线性功率放大器模型设计及其系统辨识

谢耀，李久芳

(中国电子科技集团公司第四十五研究所，北京 101601)

线性功率放大器，它是以功率运算放大器为核心的功率驱动模块，因此它的设计和计算类似于一般的运算放大器，当然在采用了扩展电流后级驱动时，同样也可以按一般运算放大器的“虚地”和“虚断”概念来计算。在一个运算放大器、功率放大器、电流电压反馈等环节组成的复杂系统中，要抓住主要环节进行简化等效，切不可对每个环节建模计算，那样只会使模型建立复杂而难以实现，等效的环节必须表征它的特性。这里我们只探讨一般原则如何构建一个完整的系统模型，并对此进行分析计算来辨识整个系统的特性！

1 系统数学模型

数学模型包含驱动器、电机、机械负载、反馈环路等，由这几个部分组合成整个系统的传递函数，然后利用MATLAB对传递函数的方框图进行分析辨识。在我们做传递函数时，为了分析的方便，按照功能模块来计算传递函数，每个模块的传递函数代表一个特定的含义，这样我们就可以一目了然的对整个系统做清晰的概括，比如前置低通滤波、电压和电流放大与反馈、电机、机械负载等传递函数，通过仿真计算就可知道设计中需要修改矫正哪些环节，以便达到最佳的系统运行状态。

1.1 线性放大器数学模型

图1是一种线性功率放大器原理图的简图，我们以直线电机的驱动为例，为了分析方便对实际原理图进行了简化，但这并不影响对系统数学模型的建立。

图1 线性功率放大器原理图

在图中由R0R1C0组成了输入端的T型滤波器，可以较好的对高频干扰信号进行抑制，C1C2R4R5组成比例积分环节，可以改善动态性能和较好的稳态电压输出，R3R7组成电流反馈环节，可以对电流进行深度负反馈，从而稳定给定的输出电流，以控制电机的输出力矩。功率放大器以PA12为例，它具有较高的功耗，最高可达120W，峰值电流可达10 A以上，R6R'6为限流电阻，目的是对驱动器进行限流保护，包含在反馈环节的节点内部，所以在数学模型中与它是没有直接关系。

根据运算放大器基尔霍夫电流叠加定律的原理有：

设直线电机的内阻为Rm、电感为Lm、反电动势常数为Ke，在计算中忽略反馈电流Ifs(s)的影响，既可以认为：I0(s)≈Im(s)

则根据电流电压方程可以直接按积分算子S写出如下几组电流电压方程：

（其中Z-1(S)是C1、C2、R4、R5回路等效阻抗算子的倒数）

由式（2）、（6）、（7）可写成如下表达式：

即有：

设直线电机的位移为X(t)，

根据电压平衡方程可以写出如下表达式：

即有：

其中，E(s)=Ke·X(s)代表了电机的反电动势传递函数，它一个与位移相关的函数，位移大小与反电动势成正比。一般情况下，由于Rm要远远大于电流采样电阻R7，那么τm就完全反应电机的电感时间常数了。

1.2 直线电机系统数学模型

一般情况下，直线电机系统可以等效成一个简单的机械模型。假如系统运动部分质量是m，电机的推力为F(t)，机械系统的弹性系数为Km，黏性阻尼系数是Kc，由于机械运动负载为一个贯性负载，因此机械运动可以等效成单一自由度的弹簧-质量-阻尼器的机械位移运动，如图2所示，图（a）是它的运动力学模型，图（b）是它的等效模型图。

图2 直线电机机械系统模型

则直线电机的力平衡方程可以写成如下表达式：

我们知道直线电机的推力F(t)与电机线圈中的电流是一个接近线性的比例关系，设力常数为Kf，则有：

即：

1.3 系统的传递函数方框图

由式（8）放大器输出电压与给定输入电压传递函数、式（9）放大器输出电流与电压的传递函数、式（11）电机位移与驱动电流的函数，我们可以写出系统的传递函数，为了讨论方便，我们不再进行传递函数的简化计算，事实上做这样的简化计算也是得不偿失且没有必要的，过程繁杂，我们直接绘出系统传递函数结构图，对其结构图进行考察。因为直线电机的电流大小反应驱动力矩的大小，驱动力与速度、加速度等关联，为此我们将研究输出电流的特性与所给定的输入电压之间的关系。从下面我们会发现系统传递函数全面表征了电气、机械等关键环节的特性，比如电流、电压、时间常数、质量、位移等物理量，方框图如图3所示。

图3 系统传递函数方框图

2 采用MATLAB进行分析仿真

2.1 最优化参数选定

知道了系统的传递函数方框图，我们就可以直接在MATLAB上仿真，已知：

且机电、负载参数如下：

则可得：

采用阶跃输入，通过MATLAB仿真，我们可以看到输出有较大的超调量，如图4的1号曲线。

图4 不同时间常数的阶跃响应曲线

过大的超调是我们不希望看到的，我们希望减少超调量的同时不要使上升时间下降太多，改变一组参数，取 R4=390 K ，C1=47 pF，C2=1000 pF，其它的参数不变。

则可得：

通过MATLAB仿真如图4的2号曲线，我们可以看到虽然没有了超调，但上升时间变慢，这也是我们不希望看到的，再次改变一组参数，取R4=510 K，C1=47 pF，C2=680 pF，其它的参数不变。

则可得：

通过MATLAB仿真，如图4的3号曲线，我们可以看到，选定这组参数，不但上升时间有所减少，超调量也减少了许多，是一组比较理想的参数。

图5是我们通过MATLAB仿真做出的幅频特性和相频特性曲线。

图5 不同时间常数的幅频和相频特性曲线

2.2 结果分析

在阶跃响应中，利用MATLAB上可以截获到，图4中 1号曲线，超调量 11.7%，上升时间101μs；2号曲线无超调，上升时间111μs；3号曲线超调量0.6%，上升时间87μs。在实际设计中，我们不要小看上升时间这20μs的变化，这些变化足以提高或者降低差不多1 kHz左右的带宽性能！

在幅频和相频响应曲线中我们可以看到，也获得了较好的特性，有不小于50~60°的相位稳定裕度角，带宽达到了5 kHz。

利用MATALAB我们很容易的进行系统仿真辨识，极大地简化了非常复杂的数学计算，在计算机的辅助设计中，通过优选配置、矫正等手段，能够比较容易地建立最佳的控制系统。在采用阶跃输入和正弦输入方式时，我们都做了具体的测试，通过实际测试也验证了理论仿真与实际测试基本一致性，对实际测试的数据不再一一列举。只要掌握了模型设计的传递函数、系统的机电参数等，就可以对一个系统加以评判！

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