GPS/INS 组合制导弹药空中对准的初始滚转角估计新算法

佘浩平，杨树兴，倪慧

(1.北京理工大学 飞行器动力学与控制教育部重点实验室，北京100081;2.中国兵器科学研究院，北京100089)

0 引言

GPS/INS 组合制导弹药从常规平台发射过程中，通常需要承受高过载、高转速等恶劣条件。例如，制导迫弹在发射过程中的最大过载为10 000 g左右，而制导炮弹的最大过载则高达几万个g.此外，制导弹药发射时通常采用与常规弹药一致的弹体高速旋转方案，进入有控段后才使弹体倾斜稳定或低速旋转。惯性导航系统一般要在发射结束后在空中重新进行对准。空中对准一般分为两步:粗对准和精对准。粗对准过程是给惯导系统提供粗略的初始值，为精对准作准备;在此基础上，组合导航系统运用Kalman 滤波器，融合GPS 和INS 数据，进行精对准。

在粗对准时，位置、速度和俯仰角、偏航角等的初值可以方便地从装定的弹道数据或重新捕获的GPS 测量数据中获得。但较为特殊的是，由于发射过程中弹体旋转，即使是粗略的滚转角初始值也不易获得。因此，需要研究GPS/INS 组合制导弹药在空中进行对准时，获取弹体初始滚转角的方法。一些制导弹药上采用地磁测量元件来获得滚转角［1-2］，但这样需要在弹上增加地磁测量元件。本文研究一种不需要额外增加硬件设备，直接利用GPS 和角速率陀螺的测量数据来估计GPS/INS 组合制导弹药初始滚转角的新算法。

1 估计算法的基本思路

GPS/INS 组合制导弹药在发射过程结束后，通过滚转控制或气动减旋，使弹体倾斜稳定或低速旋转。GPS 接收机重新进行捕获、跟踪和定位以获得GPS 位置和速度测量数据。与弹体捷联安装的3 个角速率陀螺可分别测得在各自安装轴方向上的弹体角速率。

若弹体的滚转角理想地保持为0°，则弹上两个横向角速率陀螺测量值就分别是弹体的俯仰和偏航角速率。如果弹体的滚转角不为0°，则两个横向角速率陀螺的测量值是弹体俯仰角速率和偏航角速率的合成，其中还包含了滚转角的信息。对于采用弹道式飞行方案的制导弹药，飞行过程中必然存在俯仰姿态的变化。因此可从角速率陀螺的测量信息中，辩识出弹体的滚转角。本文的滚转角估计算法是依据这一基本思路提出的。

GPS/INS 组合制导弹药在飞行中根据弹体滚转体制的不同，可分为两种方案:一种是弹体采取倾斜稳定控制;另一种是弹体低速旋转。下面分别对这两种情况，讨论弹体初始滚转角的估计算法。

2 倾斜稳定弹体的滚转角估计算法

首先讨论飞行中弹体倾斜稳定的情况。此时倾斜稳定回路将弹体的滚转角控制在某一未知角度附近，需要对该角度进行估计。

2.1 估计算法的基本原理

弹箭绕质心转动运动的运动学方程［3］为

式中:ωxm、ωym、ωzm分别为弹体转动角速度ω 在弹体坐标系3 个轴Oxm、Oym、Ozm上的分量;γ 为滚转角;分别为俯仰角、俯仰角速率和偏航角速率。

由(1)式的前两式解算ωym和ωzm得

结合(2)式说明估计算法的基本思路。等式左边的ωym和ωzm可由两个横向角速率陀螺测得，若能获知等式右边ϑ、和的值，则可计算得到滚转角γ.由于不同时刻处计算得到的γ 值均不相同，考虑采用最小二乘估计法获得滚转角的最优估计值.

