在“初等数论”教学中实施研究型教学的思考与实践

覃学文

（梧州学院，广西 梧州 543002）

在“初等数论”教学中实施研究型教学的思考与实践

覃学文

（梧州学院，广西 梧州 543002）

从大学课堂教学的角度出发，结合初等数论学科的教学目标、学科特点及规律，针对传统初等数论教学存在的问题，探索出初等数论教学中以学生为中心、以能力为本位研究型教学模式：探究式教学模式和课题研究教学模式。

研究型教学；探究式；课题研究

“初等数论”是大学数学专业的主干课程，也是教育专业数学类主修学科的主干课程，它的教学必须既要尊重学科自身的特点和规律，又要适应时代发展的要求，培养具有创新能力和研究能力的专门人才。培养创新人才的教育目标要求“初等数论”对现有的教学方法进行改革，在教学中引入研究性学习，给学生提供创造性思维的空间，在自主探索和合作交流中掌握数论的基础知识，感悟数学的思维方法。本文从课堂教学的角度，结合初等数论学科的教学目标、学科特点及规律，对数论教学中实施研究型教学进行探索。

一、数论学科研究型教学的内涵

（一）什么是研究型教学

研究型教学是美国耶鲁大学1998年《重建本科教育：美国研究性大学发展蓝图》报告中提出的，该报告指出：教学应与研究相结合，学生的学习应基于研究，建立以研究为基础的教学模式[1]。这种教学模式的核心就是把研究的理念引入教学中，在教师的指导下，学生用类似于科学的方式去获取知识、解决问题、应用知识。

研究型教学摒弃了传统的以教师为中心、学生被动接受知识的特点，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。研究型教学作为一种把“教”的过程的关注，转移到“学”的过程来的一种形式，作为一种以探究为主要特征的教学方式，已逐步被各高校引入推广。

（二）数论课程研究型教学的目标

教育部“数学与统计学教学指导委员会”在《数学学科专业发展战略研究报告》中，总结了优秀的数学本科生应具备的八种基本的数学能力和五种基本的数学素养，按照《报告》的提出，数学教育培养具有创新意识、创新能力、研究能力和实践高素质人才应具备的数学能力是：分析能力、归纳能力、抽象能力、空间想象能力、演绎推理能力、准确计算能力、运用数学软件的能力、学习新的数学知识的能力；应具备的基本数学素养是：主动寻求并善于抓住数学问题背景和本质的素养，熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己的数学思想的素养，具有良好的科学态度和创新精神、合理地提出新思想、新概念、新方法的素养，对各种问题用“数学方式”的理解思维从多角度探寻解决问题的方法的素养，善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化、建立数学模型的素养[2]。数论作为数学与应用数学的一门专业课，数论课程研究型教学既要符合数学学科教育的总体目标，又要体现研究性的特点，因此数论课程研究型教学的目标总的来讲，是培养学生的问题意识、研究能力和创新精神，具体来说，可分为知识目标和能力目标两个方面。

1.知识目标

初等数论课程主要讲授整数的基本概念、方法和技巧。这些知识是学生进一步学习解析几何、代数数论等相关理论的基础，特别是抽象代数的理论系统和思维方法都可以在数论中找到源头。数论知识还是计算机科学与现代编码技术中必不可少的专业知识。因此，获得数论的基本知识、理论和方法，并加以应用到其他相关学科上，这是数论研究型教学的第一个目标。

2.能力目标

研究型教学摒弃传统的教师向学生灌输知识的教学方式，以学生为中心，以能力为本位，创设类似科学家研究的情境，给学生提供思考问题、研究问题和应用所学知识解决问题的空间，强调知识的探索过程。在这一过程中，使学生学会自己提出问题、分析问题、归纳问题，善于从多角度思考问题，并学会批判性思维和求异思维，从而培养学生的创新能力和开发学生的创造力。

二、数论学科与研究型教学

（一）初等数论教学的现状

“初等数论”是大学数学专业的主干课程，除了要给学生传授系统的知识，更重要的是培养学生的创新能力和素质。然而，现行的初等数论教材是从一个定义到定理、推论的演绎体系，讲究严密性、系统性、抽象性和逻辑性，基本上是现成的结论及证明，其章节编排、教学顺序、习题形式都是与传统教学方法相适应的，就是将知识和盘托出，缺少提出问题和引起思考，更缺乏对知识的探索和思维活动，并且教材内容很少接触到数论前沿的在其他学科领域的应用，缺乏科学性、先进性和实践性。总的来说就是重经典，轻现代，重理论、轻应用。而在教法上，则不重视知识形成过程及其中的数学思想，更谈不上把这一过程中的观察、分析、综合、归纳、猜想等丰富的思维训练挖掘出来。教材习题的形式与内容单调、陈旧，基本上与每节教学内容相关，条件答案固定，解题方法大多与例题的解法相同，缺少变化，缺少新意。教师在解题教学中，往往只重视习题的特征分类、解题模式及解题技巧的训练，忽视了将解题思路的分析以及数学思想和数学方法的训练。于是，一个不争的事实是，课堂气氛沉闷，学生对这门课程缺乏浓厚的兴趣，学生分析问题和解决问题的能力得不到充分的发挥，更谈不上培养学生的创新意识和创造性思维能力。

