关。

考虑具有一定带宽的信号，在多径条件下bi=κai(κ为实常数)，则根据(5)式可得:

若a1=a2=… =aI，即信号的频谱是均匀的，此时

从以上分析可以得出下述结论:

a.多径效应不一定使信号相关，可能会导致信号相干;

b.对于理想的单频信号，直达信号与多径信号的相关程度取决于信号角频率ω、延迟样本数n和采样频率fs;

c．对于具有一定带宽的信号，直达信号与多径信号的相关程度取决于信号频率范围、频率点数I、直达信号的各频点的幅度ai、延迟样本数n和采样频率 fs。

4 宽带频域DOA估计中的信号相关性问题

在宽带DOA估计中，通常将接收信号变换到频域后进行处理。假设有K个远场宽带信号从方向θ1，θ2，…，θK入射到间距为d的M(＞K)元均匀直线阵上，接收信号的频率范围为［fL，fH］，采用的频点个数为J，则频率fi处阵列接收信号的频域表达式为［8～10］:

其中s(fi)、n(fi)分别为K×1的信号向量和M×1的噪声向量，A(fi，θ)为M×K的导向矢量矩阵，即:

频率fi处的导向矢量:

其中τm，k为第k个信号到达阵元m时相对于参考阵元的传播时延，上标T表示矩阵转置。

为方便书写，我们将 A(fi，θ)和 a(fi，θk)分别简写为Ai和ai(θk)。设噪声为高斯白噪声，则频率fi处的协方差矩阵为:

在经典的IMUSIC宽带测向算法中，是将接收信号分解为互不重叠的窄带数据后，分别对每个频点进行窄带DOA估计，最后把各频点处的空间谱曲线相加。对于频率fi处的信号协方差矩阵，若信号相干或高度相关，都将引起Rs(fi)的秩亏缺，此时不能正确分辨出各信号源的入射角方向，即我们必须保证所有可用频点上的信号协方差矩阵都是满秩的。由(3)式和(5)式可知，同频带信号的互相关系数¯ρ与信号对应频点上数据的相关系数ρi存在以下关系(理想情况下):

即已知ρi(i=1，…，I)，可以求出¯ρ;但已知¯ρ，却不能确定ρi。因此，信号之间的相关性并不等价于信号对应频点上数据的相关性。

在文献［4］的仿真实验中有这样一个例子。两个宽带信号s1(t)和s2(t)分别从不同角度入射到均匀直线阵上，且s2(t)=s1(t-t0)，其中t0=0.125s。信号中心频率为100Hz，带宽为40Hz，采样频率为80Hz。接收的信号被划分为1000个子段，每个子段包含33个连续的样本点，即频点数为33。计算两个宽带信号的互相关系数绝对值为0.0008，相关程度非常低。图1绘出了频域上不同频点处两信号的互相关曲线。从图1中可以看出，各频点处的信号相关性明显增大，相关程度在0.68～0.71之间，因此两入射信号并不是相干的。文献［4］却片面地认为多径时延信号就是相干信号，这是不正确的。

图1 互相关系数曲线图

5 计算机仿真与分析

实验1:验证式(7)。设x(t)=3sin(2π×10t+π/6)，样本数为1000，图2(a)和(b)分别为采样频率100Hz、200Hz时x(t)和 x(t-n/fs)的互相关系数ρxy与延迟样本数n的关系曲线。从图2中看到，根据(7)式计算的理论值与采样估计值是十分吻合的。

图2 互相关系数与延迟样本数关系曲线(单频点)

图4 互相关系数与采样频率关系曲线

6 结论

本文讨论了多径效应下的信号相关性问题，指出了多径信号与相关信号之间的关系，尤其值得注意的是，信号的频率范围是评估时延信号相关性的重要因素。在某些特殊的工程实践中，通常需要产生或消除人为的时延相干信号，因此，文中的结论对实际应用具有理论上的指导意义。

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