基于分数阶傅里叶变换水下目标距离及速度的联合估计

马艳，罗美玲

(西北工业大学 航海学院，陕西 西安710072)

0 引言

目标的方位、距离和速度估计是雷达和声纳等探测系统信号处理的主要问题之一［1-2］。主动系统通过估计回波信号与发射信号之间的时延和多普勒伸缩因子来估计目标距离和相对径向速度。目标出现与否、脉冲的起始时间和信号参数都是未知的，需要对整个周期的信号进行处理。

目前主动方式估计目标距离和速度采用的匹配滤波技术，对于未知目标速度的检测和估计需要多个副本来覆盖目标的速度范围。而且对于常用的线性调频(LFM)信号(chirp 信号)，由于时延和频率的耦合性，还需要同时发射相同带宽、调频率的正负调频信号以达到准确估计目标距离和速度的目的，这都将导致庞大的运算量且使得处理增益下降［1］。

分数阶傅里叶变换(FRFT)是传统傅里叶变换的推广形式，在量子力学、光学和信号处理中有着广泛的应用［3，6］，它可以看做是信号在一系列chirp 基上的扩展系数。LFM 的某一特定角度的FRFT 将为δ 函数，信号的能量将集中在这个chirp 基上，其最大值出现的某个u 值与信号的中心频率有关，因此FRFT 在处理LFM 时有很大优势，这也得到了研究人员的关注［4-7］。但是这些都是假定信号正好包含在待处理信号中，即已知目标的距离及脉冲宽度，这在主动探测中不太可能。

包含脉冲线性调频信号的FRFT，其峰值出现的角度与原来线性调频信号相同，u 域的位置与时延有直接联系［8］，因此可通过此方法和短时傅里叶变换的方法结合来进一步估计出目标的距离和速度，最后分析了这两个参数的估计性能与信号参数的关系。

1 FRFT 变换

1.1 FRFT 的定义和性质［3］

FRFT 可以通过很多方式定义，这里我们就介绍线性变换核的方法。信号x(t)的p 阶FRFT 定义为

式中:α=pπ/2;

α 可看做是信号的FRFT 旋转的角度，Fα表示FRFT算子，且

1.2 FRFT 的离散计算

Ozaktas 在文献［3］［9］中给出了一种计算FRFT 的快速算法。这种方法是对连续FRFT 的核函数在FRFT 和时域直接采样得到的，因此被称之为FRFT 的离散计算方法。(1)式可以表示为

FRFT 被分解为乘以chirp 信号，然后和chirp 信号卷积，最后再乘以一个chirp 信号。在利用该方法进行计算之前需要进行维数归一化。对于时宽带宽积为N 的信号，完成FRFT 需要O(NlgN)次运算.假设信号在时域和频域都是紧支撑的，其时域范围为［-Δt/2，Δt/2］，频域的范围为［-Δf/2，Δf/2］，则时宽带宽积定义为N≡ΔtΔf.可选择伸缩参数为这样时域和频域的长度相等，为记为Δu.因此在u 域的采样间隔为这种方法称之为离散尺度转化法。

对于离散信号，一般选择观测时间为时宽Δt=t0，采样频率为带宽，即Δf=fs，fs为采样频率，因此伸缩因子s 和归一化长度Δu 分别为［10］

2 水下宽带信号模型及FRFT

2.1 线性调频信号

LFM 的频率线性增加或减小，是声纳和雷达系统的常用信号之一。线性调频信号可写为

式中:A0，φ0和f0分别为信号的幅度、初始相位和初始频率(t=0 );调频率这里B 和T 是信号的带宽和时宽。

依据FRFT 的频移性质，A0，φ0将不影响其FRFT 能量的分布，exp［jπ(2f0t+k0t2)］的FRFT 为［3］:

