基于极大似然估计法参数空间上的区间估计

杨志忠

（青海师范大学 数学系，西宁 810008）

0 引言

经典的频率方法广泛应用于参数的区间估计，但当参数受约束时，一般情形下得到的参数估计不能保证仍然在限制参数空间上。李新民、李国英利用Fiducial推断法，求出了限制参数空间上的参数区间估计[5]，并且结合实例说明了其合理性。

Fiducial推断具体为：已知随机变量X对应分布函数为F（x|θ），其中θ为未知参数，样本空间为x，参数空间为Ω。假如ξ在上可以找到一个随机变量E，其分布Q已知，且存在ξ×Ω的函数h(e,θ)使得Xd=h(E,θ)，其中表示同分布，并且对X的任意观测值x∈x和E的任意观察测值e∈ξ，方程x=h (e,θ)在Ω上有唯一解，其解记为：Θ=(E)，(E)在Q下的分布为Θ的Fiducial分布为：F(θ)=Q((e)≤θ(e)∈Ω*)。再给定置信水平1-α的条件下Θ的1-α区间估计为：（θ1，θ2），其中θ1，θ2由（1）、（2）式决定：

其中0＜α1＜α,0＜α2＜α且α1+α2=α。

在利用Fiducial推断时，其关键为可以找到E～Q且有Xh(E,θ)，并且方程x=h(e,θ)在Ω上存在唯一解，但理论分析表明应该是方程X=h(e,θ)在Ω上存在唯一解，在实际操作中这些条件不易达到，故其操作性是有局限的。在此我们不再去寻找变量E～Q而是首先利用极大似然估计法求出参数θ∈Ω*的点估计θ＾再用样本去代替E，求出了参数θ的条件分布，进而求出了参数θ的区间估计。

1 主要结果

由于X的分布函数为F（X|θ），θ=（θ1，θ2，…，θk）∈Ω*为未知参数，其中Ω*⊂Ω,Ω为参数空间，Ω*为限制参数空间，从总体中抽取X1,X2,…，Xn样本，由极大似然估计法有[3]：

则同似然方程

在给定α1,α2其中0＜α1＜α,0＜α2＜α,(0＜α＜1)且α1+α2=α的条件θ下的1-α区间估计为（θ1，θ2），其中θ1、θ2由（4）、（5）式决定

2 实例分析

Seidenfeld[1]-Mayo[2]问题，已知X～Uniform（0，θ）假设未知参数θ≤θ*，不妨设θ*=15，当观测值为X时，求θi的1-α区间估计。

利用Fiducial方法可知θ的1-α区间估计为：(θ1,θ2)其中θ1θ2由下式决定

当x=10，α1=α2=0.025时θ的1-α区间估计为：

现利用本文方法求θ的1-α区间估计。

从总体中抽取一组样本X1,X2,…，Xn，由于X～U(0,θ)，则Xi～U(0,θ)由极大似然估计法，似然函数L为：

因此θ的条件分布函数为

在给定α1,α2其中0＜α1＜α，0＜α2＜α(0＜α＜1)且α1+α2=α的条件下θ的1-α区间估计为（θ1,θ2）其中θ1,θ2由（6）、（7）式决定

当α1=α2=0.025，n=10,=8,(θ1,θ2)=(10.373,14.962)∈Ω*

我们发现，|θ2-θ1|=4.589其中μ，σ2为未知参数，若μ≥μ0，不妨设μ0=15,当观测值为X1，X2，…，Xn时，求μ的1-α区间估计，

当n=6,S2=4/5,=14，由Fiducial方法可知μ的1-α区间最短估计为

现利用本文方法求μ的1-α区间估计。

有似然函数

则有对数似然函数1nL为

有对数似然方程

在给定α1,α2其中0＜α1＜α,0＜α2＜α,(0＜α＜1)且α1的条件下μ的1-α区间估计为（μ1，μ2)，（μ1，μ2由（8）、（9）式决定

当n=6,S2=4/5,=14,α1=α2=0.025时

以实例表明，在同等置信水平下用本文的计算结果更为精确，说明本方法时可行的。

[1]Seidenfeld F.Philosophical Problems of Statistical Inference[M]. Dordrecht:Reidel,1979.

[2]Mayo DG.Indefense of the Neyman-Pearson Theory of Confidence Intervals[J].Philosophy of Science,1981,48(2).

[3]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社,2004.

[4]陈希孺.概率论与数理统计[M].北京：中国科技大学出版社,2005.

[5]李新民,李国英.限制参数空间上的Fiducial推断[J].系统科学与数学，2005，(12).

[6]茆诗松，王静龙.高等数理统计[M].北京：高等教育出版社，2002.