（二）研究型教学是培养创新人才的有效途径

针对数论的教学现状，要改变目前以教师为中心、以知识为本位的状况，所依据的教学方式必须是一种以学生为中心、以能力为本位的教学模式，而研究型教学正是最好的选择。

研究活动对人具有鲜明的发展功能，这是因为在研究过程中，人们使自己的潜能得到了充分的发挥[3]。建构主义学习观认为：学生的研究性学习，是一种自己主动把信息加工、形成知识的意义建构的活动，按其实质来说，就是把现象重新组合或转移，进而再组合，从而获得新的“发现”。研究型教学的特点，是让学生在类似于科学家研究的过程中，自主提出问题，设计课题，从各种信息渠道收集资料，然后分析、综合、归纳，得出结论，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的实践能力和创造性能力。或者在课堂教学上设计问题情景，通过激发联想，使学生利用自己原有的知识、经验或表象去“同化”当前所学到的知识，学生在对知识的纵深探究过程中，独立思考能力和创造性思维能力都得到提高，提升学生的整体素质。

三、数论研究型教学的两个模式

（一）探究式教学模式

根据传统教材所进行的教学活动往往是数论知识真实发现过程的反思维的活动，因为传统数论教材中的知识体系是严格的逻辑体系，展示的是数学家在数论知识发现过程中各种思维的结果，却看不到科学探索过程中丰富的研究性活动。若把数论课程教学按数学推理方式进行，其结果是把数论知识发现过程中的创造性思维活动掩盖起来。因此，教师应改变现有教材那种从定义到定理的罗列以及不加分析地给出证明的严格逻辑局面，把教材内容中蕴含的丰富的数学思想和数学思维训练元素挖掘出来，把数论教学作为思维活动来进行，给学生提供探究活动与交流互动的情境与空间，使学生在概念的形成与同化的思维过程中，在对数论定理、公式的发现过程中，培养寻找真理与发现真理的创新能力。基于以上认识，笔者总结了探究式教学模式的框架。

这个教学模式可采用“创设问题情境→提出问题→探索发现→证明猜想”的程序进行。

下面是《孙子定理》的教学设计：

（1）创设问题情境。举《孙子算经》中一个例子：韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。这个例子比较容易引起学生兴趣，学生完全可以根据题目条件把四个同余式x＝1（mod5），x＝5（mod6）， x＝4（mod7）， x＝10（mod11）例 出 来 ，但不会求解。这时可以让学生计算2111分别除以5，6，7，11，分别求出商和余数，再让学生找出两个题目之间的联系。在这个过程中学生知道2111应该就是同余方程的其中一个解，但是如何求出来的？还有没有其他解？如何找出这个同余方程组的通解？这一系列问题的提出让学生已经开始进入积极的思考当中。

（2）提出问题。教师给出一系列《孙子算经》同一形式的问题，如“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”和“十一数之余三，七二数之余二，十三数之余一，问本数”等等。让学生找出这一类问题的共同特点，这个时候学生完全可以自己写出孙子定理的内容，这跟数学家的思维过程一样。

（3）探索发现。对于问题“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”的求解，师生可以共同研究古代对此问题的解答，“三人同行七十稀，五树梅花二十一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”。这一解答也可以通过列表给出，这样更能容易地让学生把问题推广到一般情形。这个一般情形的得出过程已经是孙子定理的证明过程中的部分思考内容，这时就可以进行猜想。

（4）证明猜想结论。由古代解答方法的推理进一步给出定理的证明，这个地方教师要注意类比思想的渗透。

（二）课题研究教学模式

课题研究是指学生根据自己的兴趣选择课题，以专题研究为导向，以自主学习和小组协作学习为主要学习方式，在类比科学家研究的过程中进行学习，以全面掌握和运用数论知识解决问题，培养学生创新能力的一种教学方法。

课题研究教学模式可以按照“课题的确立与选择→组建小组→教师” 的程序进行。

1.课题的确立与选择

研究课题的确立是研究性学习的开始，首先由教师根据教学与研究内容确立一系列课题，并向学生公布，然后由学生根据自己的兴趣、学识和思维特点去选择自己要研究的课题。课题的确立应注意以下几点。

（1）课题研究的内容应与数论教材知识相关，体现数论知识的学习与应用。

（2）课题内容要符合学生的兴趣。兴趣是学习最持久的动力，当学生对研究的内容产生兴趣，其才有努力的方向，才会不断地思考与探索，寻找问题解决的途径。一般来说，课题内容有两类：一类是纯数论问题，即是数论教学内容的延伸与拓宽，如：中国古代数学家对数论的贡献；另一类是数论在其他学科和现实生活中的广泛应用，如：数论与中小学数学竞赛。

