移动机器人的自适应模糊滑模动力学控制

王宗义，李艳东，2，刘涛，于占东

(1.哈尔滨工程大学 自动化学院，黑龙江 哈尔滨 150001;2.齐齐哈尔大学 计算机与控制工程学院，黑龙江 齐齐哈尔161006)

由于轮式移动机器人(wheeled mobile robot，WMR)本身属于典型的非完整系统［1］，并且是一种受结构与非结构不确定性影响的多输入多输出的非线性系统，增加了对其控制的难度，一直被世界各地的科研人员所重视.很多方法被用来解决移动机器人的轨迹跟踪问题，如:Backstepping方法［2-3］、自适应方法［4-5］、滑模方法［6］、模糊控制［7］、神经网络［1］等.其中，自适应控制具有固定的结构和可变的参数，对结构性不确定性有较好的适应能力，却无法解决非结构不确定性问题.滑模控制是一种具有快速瞬态响应的鲁棒控制方案，可以有效地克服不确定性，但存在着抖振现象的缺点;以往采用边界层来避免抖振现象，仍需要对不确定性的界进行估计来确保系统的稳定性，而在实际应用中较难实现精确的估计，小的控制增益无法完全弥补系统的不确定性，而大的控制增益虽然对系统的不确定性有所改善，但抖振现象仍然存在.

在移动机器人轨迹跟踪控制中，值得关注是在跟踪误差突变时的控制器速度跳变问题，这意味着控制所需的瞬时的加速度或力很大;而实际上，受机器人机构及驱动元件的限制，很难做到这一点.文献［8］采用神经动力学原理设计了速度控制器，控制器能够产生平滑、连续的速度命令，但是该方法只是用来解决运动学跟踪问题，没有涉及到机器人的动力学层面.文献［9］采用了自适应神经元的速度控制器及动力学滑模控制器来解决上述问题，但其只考虑了X方向的偏差变化，且只用一个参数固定的连续控制律来解决滑模控制的抖振问题，没有考虑机器人不确定性范围波动时系统的抗扰动与优化问题.

为了克服上述问题，本文提出了自适应模糊滑模动力学控制算法，优化了系统的性能.其中，设计的自适应分流运动学控制器解决了由于初始位姿偏差而引起的速度跳变问题;同时，通过自适应模糊控制来调节滑模控制的增益，从而消除了在滑模控制中的输入抖振现象.

1 非完整移动机器人模型

本文的研究对象是差分驱动的轮式移动机器人，如图1所示，机器人位姿q=(x，y，θ)T，其中(x，y)表示参考点C(移动机器人的质心)在笛卡尔坐标系(O，X，Y)中的坐标，θ为机器人的导向角.驱动轮的间距为2R，直径为2r.

移动机器人受如下非完整约束:

非完整移动机器人的运动学和动力学方程如下［1］

式中:τr与τl是加在右轮和左轮的力矩，m是移动机器人平台质量，I为机器人平台绕通过C点轴的转动惯量.把干扰力矩视为外加干扰，则动力学方程(2)可以简化为动力学标称模型:

图1 移动机器人Fig.1 The mobile robot

2 自适应分流运动学控制器设计

经典的运动学控制器为基于Backstepping方法设计的速度控制器［2］:

式中:vc和ωc分别为速度跟踪控制器输出的线速度和角速度，ki＞0，i=1，2，3.该控制器在理论上可以使系统稳定运行，但是实际应用中，机器人在大的初始位姿偏差时产生的速度跳变问题，影响机器人的运动性能，因此下面采用文献［10］提出的分流模型来改进速度跟踪控制器Vc，取k1e1=vs［9］，k2e2= ws，辅助信号vs和ws由下式得到:

式中:Aj、Bj、Dj(j=v，w)大于零，f(x)=max(x，0)，g(x)=max(－x，0)，x=e1，e2分别为被动衰减率，辅助信号的上下界，激活和抑制函数，可以得到vs与ws的稳态解vss［9］与wss为

由于vs与ws的取值与系数Aj、Bj、Dj(j=v，w)有关，且范围被限制在［－DjBj］内，所以根据机器人参考速度及位姿偏差的变化，需要对Aj、Bj、Dj做出调整，新的辅助信号取为和，由下式获得

式中:gj＞0(j=v，w)为学习率，则自适应分流运动学控制器可以写为

同理可推出 e1＜0情况下≤0，当且仅当=vs时=0，可得出估计辅助信号收敛于vs.假设e2＞0，依照式(20)方法对L2进行求导并将自适应律(12)～(14)代入得

同理可推出e2＜0情况下，当且仅当时，可得出估计辅助信号收敛于ws.

对L3进行求导并将式(5)、(15)、(16)代入得

由于基于Backstepping方法设计的速度控制器是收敛的，所以自适应分流运动学控制器(15)也是收敛稳定的.

