基于混沌粒子群算法的结构可靠性优化设计

程 跃 ，程文明，郑 严，张则强

(1. 西南交通大学 机械工程研究所，四川 成都，610031；2. 成都大学 工业制造学院，四川 成都，610106)

结构可靠性优化设计是结构优化设计领域的一个新分支，人们对该设计方法的研究有约30 a，如今该方法已经发展成以可靠度与优化设计问题的目标相结合的结构优化设计方法。目前，结构可靠性优化设计方法主要有宽界限法、窄界限法、概率网络估算法和最佳矢量法等，但这些方法存在缺乏工程实用价值、计算复杂、存储量大、对全局最优解判定困难等缺点[1-2]，国内外学者正在寻求更适合的结构可靠性优化方法。粒子群算法(Particle swarm optimization, PSO)模拟鸟群飞行觅食行为，通过鸟之间的集体协作使群体达到最优。此算法由 Eberhart和 Kennedy于 1995年提出，简洁且易于实现，需要调整的参数较少，不需要梯度信息。PSO是非线性连续优化问题、组合优化问题和整数非线性优化问题的有效优化工具，但该算法具有易陷入局部极值点、进化后期收敛速度慢、精度较低等不足[3-5]。混沌(Chaos)是一种普遍存在的非线性现象，是由确定方程得到的非确定随机运动状态[6]。利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性，将混沌优化思想引入粒子群算法中，防止某些粒子在迭代中出现停滞，从而解决了算法早熟问题[7-8]。近年来，PSO算法初步应用于结构可靠性优化设计领域。张义民等[9]将 PSO算法与小波神经网络方法(MCS-WNN)相结合，实现了结构设计参数的可靠性优化；刘仁云等[10]将灰色理论引入PSO算法，提出了基于多目标优化的结构可靠性稳健优化设计。目前，未见混沌粒子群算法在结构可靠性优化设计方面的研究报道。在此，本文作者将混沌粒子群算法(Chaos particle swarm optimization, CPSO)应用到结构可靠性优化设计理论中，建立在结构系统可靠度约束下最小化结构质量的优化模型，提出基于混沌粒子群算法的结构可靠性优化设计方法。最后，通过框架结构算例，验证该可靠性优化设计方法的理论指导意义和工程实用价值。

1 混沌粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

在PSO算法中，每个优化问题的解都被抽象为没有质量和体积的粒子，并延伸到D维空间。设粒子群由m个粒子构成，第i个粒子(i=1, 2, …, m)在D维空间里的位置和速度分别表示为矢量 zi=(zi1,zi2, …,zid, …, ziD)和矢量 vi=(vi1, vi2, …, vid, …, viD)，每个粒子都有1个适应值函数fitness(zi)来计算zi当前的适应值，由此衡量粒子位置的优劣。pi=(pi1, pi2, …,pid, …, piD)为粒子到目前为止搜索到的最优位置，pg=(pg1, pg2, …, pgd, …, pgD)为整个粒子群到目前为止搜索到的最优位置。

PSO算法首先随机初始化粒子群，然后，粒子在解空间中通过迭代找到全局最优解。在每一次迭代中，粒子根据式(1)和(2)更新自身的速度和位置：

式中：d=1, 2, …, D；w为惯性权重；k为迭代次数；r1和r2为[0, 1]之间的随机数；c1和c2为学习因子。据式(1)和(2)，计算每个粒子的个体适应值 f itness，通过与上一次比较对个体极值和全局极值更新。当满足停止条件(预设的运算精度或迭代次数)时，迭代停止，找到全局最优解[11-13]。PSO算法的流程如图1所示。

图1 粒子群算法流程图Fig.1 Flow chart of particle swarm optimization

1.2 混沌粒子群算法

1个典型的混沌系统是Logistic方程[14]：

式中：yn为混沌变量；μ为控制参数；n为混沌优化迭代次数；k为CPSO优化迭代次数。当μ属于[3.57, 4.00]时，Logistic方程解的变化周期为无穷大，每次迭代方程的解都不是确定的，此时，Logistic方程成为一个混沌系统。