其中m 为任意整数，gα(u)是g(t)=exp(jπk0t2)的α 阶FRFT.也就是说，调频率为k0的线性调频信号的某一角度k0=-cot(α)的FRFT 为δ 函数，信号能量集中在某一chirp 基上，Fα［exp［jπ(2f0t+k0t2)］］的幅值会在u=f0sinα 时达到最大，所以说最大值出现的角度与调频率有关，其在u 域的位置与初始频率有关，可通过最大值的位置来估计LFM的调频率和中心频率。

2.2 水下动目标的回波模型

当发射机发射的信号为u(t)，经过单目标反射，接收机接收到的信号为r(t).若目标是匀速运动(可忽略目标加速运动)，径向速度为v，接收信号可表示为［11-12］

式中:τ0=是信号到目标的双程时延，R 为目标距离，c 为水中声速;a=是回波的时间尺度因子;n(t)是背景噪声，为均值为0，方差为σ2独立同分布的复高斯白噪声。

2.3 回波信号FRFT

声纳和雷达中，回波信号在工作周期中很短的一部分，从(4)式的接收信号可知，它由两部分组成:目标反射回波(第1 项)和背景噪声(第2 项)，背景噪声是一直存在，而在声纳和雷达中，目标回波信号只存在于工作周期中很短的时间中。由于FRFT 是线性变换，而且信号和噪声是互不相关的，所以对(4)式的FRFT 可以分为两项。背景噪声为复高斯过程，那么它的FRFT 也将是复高斯过程，没有明显的聚集特点。而对于脉冲形式的回波信号，采用短时傅里叶变换的思想，将接收信号分成长度为2γT(γ≤1)的小段。为了简化，我们只给出包含回波脉冲的一段接收信号，必须保证这段的中心包含信号成分，这段信号可以表示为

其中，g'α(u)是g'(t)=的α 阶FRFT.所以gα(u)的最大幅值出现的角度为其中α'为g'α(u)最大值出现的角度，双程时延不仅对FRFT 的相位有影响，而且会引起幅值最大值位置在u 域的变化。

线性调频信号FRFT 的幅值分四种情况，这里我们仅讨论峰值点位置的情况，即:α-arctg(k0)=且u- f0sinα 的情况，|Fα［exp(jπ(2f0t+所以回波信号FRFT 幅值的均值为

其方差为

3 径向速度和时延的估计

图1表示的是发射信号、尺度信号和回波信号的时间—频率关系，［-γT，γT］是这段信号的时间范围，［-T/2，T/2］，k0和f0分别为发射信号的时间范围、调频率和初始频率(t=0)，［- T/2a，T/2a］，k0a和f0a分别为发射信号伸缩后信号的相应参数，［-T/2a+τ0，T/2a+τ0］，k0r和f0r分别为回波信号的参数。若尺度为a，时延为τ0，则有下面的关系存在

图1 信号的瞬时频率Fig.1 Instantaneous frequency of signal

FRFT 谱的最大值出现在

4 数值仿真

假设主动声纳系统发射线性调频信号，其参数为:时宽150 ms，带宽为5 kHz，中心频率为15 kHz，所以其调频率为33.33 kHz/s，系统的采样频率为40 kHz，则信号的采样点数为6 000.为了确保整个LFM 信号在一个观测段内，设定段的长度为2T，即12 000 个点，所以在进行量纲归一化时的尺度为s=那么归一化调频率和中心频率与实际LFM 信号参数之间的关系为［8］