3 自适应模糊滑模动力学控制器设计

PID滑模面选为

式中:λ＞0，ec=Vc－V，则滑模面s(t)的微分为

此时对应的等效控制律τeq为

式中:0＜k4＜2λ.引入开关控制律τsw，用来补偿系统的不确定性及干扰，得到滑模控制律为

为了消除颤振，引入模糊控制来调整开关控制律系数Γ，采用单值模糊化，将滑模面作为模糊系统输入，模糊规则由下面形式给出［11］.

规则i:如果sj取，那么Γj取

对于模糊滑模控制，在控制器设计过程中，希望所选取的参数是最优的.但是，由于移动机器人系统存在的参数不确定性及干扰的不可预知性，无法获取精确的参数，因此可以采用自适应控制来对最优参数进行估计.

式中:βj＞0(j=1，2)为学习率，则所设计的自适应模糊滑模动力学控制器为

定理 对于机器人系统(2)，选择自适应分流运动学控制器(15)、自适应模糊滑模动力学控制器(33)、分流模型(8)、参数自适应律(9)～(14)，(32)，那么机器人系统(2)是渐近稳定的.

证明:选择总Lyapunov函数为

定义下面的项:

因为L4有界且非增的，则有

4 仿真与结果分析

利用MATLAB仿真实验来验证文中算法的有效性，移动机器人的自适应分流运动学控制(adaptive shunting kinematic control，ASKC)与自适应模糊滑模动力学控制(adaptive fuzzy sliding mode dynamics control，AFSMDC)算法如图2所示.选取跟踪的参考轨迹为一个圆，其参数为xr(t)=2cost，yr(t)= 2sint，θr(t)=t，vr=2 m/s，ωr=1 rad/s，机器人自身的参数值取为:m=4 kg，I=2.5 kg·m2，2R= 0.306 m，r=0.03 m;在运行8 s时移动机器人的负载发生了变化从而也引起了参数变化:m=6 kg，I=3sin(t－12)］T为移动机器人所受扰动;位姿偏差为qe=［－1 1 －45°］，参考机器人的初始位姿为qr=［2 0 0°］.分下面几种情况对系统进行了仿真及比较研究:1)采用文中算法;2)采用经典反步法设计的运动学控制(classical backstepping kinematic control，CBKC)与AFSMDC结合的算法;3)采用ASKC与滑模控制器(sliding mode control，SMC)结合算法.

取k1=9.9，k2=11，k3=7.1，k4=12，λ=6.5，Av=Aw=6，Bv=Dv=41.5，Bw=Dw=59.5，Γ1= Γ2=3，gv=gw=0.02，β1=β2=0.01;模糊输入部分高斯隶属函数中心按间隔为5的均匀分布取值，方差取为6，其余初值均为0.

图2 移动机器人的自适应分流运动学控制与自适应模糊滑模动力学控制结构图Fig.2 Structure of adaptive shunting kinematics control and adaptive fuzzy sliding mode dynamics control for the mobile robot

仿真结果如图3～7所示，由图3与图4可以看出，文中算法跟踪效果最好.图5与图6表明，与采用SMC的(c)图的力矩输出存在明显的抖振现象相比，采用AFSMDC的(a)和(b)图的力矩输出完全消除了抖振.图7表明，与采用CBKC的(b)图的速度输出存在的明显速度跳变相比，采用ASKC的(a)和(c)图的速度得到了平滑，速度跳变问题得以解决.综上分析，文中算法有效地解决了移动机器人跟踪过程中的速度跳变问题及为克服系统参数与非参数不确定性而引入滑模控制引起的抖振问题.

图3 3种算法的移动机器人轨迹跟踪Fig.3 Trajectory tracking of the mobile robot based on three algorithms

图4 3种算法的移动机器人位姿偏差Fig.4 Posture errors of the mobile robot based on three algorithms

图5 3种算法的移动机器人右输出力矩Fig.5 Right output torque of the mobile robot based on three algorithms

图6 3种算法的移动机器人左输出力矩Fig.6 Left output torque of the mobile robot based on three algorithms

图7 3种算法的移动机器人实际速度与角速度Fig.7 Real velocity and angular velocity of mobile robots based on three algorithms

5 结束语

本文以非完整轮式移动机器人为研究对象，完整的进行了移动机器人的自适应模糊滑模动力学控制策略的设计，并通过MATLAB分3种情况对圆形轨迹进行了仿真与对比实验，在移动机器人跟踪过程中存在诸多不确定性的情况下，本文算法不但消除了滑模控制存在的抖振现象，同时也很好地解决了由初始跟踪误差引起的传统控制器速度跳变问题.仿真实验表明，所提出的自适应分流运动学控制与自适应模糊滑模动力学控制是可行的、有效的.

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