记

于是可将(2)式写成如下矩阵形式

设t 在t0～tn时段内，滚转角为γ，是一个未知的待估计值。取t 在t0～tn时段内的测量数据来估计γ，每一时刻的角速率ωym、ωzm由角速率陀螺测得，每一时刻的利用GPS 速度测量数据进行近似估计(具体方法在2.2 节中阐述)。将各时刻的相应值代入(5)式，得如下矩阵方程式

式中:

应用最小二乘估计法［4］，得到X 的估计值为

使得

取极小值。

得到X 即sinγ、cosγ 的估计值后，就可由(10)式计算初始滚转角γ，

为确定滚转角在360°范围内的取值，应根据X(1)和X(2)的符号进一步确定γ 的象限，最终得到初始滚转角的估计值.

2.2 弹体姿态角参数的估计方法

在上述估计算法中，需知各时刻的俯仰角及其变化率和偏航角的变化率，下面介绍获得这些姿态角参数的方法。

根据制导弹药的特点，弹体在气动力作用下一般是静稳定的，无控时攻角和侧滑角都很小，即姿态角均在弹道角附近摆动。故用弹道角参数作为相应姿态角参数的近似值。即采取如下近似:

式中θ、ψv分别为弹道倾角和弹道偏角。

用GPS 接收机提供的速度测量值在地面坐标系各轴上的分量vx、vy、vz解算制导弹药的弹道倾角和弹道偏角，计算公式如下

GPS 接收机输出的速度测量数据是不连续的，根据(12)式可以计算得到输出点处的弹道倾角和弹道偏角。输出点之间的数据可用曲线拟合方法如最小二乘3 次曲线拟合方法［5］获得。弹道倾角的变化率和弹道偏角的变化率则可通过计算拟合曲线在各点处的斜率获得。

2.3 估计算法的步骤

为方便起见，将倾斜稳定弹体的初始滚转角估计算法的步骤归纳如下:

1)取t 在t0～tn时段内的GPS 速度测量值vx、vy和vz，根据(12)式分别计算出各时间点处的弹道倾角θ 和弹道偏角ψv;

2)采用曲线拟合方法对θ 和ψv进行曲线拟合，通过计算拟合曲线在各点处的斜率获得和;

4)根据矩阵(8)式计算得到X 的估计值;

5)由(10)式计算初始滚转角γ，并确定γ 的象限，最终得到初始滚转角的估计值.

研究工作还考虑了另外两种算法，为区别起见，将上面介绍的估计算法称为算法A-1，下面介绍的两种算法分别称为算法A-2 和算法A-3。

算法A-2 与算法A-1 的不同之处在于仅用到(2)式中的第1 式，即此时

算法A-3 与算法A-1 的不同之处在于仅用到(2)式中的第2 式，即此时

3 低速旋转弹体的滚转角估计算法

再讨论飞行中弹体低速旋转的情况。此时滚转角是连续变化的，需要估计特定时刻的滚转角。

从(1)式的前两式中解算出sinγ 和cosγ，得

将滚转角γ 写成角频率和角相位的形式

又根据(1)式可得

对(17)式两边积分得

则(15)式的左边可写成

结合(15)式和(19)式分析，式中ωxm、ωym和ωzm可用横向角速率陀螺测得，若能获得ϑ、和的值，则可计算得到初始滚转角γ0;由于各时刻处计算得到的γ0值均不相同，考虑采用最小二乘估计法来获得初始滚转角的最优估计值0.

记

则(15)式可写成如下矩阵形式

注意到(22)式与(5)式具有相同的矩阵形式，只是其中符号所代表的含义不同。可采用与算法A-1 类似的方法得到低速旋转弹体的滚转角估计算法。该算法的步骤与算法A-1 的基本相同，只是计算矩阵C 和Z 时，应根据(22)式计算。得到t0时刻的滚转角估计值后，进一步根据(18)式可计算出后续各时刻的滚转角。