（3）课题内容难度要适中，以适应学生的认知水平和对各方面知识的积累程度。难度过低，则课题对学生失去吸引力；若难度过高或涉及面太广，学生难以用他们所掌握的知识和能力去探究，则研究活动难以进一步展开。

2.组建小组

教师在集中讲授了课题研究的方向及要点后，为了培养学生的团队精神和协作精神，让学生按照他们所选的专题组建小组，每一个小组进行同一个课题研究。在小组的学习中，学生分工负责搜集资料、整理信息，最后合作完成课题论文，这是自主学习与合作相结合的学习方式。

3.教师指导

在研究性学习中，学生是主体，但并不意味着教师是旁观者，只是教师的地位改变了，从以往的居高临下变成合作关系与学生共同讨论。教师以指导者和合作者的身份介入学生的课题研究，主要体现在下面两个方面。

⑴在课题开讲时，教师向全班学生介绍各种课题研究的基本框架、重要结论、研究方向等；给学生介绍如何搜集资料和研究资料，具体做法是：提供研究资源信息，指导学生利用图书、期刊、网上资源、互联网搜索引擎等手段找寻自己所需的资料。为了规范学生写作论文的方式，必须给学生介绍一些与他们水平相近的研究范文和论文精选，以及如何设计论文章节结构、如何引用文献等方法。

⑵在小组活动阶段，教师的作用是跟踪进度、反馈修正、思路点拔、疑难解答。具体来说，就是充当学生的“顾问”，在与学生平等交流的方式下，指导学生对获取的各种信息进行分类、加工、整理，并提供学生利用信息进行研究的建议。

对于“勾股数”的教学笔者实施的是课题研究教学模式，进行的课题是：找勾股数，从找特殊勾股数到一般勾股数的过程中其实就是解决了从构造不定方程到解不定方程的学习问题，其中学生还可以从整理资料到写论文的过程了解到更多的相关知识，这让学生的视野更广阔，求知欲更强烈。

四、提升教师科研素养是实施研究型教学的前提

研究性教学以学生为中心，要求学生摆脱对教师的依赖，独立利用网络收集资料、阅读参考文献、自行完成实验和设计，在课堂上，则通过学生讨论、互动等形式，经过一系列的质疑、判断、分析、推理等思维活动，从而得出新的结论。这一系列的活动，都离不开教师的策划与指导。在研究性教学中教师起组织者、指导者的作用。教师要为学生提供学习的外因和诱导的内因。在教学设计时，首先要设计学习环境（也就是外因），比如情境创设、信息资源的提供、组织协作学习的方式等，以达到学生有效地实现对知识的建构。然而采用怎样形式的情境与主题相关？哪些信息资源是必要的？即使在协作学习中，以哪种方式提出问题？怎样展开讨论？如何把讨论逐层引向深入？这些都离不开教师的精心设计。其次，要求教师设计自主学习的策略，包括情境式、支架式、启发式、讨论式和自我反馈式等，然而不管采取哪一种策略，都要适合学生的认知水平和适应教材内容特点，这些更离不开教师的指导。因此，研究性教学对教师提出了更高的要求。

1.教师必须树立“以我为本”的教学理念

传统的教学方式是填鸭式、满堂灌，教师讲、学生听，然后利用刚讲完的知识去完成作业的教学程式。在这种课程教学模式中，传授知识就是全部，缺少知识的迁移和拓展，至于探索未知领域就更谈不上了。而作为研究性教学的教师，必须摒弃这种陈旧的教学观念，立足“以人为本”，“授人以渔”而不是“授人以鱼”。要培养学生的问题意识，鼓励他们大胆猜想、严谨求证，引导他们联想、分析，师生共同“碰壁”。也就是说，教学生学会学习、学会方法[3]。

2.提升教师自身的科研能力

在本学科专业领域、科研能力等方面，研究性教学对教师提出了更高的要求。教师除了对教材内容作更广泛、更深刻的钻研之外，还要有强烈的科学精神，时刻关注数论学科的前沿和发展，一方面提升自己的科研水平，另一方面要把数论发展中一些未解决的问题选择性地渗入教学之中，激发学生对数论的兴趣和求知欲望。

总之，经过不断地实践与总结，学生在研究型教学模式下学习初等数论的兴趣和积极性有了很大的提高，他们的数学能力与数学素养得到了更好的培养，特别是学生的问题意识、研究能力和创新精神这三个方面尤为突出。

[1]刘宝存.美国研究型大学基于问题的学习模式[J].中国高等教育研究,2004（10）.

[2]教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会课题组.数学学科专业发展战略研究报告[J].中国大学教学,2005（3）.

[3]刘智运.论高校研究性教学与研究性学习的关系[J].中国大学教学,2007（10）.

G420

A

1673-8535（2011）02-0100-05

2010-10-26

梧州学院2008年度教育教学改革项目（wyjg2008c011）

覃学文（1975-），女，广西横县人，梧州学院数理系教师，研究生学历，研究方向：微分方程，数学教育。

高 坚）