投影变换过程的可靠性评价＊

李 卉 钟 成 李德仁 邵振锋

(中国地质大学(武汉)空间科学技术研究中心1) 武汉 430074)

(中国地质大学(武汉)教育部长江三峡库区地质灾害研究中心2) 武汉 430074)

(武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室3) 武汉 430079)

关于各个坐标系之间的变换方法,前人提出了解析变换法、数值变换法和数值解析变换法等方法[1].解析法需要确切的知道两投影间坐标变换的解析计算公式,以及椭球参数,空间参考系的参数;数值法的参数解算依赖于公共点的选择和分布,缺乏广泛的适应性;数值解析法兼具二者的优点和缺点.传统的大地网三角测量或者地方坐标的测量都带有各种信号和噪音,不可能存在一个普遍适用的最优变换模型[2].因此需建立一套坐标变换模型的质量评价指标,从而选择满足具体应用的最优模型.以往坐标变换仅考虑精度这一项指标,近来国外学者的研究主要以几何变形为主要评价指标,未顾及模型的抗差性[3-5].本文认为优良的变换应具备良好的精度、可靠性、可逆性、惟一性、扩展性和效率,文中重点就投影变换的可靠性进行研究,验证其必要性、有效性和可行性.

1 可靠性评价体系与指标

误差反映在改正数的程度以及不可发现的模型误差对平差结果的影响是平差模型内外可靠性的问题[6-7].对于依赖于公共点的转换模型,需要研究其内外可靠性,分析其抵抗粗差的能力.可靠性指标包括平差模型的几何条件,内外可靠性,粗差的可区分性放大倍数.

1.1 几何条件

设有线性化的高斯-马尔柯夫模型

式中：l为观测值向量;V为改正数向量;A为线性化的系数矩阵;Δˆx为未知数相对于近似值的改正数.其法方程为

其观测值改正数的最小二乘解为

该式描述了改正数与平差中输入量之间的关系,改正数取决于几何条件矩阵(QvvP).(QvvP)的迹等于平差模型的多余观测数r.称(QvvP)的第i个对角元素为第i个观测值的多余观测分量

1.2 内外可靠性

平差模型的内可靠性表示反映在残差中,在一定显著性水平α0和检验功效β0下能被发现的粗差下界值▽0li.在单个一维备选假设下

式中：δ0为由于粗差而导致的非中心化参数;下界值▽0li为该点发现粗差的能力.

平差模型的外可靠性表示不可发现的粗差对平差结果(包括全部未知参数Δˆx及其他)的影响.对于单个粗差,若观测值不相关,则得到第i个观测值不可发现的粗差对平差未知数的影响向量长度

1.3 可区分性放大倍数

粗差的可区分性,即粗差的定位能力,是评估平差系统抗差能力的重要指标.定义标准化残差的相关性

在给定显著性水平α0,检验功效β′0和区分可能性(1-γ′0)下,得粗差可区分性放大倍数

2 实验与讨论

实验在我国境内北纬32～36°,东经108～114°地区进行,对应1∶100万比例尺,公共点304个.实验中公共点分布有两种：(1)选定初始子集,在该集上逐个增加,此为非均匀的连续平差; (2)由均匀分布的n个公共点开始解算,逐个增加解算点数,同时要求保持均匀分布,此时要重新在公共点集选取子集,此方法不同于在初始子集上的逐个增加,避免了对其的过度依赖,称为均匀连续平差解算.

2.1 多余观测分量实验

因为实验中不能求法方程系数阵的逆矩阵,所以采用Forstner在模拟观测值上逐一引入粗差▽li的方法,由平差后的残差▽vi,近似求多余观测分量ri.

图1、图2和图3列出了不同变换模型在不同解算点分布的多余观测分量分布(x方向).

