插值节点不完全具有导数信息的 Hermite插值算法

□高 红

(国家广电总局725台，山西 榆次 030600)

不少实际的插值问题不但要求在各插值节点上插值多项多式函数与原函数的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求更高阶的导数相等。在所有节点上具有同阶导数信息，且要求插值函数与被插函数对应的同阶导数相等的Hermite插值问题研究已经有了良好的算法设计，也有学者研究不是所有的节点上都要求插值函数与被插函数导数值相等的问题，文献仅给出了导数相等的节点是有序节点集中相邻节点的情况。本文提出的插值节点不完全有导数信息的Hermite插值算法(简称IDIH)，研究了插值节点集中部分节点上插值多项式与被插函数导数相等的情况。

一、插值节点不完全有导数信息的Hermite插值算法

1.问题描述

f(x)∈C1[a,b]，设x0

xj∈Ω1时，H(xj)=yjj=1,2,3…n；xij∈Ω2时，H′(xij)=mjj=0,1,2…r (1)

可以证明满足条件(1)的次数≤n+r+1多项式H(x)是唯一的。证明：因(1)中包含n+r+2个条件，所以能够确定次数≤n+r+1的代数多项式H(x)，用反证法，假设P(x)与H(x)一样均满足条件，且次数≤n+r+1，于是：φ(x)=H(x)-P(x)也是次数≤n+r+1的多项式，但φ(x)关于集合Ω2中点是二重零点，关于集合Ω1-Ω2中点是一重零点，共n+r+2个零点，故φ(x)≡0，唯一性得证。

2.H(x)的构造

其中：

βk(xj)=0 j=0,1,2,…n;k=0,1,2…r (4)

其中以xij标出的节点属于Ω2。

αk(x)和βk(x)为次数≤n+r+1的多项式。

显然只要αk(x)和βk(x)符合以上条件必然使H(x)满足插值条件(1)，注意到αk(x)为次数≤n+r+1的多项式和条件(3)和(5)：

利用αk(xk)=1可求出bk，可得：

(7)

(8)

注意到βk(x)为次数≤n+r+1的多项式和条件(4)和(6)：

(9)

将(7)(8)(9)代入(2)得相应的Hermite插值多项式。

二、IDIH算法描述

㈠输入Ω1各节点及相应的相用函数值yj和Ω2各节点及相应导数值mj，x；H=0

㈡对k=0,1,2,…n

若xk∈Ω2用(8)计算αk(x)

否则用(7)计算αk(x)

H=H+αk(x)×yk

㈢对k=0,1,2,…r

用(9)计算βk(x)

H=H+βk(x)×mk

三、实验结果

表1 初始数据信息

表2 IDIH计算示例

四、结束语

实验结果可以发现，IDIH方法在内插值时精度可达到较高要求，可以证明当f(x)∈Cn+r+2[a,b]，x∈[a,b]，其截断误差为：其中ξ∈[a,b]

参考文献：

[1]徐士良．C常用算法程序集[M]．北京：清华大学出版社，1996．

[2]关 治，陈景良．数值计算方法[M]．北京：清华大学出版社，1990．

[3]孙英慧，孙英娟，杨柳．基于Hermite算法的曲线拟合[J] ．长春师范学院学报，2009，(4)．

[4]贾文渊，张 景.大学教学中多媒体技术的合理利用[J].山西广播电视大学学报，2009，(2) .