其中k0r，f0r是接收信号实际的调频率和中心频率，k'0，f'0分别为归一化之后的调频率和中心频率。

对于水下目标，其运动速度在-50～50 m/s，此时LFM 的FRFT 为Delta 函数的理论阶数可这样计算

其范围为［1.137 1，1.177 1］.因此没有必要在FRFT 的定义域［0，2］之间搜索，大大减小了搜索范围及计算量。

仿真分为两部分进行，首先用仿真数据和实测数据来验证该方法的有效性和该估计方法的误差均方值与信噪比的关系，其次分析该算法的敏感性能。

假设目标的径向相对运动速度为10 m/s，目标距离为750 m，所以目标回波的时延是1 s，背景噪声用零均值、方差为1 的互不相关的复高斯随机过程近似，回波的信噪比为0 dB，每批处理的信号长度为12 000 点，刷新6 000 点，所以信号将出现在第8 批，其FRFT 的谱如图2所示，峰值出现的归一化阶数和u 值为:p=1.151 9，u=37.226 9，依据阶数和u与信号参数之间的关系(第4 部分)以及归一化参数与实际参数的关系((12)、(13)式)，可知回波信号的调频率32 434 Hz/s 和中心频率为13 990 Hz，从(13)式可得出目标的径向运动速度为10.260 4 m/s，和目标回波的在该数据段的时延为0.024 9 s，则估计的目标距离为749.123 9 m.

图2 回波信号的FRFTFig.2 The FRFT of echo

在消声水池实验中，发射信号由PC 机产生、经D/A 和功放由发射换能器发射，经模拟抗混叠滤波和接收基阵接收。A/D 的采样频率为200 kHz，发射的LFM 时宽为75 ms，带宽为5 kHz，中心频率为20 kHz.PC 机仿真时设定目标的距离为188 m，速度为0 m/s.所以每批处理的长度为30 000，刷新的长度为15 000.注意到前面第2 部分的推导中，信号都是复信号，所以在用FRFT 处理阵元接收的信号之前需要对信号进行Hilbert 变换将其转换为复信号。经过该方法处理，FRFT 峰值出现在第5 批数据中，p=1.031 83，u=18.019 1.所以估计的信号的调频率k0r=66.73 kHz/s 和零点频率为20.83 kHz，因此估计的目标速度为-0.29 m/s，脉冲在这批数据中的时延为-0.012 3 s，最终估计的目标距离为

图3和图4给出了时延和径向速度估计的均方根误差与信噪比之间关系，展现了信噪比对该估计方法的影响。信噪比从-6 dB 到10 dB，回波的真实时延为0.575 s，径向速度的真实值为10 m/s，在每个信噪比下进行100 次仿真实验，图中给出的均方误差的对数。从图可以看出，在信噪比大于或等于-2 dB 时，该算法受信噪比影响较小，比较稳健。

5 敏感性分析

为了使径向速度和时延达到一定的估计精度，研究其与阶数间隔之间的关系。线性调频信号的调频率可以为正，也可以为负，当调频率为正时，α 在第二象限，否则α 在第一象限。对接收信号分段的长度为2γT，则进行维数归一化的尺度因子为s=由速度的估计原理

图3 时延估计的均方误差Fig.3 MSE of the time delay

图4 径向速度估计的均方误差Fig.4 MSE of the radial velocity

对(14)式两边求微分，当线性调频信号的调频率为正时，α 在第二象限，cotα 为负，所以

这里我们仅讨论估计的信号参数等于信号参数的情况，由信号调频率与FRFT 变换角度、归一化尺度因子等的关系，(15)式可以简化为

从式中可以看出，速度的敏感度与信号中心频率和u 无关;在信号时宽相同的条件下，它与FRFT 的角度(即信号的调频率有关)有关，也就是和信号的带宽有关，随着带宽的增加而降低。

同理，时延估计的敏感度

对α 求偏导并经过一系列的简化得

同理用理论的角度和u 值来代替估计的值，且du=Δu，则的微分可简写为

从式中可以看出，时延估计的敏感度与信号的时宽、带宽和中心频率都有关系。

由于在信号时宽变化时，FRFT 变化的信号长度、u 域的分辨力和归一化因子都发生变化，所以这里就不比较时宽对敏感性的影响。图5是时宽为75 ms，中心频率为5 kHz，采样频率为40 kHz，角度的间隔为10-6，带宽从200 Hz 到10 kHz 的速度敏感度，可见随着带宽的增加，敏感度降低，尤其是当带宽大于4 kHz 之后，变化就非常小，也就是说对于窄带信号，该估计方法如果估计角度有很小的偏差将会导致速度的估计误差发生较大的变化。图6中实线是和图5中参数相同，而虚线则是中心频率为15 kHz 时的时延敏感度曲线。时延对误差的敏感度也是随着带宽的增加而降低，当带宽大于2 kHz后，变化就比较平稳了;另一方面，时延敏感度与中心频率也有关系，中心频率为5 kHz 的比中心频率为15 kHz 的敏感度小一些。