图1 解算点均匀分布时平面相似变换模型平差多余观测分布

图2 解算点均匀分布时二元二次多项式平差多余观测分布

实验结果表明：(1)当引入粗差足够大,可以忽略其他误差的影响,则由式(9)求得的多余观测分量可视为真值,实验证明其和等于平差模型的多余观测数;(2)实验对600个均匀分布的公共点求多余观测分量,耗时5.203 0 s,鉴于几何条件矩阵(QvvPll)的难以求解,以模拟粗差求多余观测分量不失为效率较高的近似方法;(3)二元二次多项式平差模型应有12个待解参数,实验推出其必要观测数为10,经平差解出参数a00和b00在10-7数量级,且系数为1,故此待定参数没有必要性,证明由式(9)可以确定必要参数个数;(4)平面相似平差模型必要观测数少,在同样解算点条件下,其平均多余观测分量较大,且多余观测分量分布较二元二次多项式均匀,有较好的几何条件; (5)解算点均匀分布时,随着解算点数的增加,每个观测点的多余观测分量皆得到改善,而非均匀增加解算点,无法增大初始子集的多余观测分量,其可靠性不能得到改善,若含有粗差,不易发现,对平差模型的影响是巨大的,故解算点均匀分布的几何条件好于非均匀分布.

图3 解算点非均匀分布时二元二次多项式平差多余观测分布

2.2 内外可靠性实验

求得各观测点的多余观测分量后,可根据式(5)和式(6)解求各观测点的内外可靠性,图4为10个解算点时,不同平差模型和公共点分布下各点残差、内外可靠性分布,其数值皆为相对于标准差的比率.实验取显著性水平,检验功效β=80%,则

图4 10个解算点可靠性分布

经统计：解算点均匀分布时,平面相似变换模型内可靠性期望4.963 8,标准差0.324 8外可靠性期望2.715 5,标准差0.580 6;解算点均匀分布时,二元二次多项式内可靠性期望6.326 6,标准差1.774 2,外可靠性期望 4.606 4,标准差2.256 4;非均匀分布时,二元二次多项式内可靠性期望6.589 2,标准差2.381 5,外可靠性期望4.865 9,标准差2.941 6.

2.3 可区分性放大倍数实验

求得各观测点的多余观测分量后,据式(7)和式(8)解求各观测点间的可区分性放大倍数.由于难以求解,和计算的复杂性,一般在用Baarda数据探测法取得可疑点后,方计算可疑点间的可区分性放大倍数,确定粗差能否被定位.计算得到10个解算点均匀分布时,平面相似变换模型的标准化残差的相关系数矩阵如下.

实验结果表明：(1)10个均匀分布解算点时,平面相似变换模型的观测点间的最大相关系数在0.4～0.5间,当取显著性水平α0=0.1%,检验功效区分可能性时,查表可得k小于1.015,即2点间可区分粗差小于可发现粗差的1.015倍;(2)对均匀分布的二元二次多项式,其最大相关系数接近0.8,k约为1.063;(3)对基于子集的二元二次多项式,其最大相关系数接近0.97,k约为2.191;(4)随着解算点数增加,均匀分布各点间的标准化残差相关系数将逐渐减小,则模型粗差区分性变好.

由以上分析,可得：(1)根据可区分性放大倍数计算结果,本文实验可直接采用Baarda数据探测法发现且定位粗差;(2)均匀分布的公共点独立性好,可称为不相关观测,且解算点越多,各点的相关性越小;(3)平面相似变换及二元二次多项式变换皆有良好的粗差可发现性和可定位性,平面相似变换又称Robust坐标变换.

3 结 论

1)本文提出的投影变换各项可靠性指标是可行的、有效的,是实际工作中寻找最优变换模型和几何条件的有力工具之一.

2)坐标变换地区公共点的选择与分布,数据的相关性等几何条件,与变换模型的性质对投影变换的可靠性有显著的影响.

3)投影变换,应结合本地区的条件,选择均匀分布,独立的公共点,和各项指标优良的变换模型,则可得到较好的投影变换质量.

4)就本地区的实验成果,平面相似变换具有优异的可靠性,在无粗差或剔除粗差的情况下,又有良好的精度,可以作为严密坐标变换模型的替代,二元二次多项式其可靠性劣于平面相似变换,理想状态的解算精度亦较低,二元三次多项式的各项指标更差,可见不是次数越高,待解参数越多,就能获得越好的投影变换质量,反而增加解算时间和难度.

[1]杨启和.地图投影变换原理与方法[M].北京：解放军出版社,1989.

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