步骤1：确定算法参数，初始化粒子。

步骤2：由式(1)和(2)更新粒子的速度和位置，计算每个粒子的目标函数值，并保留群体中性能最好的20%的粒子。

结合上述“地平线欧洲”和“地平线2020”比较分析，可以看出“地平线欧洲”的四大重大转变同中欧科技合作的共识契合度高，是支持未来中欧科技合作的有力政策执行工具。对欧科技合作中，中国科技界可以在中欧科技合作共识基础上，结合中国科技发展自身利益需求，充分利用“地平线欧洲”这一欧盟科技政策执行工具，特别是该计划下的资金、资源和政策，推动和实现双方在共同利益领域互利互惠的科技合作。启示建议如下：

步骤7：由式(6)收缩搜索区域，在收缩后的空间内随机产生群体中剩余的80%的粒子，转回步骤2。

2 基于CPSO的结构可靠性优化设计方法

2.1 结构可靠性优化模型

在结构系统可靠度约束下，合理选择各元件截面尺寸使结构总质量最小，这是结构可靠性优化设计的一类关键问题。通常，结构的总质量可由结构系统各元件的质量求和所得，而结构各元件的质量可表示为该元件截面尺寸(即设计变量)的线性函数。对于由 n个元件组成的拉压杆、梁元或板元，各元件质量 Mi可表示为：

式中：对于拉压杆和梁元，iρ，il和iA分别为第i个元件的密度、长度和横截面积；对于板元，iρ，il和iA分别为第i个元件的密度、厚度和表面积。

通常，结构系统不能简单地视为串联、并联的逐级组合，结构系统的破坏是由任一失效模式引起，形成1个失效模式需要一系列元件达到临界。在计算结构可靠度时，必须考虑结构各元件和各失效模式间的相关性。因此，结构可靠性优化设计应以结构整体来考虑，应只有1个整体结构的可靠性设计准则，即

式中：A=[A1, A2, …, An]为截面设计尺寸；Al为A的下限；Au为A的上限；U为预先定义的1个大数；λ为罚函数因子。

在计算整个结构的可靠度时，通常希望利用一种既考虑失效模式之间的相关性、计算较简单、计算精度较高的方法。本文利用概率网络估算技术(Probabilistic network evaluation technique, PNET)对结构可靠度指标进行计算。PNET法将结构系统各主要失效模式按一定规则分成G个代表模式，每个代表模式的失效概率为Pi(i=1, 2, …, G)，则结构系统的可靠度R可近似表示为[17]：

式中：)(sβΦ为标准正态分布函数。

2.2 结构可靠性优化设计的收敛准则

由于结构系统的可靠性分析及优化问题通常是相当复杂和困难的，对于相同的算法，不会像传统的结构优化一样平稳和快速地收敛，因此，将下列组合收敛准则应用于基于CPSO的结构可靠性优化中，收敛准则如下[2]：

当随机变量均服从正态分布时，可靠度R与结构系统的可靠度指标βs之间可通过下式进行转换：

式中：1ε，2ε和3ε都是比1小很多的规定值，如10-3～10-4。

2.3 基于CPSO的结构可靠性优化流程

将混沌粒子群优化算法与结构可靠性优化设计理论相结合，充分利用混沌优化和粒子群优化的特性，进行了结构可靠性优化设计。其优化步骤如下。

(2) 设定程序参数，初始化粒子的位置和速度，确定 P(0)和 P(0)。

(3) 运用分支限界法判别结构系统主要失效模式，并利用PNET法进行结构可靠性分析，分析各粒子是否满足约束条件。对于满足约束条件的粒子，λ=0，否则，λ=1。

(4) 由式(1)和(2)更新粒子的速度和位置，计算每个粒子的目标函数值，并保留群体中性能最好的20%的粒子。

(7) 在收缩后的空间内随机产生群体中剩余的80%的粒子，转回步骤(3)。

基于CPSO的结构可靠性优化流程图见图2。

图2 基于CPSO的结构可靠性优化流程图Fig.2 Flow chart of structural reliability optimization based on CPSO

