塑性区模型损伤修正及其对声发射活动的影响

王慧晶，林 哲

（大连理工大学船舶工程学院，辽宁 大连 116024）

1 引 言

塑性区尺寸是描述金属材料断裂行为的重要参数之一，它在材料裂纹尖端塑性变形、裂纹扩展及断裂过程中起着重要的作用。通过对含切口试件的声发射检测发现：塑性区的扩展是主要的声发射源，这说明塑性区尺寸与声发射之间存在关系。本文通过引入损伤概念对塑性区模型进行了修正，考虑材料中分布的细观缺陷的发展演化对塑性区的影响，并在塑性区参数与声发射参数之间建立联系。

2 损伤演变方程及塑性区修正模型

2.1 损伤变量与有效应力

损伤变量[1]定义为

β反映了材料面积衰减的实际情况，可称之为真实损伤变量或对数损伤变量。式中A为无损状态时横截面积，Ae为损伤后有效承载面积，相应的有效应力为

式中σy为屈服应力。

2.2 损伤演变方程

Dugdale[2]通过拉伸试验，提出了裂纹尖端的窄塑性区沿裂纹线向两边延伸并呈尖劈带状的假设，如图1所示。文献[3]假设窄塑性区中的损伤β是与新裂尖距离x′=x-a有关的函数：

式中R是塑性区的长度。文献[4]提出窄塑性区中的损伤与裂纹尖端应变存在关系

Davidson和Lankford[5]的实验结果表明塑性区内应变变化遵循：当x>a 时，ε∝（x- a）-1/2。 设

图1 Dugdale损伤模型Fig.1 Dugdale’s damage model

由（4）式简化后得

2.3 塑性区修正模型

考虑到在x=c处应力强度因子为零，有

由于塑性区内存在孔洞，dσy′可通过dσy乘以权函数得到

为方便计算，采用如下简化权函数：

由图2可以看出，简化的权函数与原权函数基本吻合。

将（2）式和（10）式代入（7）式得：

图 2 ω（x ）与（x）的比较图Fig.2 Comparison of ω（x）and （x）

其中，B（ p,q）为 beta 函数，F（ α， β；γ；z）为超几何函数[7]。 即

图3为外加载荷与屈服应力不同应力比情况下，由上式计算的塑性区与Dugdale模型、Irwin模型[2]之间的比较。其中，Irwin模型塑性区尺寸与裂纹长度之比为

Dugdale模型为

可以看出，Dugdale模型的塑性区大于本文提出的损伤修正Dugdale模型，而损伤塑性区修正模型又大于线弹性Irwin模型的塑性区。据文献[8]指出，实际测量的R值均比大范围塑性屈服区的Dugdale模型值小。这表明，本文的修正使得裂尖塑性区长度的计算值更接近实际。工程中常采用Irwin模型计算塑性区尺寸。为方便工程应用，本文基于损伤修正的Dugdale模型对Irwin模型作出修正，如图4所示，修正的Irwin模型与损伤的修正Dugdale模型吻合较好。修正的Irwin模型的塑性区尺寸为

图3 塑性区长度参数的比较Fig.3 Comparison of the length parameters of plastic zone

与原Irwin模型比较，有

图4 裂纹尖端塑性区示意图Fig.4 Schematic illustration of plastic zone at crack tip

3 塑性区参数与声发射参数的关系

切口或含裂纹试件裂纹尖端塑性区内的变形和断裂活动是主要声发射源，产生声发射AE的应力级远远低于总屈服应力，故AE活动与裂纹尖端周围的塑性应变有关，而裂纹尖端应变与塑性区半径及应力强度因子有关，所以声发射活动与塑性区半径和应力强度因子有关。考虑损伤对裂纹尖端塑性区的影响，通过上述修正Irwin模型的方程可求出塑性区的尺寸。塑性区尺寸和半径分别为

由于塑性区内应变变化遵循[5]：当x′>0时，ε∝（x′）-1/2，x′为距新裂尖的长度。根据假设声发射计数率与屈服应变εy和最终拉伸强度εu之间的材料塑性区体积增长率成正比[9]，即N∝Vp。

其中B为板厚。比较假设N∝Vp，则

4 计算结果与实验数据比较

从（15）式可以看出，声发射总计数N与塑性区半径ry的函数关系为N∝，与应力强度因子K的函数关系为N∝K4。文献[10]对两组单边切口拉伸试件核级不锈钢（σy=232MPa）和工业级不锈钢（σy=207MPa）做拉伸实验，根据试验建立的声发射总计数与塑性区半径、应力强度因子间的定量关系为N∝、N∝K2.1，这与由（15）式建立的关系 N∝、N∝K2m近似一致。

图5 Trip钢的理论结果与试验值的比较Fig.5 Comparison of theoretical and experimental results for trip steel

图6 Trip钢裂纹长度与声发射总计数之间的关系Fig.6 Relationship between AE total counts and crack length of trip steel

声发射总计数N与应力强度因子K的理论关系为N∝K4。在多数试验过程中，材料内形成的微裂纹和裂纹的突进现象引起试样塑性变形，使指数超出理论值。例如，文献[11]中承受楔力张开加载（WOL）的trip钢，试验测得N与K之间的关系为N=3.96×10-5K4.62，相应的关系如图5所示，可以看出采用本文提出的塑性区损伤简化模型得出的计算结果更接近试验值。由于K=，其中σ为应力，a为裂纹尺寸，当确定应力和几何因素后，K代入（15）式后，得到声发射总计数N与裂纹长度之间的关系为N∝a2，即裂纹越长，声发射总计数越多，如图6所示。

5 结 论

（1）基于Dugdale塑性区模型，研究裂尖塑性区的损伤分布，存在的孔洞通过权函数表征损伤的演变。修正的塑性区模型能更好地诠释材料由于微缺陷的产生和发展而引起的逐步劣化。

（2）通过修正的塑性区模型，提出声发射总计数N与应力强度因子K及塑性区半径ry之间的关系，与实验结果一致。说明考虑损伤的塑性区模型，更好地反映声发射活动中损伤材料破坏的实际过程，有利于从力学行为和物理过程进一步阐述声发射源机制。

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