费马大定理的一种证明方法

饶世麟，饶雪梅，饶雪芳

(1.军委总装备部北京第10干休所，北京 100101;2.中国联通公司国际部，北京 100033;3.北京跟踪与通信技术研究所，北京 100094)

费马大定理是一个困惑世间智者358年的问题，于1994年被英国数学家Andrew J.Wiles用现代数学攻克。本文则通过验算，提出了一个与费马大定理有关的猜想，即R猜想:若正整数m＞2，c，d为正整数且cd≠0)，则不定方程

1 R猜想的证明

首先作者通过多次计算机验算，发现了定理1。定理1 设正整数m＞2，无论m=4n，2n或奇数，c、d均为不等于0的正整数，则一元二次方程式

没有整数解。其判别式为

1.1 预备知识

根据文献［1］有

引理1 (Perron判别法)，设a(0)≠0

引理2 若a≠0，2次整系数一元方程式

仅当a=4且为x2±4x+4=0时才有整数解。

根据文献［1］有

引理3 若uvw≠0，k＞1，(u，v)=1。则方程式 uv=wk，有正整数解为 u=ak，v=bk，w=ab，(a，b)=1。

根据文献［2］有

引理4 若正整数m＞2，则xm－ym=1，没有正整数解。

1.2 定理的证明

(2)若c=d。方程式(3)写为

因为m＞2，cm≠4，根据引理2，方程式⑺没有整数解，定理成立。

(3)若c＜d。这时有以下几种情况:

1)c=1，d=t，其中t为大于1的任何正整数。

于是式(3)变换为

设式(8)有整数解x1及 x2，则

由式(10)知，必有(x1，x2)=1。根据引理3，有 x1= ±，x2= ±，t=t1t2，(t1，t2)=1。代入式(10)中得+=±1。这显然不可能，即使把左边的“+”号改成“－”号，根据引理4也是不可能的，所以式(8)没有整数解，判别式整数。定理成立。

2)c＞1，且d=c2t，其中t为任何正整数。

则式(3)变换为

3)c＞1，且(c，d)=1。

此时式(3)的形式不变，即

4)c＞1，(c，d)=e≠1，且 e2⊥d，其中⊥表示不整除。

令c=ec'，d=ed'，则式(3)变换为x2±emc'mx±emd'm=0，若此方程有整数解，则可令 x=emy，则e2my2±emc'memy±emd'm=0，即 y2±c'my±

因e2⊥d，e⊥d'，第3项只能是既约分数，而不是整数，所以方程式没有整数解。于是式(3)也没有整数解，定理成立。

令 c=ec'，d=e2d″，则式(3)变换为 x2±emc'mx±e2md″m=0，若此方程式有整数解，则可令x=emy，则此方程式变换为，y2±c'my±d″m=0 但(c'，d″)=1，此方程式与式(12)类似。所以此方程式和方程式(3)都没有整数解，定理成立。

综合以上情况，即不论c＞d，c=d或c＜d，定理都成立。

1.3 定理的举例

下列一元二次方程式都没有整数解。

(1)c＞d的情况，x2+33x－23=0，其判别式为

(2)c=d的情况，x2+25x+25=0，其判别式为

(3)c＜d的情况，x2+24x－34=0，其判别式为

2 费马大定理的证明

费马大定理:若正整数m＞2，xyz≠0，则方程式xm+ym=zm没有整数解。

若R猜想不成立，由式(1)有c2m=4dm+s2，令s=am－bm，d=ab，则(cm)2=4(ambm)+(am－bm)2=(am+bm)2，即 cm=am+bm，因此费马大定理不成立。

同样，由式(2)有c2m=s2－4dm，令s=am+bm，d=ab，则(cm)2=(am+bm)2－4(ambm)=(ambm)2，即cm=am－bm，因此费马大定理不成立。

若R猜想成立，则式(1)和式(2)均没有正整数解。变量s，d，c不能同时都为整数，因此cm=am+bm和cm=am－bm都不能出现，因此费马大定理成立。

综上所述，有:“若R猜想不成立……因此费马大定理不成立。”这说明R猜想是使费马大定理成立的必要条件;又有“若R猜想成立……因此费马大定理成立”，说明R猜想是使费马大定理成立的充分条件。二者结合，说明R猜想是使费马大定理成立的充要条件，证毕。

3 费马大定理与R猜想的等效性

上面利用R猜想证明了费马大定理，其实，反过来也可利用费马大定理证明R猜想。

若费马大定理不成立，令cm=am+bm，d=ab代入式(1)中有(am+bm)2－4(ambm)=s2即 s2=(ambm)2，s=am－bm，故式(1)有正整数解，R猜想不成立。

同样，令cm=am－bm，d=ab代入式(2)中有(am－bm)2+4(ambm)=s2即 s2=(am+bm)2，s=am+bm，故式(2)有正整数解，R猜想不成立。

若费马大定理成立，就不能令cm=am+bm或cm=am－bm，故式(1)与式(2)都没有正整数解，R猜想成立。

所以，费马大定理是使R猜想成立的充要条件，即利用费马大定理证明了R猜想。

综上所述，费马大定理与R猜想是等效的。是同一真理的两种不同的表现形式。

4 结束语

文中构成了一种运用初等数论证明费马大定理的简明方法，这种方法与国际上运用现代数论证明费马大定理的方法［3］，形成了鲜明对比。

［1］ 柯召，孙琦.数论讲义:2册［M］.北京:高等教育出版社，1990.

［2］ 柯召，孙琦.谈谈不定方程［M］.上海:上海教育出版社，1980.

［3］ 张贤科.古希腊名题与现代数学［M］.北京:科学出版社，2007.