图5 速度敏感度与带宽的关系Fig.5 Sensitivity of the radial velocity vs.SNR

图6 时延敏感度与带宽和中心频率的关系Fig.6 Sensitivity of the time delay vs.SNR and central frequency

6 结论

本文研究了基于FRFT 的水下目标的速度和距离联合估计问题。推导了目标速度和距离与回波的FRFT 峰值位置之间的关系，数值仿真表明该方法仅用单调频线性调频脉冲就可以同时完成目标的距离和速度的有效估计，并且对于水下运动目标低速情况，该方法需要搜索的角度范围非常小，为该方法在实际工程中成功应用提供可能。最后对该方法进行了敏感度分析。

References)

［1］ Stergiopoulos S.Advanced signal processing handbook:theory and implementation for radar，sonar，and medical imaging real time systems［M］.Boca Raton:CRC Press LLC，2001.

［2］ 李志舜.鱼雷自导信号与信息处理［M］.西安:西北工业大学出版社，2003:164-237.LI Zhi-shun.Signal ＆ information processing in torpodo-homing［M］.Xi’an:Northwestern Polytechnical University Press，2003:164-237.(in Chinese)

［3］ Ozaktas H M.The fractional fourier transform with application in optics and signal processing［M］.New York:John wiley ＆ Sons，2001:117-183.

［4］ Sun H B，Liu G S，Gu H，et al.Application of the fractional fourier transform to moving target detection in airborne SAR［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2002，38(4):1416-1424.

［5］ 齐林，陶然，周思永，等.基于分数阶Fourier 变换的多分量LFM 信号的检测和参数估计［J］.中国科学:E 辑，2003，33(8):749-759.QI Lin，TAO Ran，ZHOU Si-yong，et al.Application of the factional fourier transform for multi-component LFM signal detection and estimation［J］.Science in China:Series E，2003，33(8):749-759.(in Chinese)

［6］ Qi L，Tao R，Zhou S Y，et al.Detection and parameter estimation of multicomponent LFM signal based on the fractional Fourier transform［J］.Science in China:Series F.Information Sciences，2004，47(2):184-198.

［7］ 陈鹏，侯朝焕，马晓川，等.基于匹配滤波和离散分数阶傅里叶变换的水下动目标LFM 回波联合检测［J］.电子与信息学报，2007，29(10):2305-2308.CHEN Peng，HOU Chao-huan，MA Xiao-chuan，et al.The joint detection to underwater moving target’s LFM echo based on matched filter and discrete fractional fourier transform［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2007，29(10):2305-2308.(in Chinese)

［8］ Yan M，Yan K.FRFT based on joint estimation time delay and radial velocity of underwater target［C］∥2010 3th International Congress on Image and Signal Processing，Yantai:2010(9):4074-4078.

［9］ Ozaktas H M，Arikan O，Kutay M A，et al.Digital computation of the fractional Fourier transform［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1996，44(9):2141-2150.

［10］ 赵兴浩，邓兵，陶然.分数阶傅立叶变换数值计算中的量纲归一化［J］.北京理工大学学报，2005，25(4):360-364.ZHAO Xing-hao，DENG Bing，TAO Ran.Dimensional normalization in the digital computation of the fractional fourier transform［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2005，25(4):360-364.(in Chinese)

［11］ 刘建成，刘忠，等.高斯白噪声背景下的LFM 信号的分数阶Fourier 域信噪比分析［J］.电子与信息学报，2007，29(10):2337-2343.LIU Jian-cheng，LIU Zhong，et al.SNR analysis of LFM signal with gaussian white noise in fractional fourier transform domain［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2007，29(10):2337-2343.(in Chinese)