3 算例

3.1 算例概况

二跨二层框架结构及其受载情况如图3所示，其中结构强度及载荷均为独立正态随机变量。结构材料及载荷的相关参数见表 1。二跨二层框架结构系统的容许可靠性指标=3.4，结构系统中各元件的横截面为正方形。初始点的各元件截面面积为0.2 m×0.2 m，给定A的下限Al=0.019 m2，A的上限Au=0.045 m2。要求在满足结构可靠度指标βs≥的条件下，利用本文优化方法得出最小化结构的总质量 M 并求出各元件的横截面积A。

图3 框架结构及受载情况Fig.3 Frame construction and loading cases

表1 结构材料有关参数Table1 Parameters of structure material

3.2 优化模型与参数设置

由题意可得该结构可靠性优化模型：

优化模型中，ρ=7.85×103kg/m3，U=5 000，l1=l2=l7=l8=l11=3.6 m，l3=l4=l5=l6=l9=l10=3.0 m。CPSO算法中，取粒子数为50，学习因子c1=c2=2，惯性权重W=0.8，最大迭代次数为1 000，混沌搜索最大步数为10，问题维数为11。取本算例结构可靠性优化设计流程中的收敛准中，则参数 ε1=ε3=0.3×10-3，ε2=0.2×10-3。

图4 基于CPSO算法的可靠性优化收敛曲线Fig.4 Convergence curves of reliability optimization based on CPSO

表2 最佳矢量型算法优化迭代历程Table2 Optimization process of best vector method

表3 框架优化截面积Table3 Optimal solutions of frame construction 10-2 m2

3.3 算例结果与分析

将混沌粒子群优化算法与结构可靠性优化理论相结合，运用基于CPSO的结构可靠性优化流程，利用MATLAB7.0编制程序，对本算例的结构可靠性进行优化设计。在相同的优化模型和参数取值条件下，对本框架结构分别结合CPSO算法和PSO算法随机进行5次结构可靠性优化，其优化收敛曲线分别见图4和图 5。用最佳矢量型算法对本框架结构的可靠性进行优化，其优化迭代历程如表2所示。将基于CPSO算法的优化结果与基于 PSO算法和最佳矢量型算法的优化结果进行对比，如表3所示。其中，PSO算法的收敛准则与CPSO算法的一致，最佳矢量型算法的收敛准则为：

通过比较图4和图5可知：基于PSO算法的框架可靠性优化早期收敛速度较快，但在其寻优后期收敛速度变慢，最终所能得到的优化结果比CPSO算法的优化结果差。基于CPSO算法的框架可靠性优化设计，借助混沌变量的特性，防止了某些粒子在迭代中出现停滞而导致的算法早熟现象，其收敛速度较慢，但搜索范围较广，最终所能得到的优化结果较理想。综合表2和表3可得：基于CPSO算法的二跨二层框架结构可靠性优化结果显著优于 PSO算法和最佳矢量型算法优化结果，在满足本框架结构系统可靠度指标及横截面积要求的约束下，优化了结构各元件横截面积，节省了材料，使本框架结构总质量下降。

4 结论

(1) 针对基本粒子群算法容易早熟的问题，充分利用基本粒子群算法的全局搜索能力和混沌优化的局部搜索能力，动态收缩搜索区域，防止了某些粒子在迭代中出现停滞而导致算法早熟的现象。

(2) 针对在结构系统可靠度约束下最小化结构质量的优化问题，将混沌粒子群算法融入结构可靠性优化设计理论中，建立了结构系统优化模型，提出了基于混沌粒子群算法的结构可靠性优化设计方法。

(3) 基于 CPSO算法的框架结构可靠性优化方法稳定性好，易于实现，并克服了其他算法的早熟现象，其优化结果明显比 PSO算法和最佳矢量型算法的优化结果优。该优化设计方法适用于较复杂结构系统的可靠性优化设计，具有较好的工程实用价值和较强的探索开发能力。

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