研究工作还考虑了另外两种算法，为区别起见，将上面介绍的算法称为算法B-1，下面介绍的两种算法分别称为算法B-2 和算法B-3。

算法B-2 与算法B-1 的不同之处在于仅用到(15)式中的第1 式，即此时

算法B-3 与算法B-1 的不同之处在于仅用到(15)式中的第2 式，即此时

各算法的具体性能如何，下面将结合算例进行仿真和性能分析。

4 估计算法的仿真和性能分析

4.1 估计算法的仿真条件

以某制导弹药的模型参数为例进行仿真分析，采用弹道式飞行方案，发射角为50°.分别研究飞行中弹体倾斜稳定和低速旋转两种情况，在MATLAB/Simulink 环境下建立仿真模型，进行初始滚转角估计算法的仿真和性能分析。

假定角速率陀螺在发射过程中的测量数据不可用，GPS 接收机重新捕获到卫星信号后，从t=15 s起输出速度测量数据。以弹体转动角速度在弹体坐标系各轴上的分量ωxm、ωym、ωzm的仿真值(或加入相应的误差)，分别作为安装在弹体3 个轴上的角速率陀螺的测量值。以弹的飞行速度在地面坐标系各轴上的分量vx、vy、vz的仿真值(或加入相应的误差)，分别作为GPS 接收机提供的3 个方向上的速度测量值。角速率陀螺和GPS 接收机的数据输出率分别为1 000 Hz 和1 Hz，即每秒获得1 000 次角速率测量数据和1 次速度测量数据。采用t 在15～25 s时段内的测量数据来估计滚转角。

在确定滚转角之前，不便对弹体进行俯仰和偏航控制，这里将无控时的姿态角和弹道角进行比较。仿真计算表明，无风或有随机风干扰时，姿态角均在弹道角附近摆动，弹道角体现了姿态角的平均效果。而有常值风作用时，姿态角与弹道角之间存在一个固定的差值，这是因为弹体产生了平衡攻角和侧滑角。图1中给出无风情况下的比较图。

在多种条件下进行了算法的仿真，仿真条件见表1。其中，对于有误差的情况，根据制导弹药的典型情况，其误差取值如下:

1)GPS 在3 个方向上的速度测量值误差均为:均值为0，标准偏差为0.1 m/s，按正态分布;

2)3 个陀螺的角速率测量误差均为:均值为0，标准偏差为10-4rad/s，按正态分布;

3)随机风条件下，纵风、横风和垂直风速均为:均值为0，标准偏差为3 m/s，按正态分布;

4)常值风条件下，纵风、横风和垂直风速的大小均为20 m/s.

4.2 估计算法的仿真结果

图1 姿态角与弹道角的比较Fig.1 Comparison between attitude angles and ballistic angles

表1 估计算法的仿真条件Tab.1 Simulation conditions of estimation algorithm

针对弹体倾斜稳定情况，分别采用算法A-1、算法A-2 和算法A-3 进行滚转角估计。将t=15 s 时利用估计算法得到的滚转角与实际弹道计算得到的滚转角相比较。其中，滚转角估计值的取值范围为(-180°，180°］，而实际弹道计算得到的滚转角要减去整周部分(即减去360°的整数倍部分)，两者相减得到滚转角估计误差。在不同估计算法和不同仿真条件下，各进行100 次滚转角估计，并求得估计误差的平均值和标准偏差，计算结果见表2所示。

表2 估计算法A 的误差值Tab.2 Estimated errors of algorithm A

针对弹体低速旋转情况，分别采用算法B-1、算法B-2 和算法B-3 进行滚转角估计，进行上述计算，所得结果见表3所示。

表3 估计算法B 的误差值Tab.3 Estimated errors of algorithm B

4.3 估计算法的性能分析

通过对不同滚转角估计算法和各种仿真条件下的仿真结果进行分析，可得以下结论:

1)应选用算法A-1 作为倾斜稳定弹体的滚转角估计算法。

算法A-1 在各种条件下的估计精度都比较高，估计误差在2°以内。而算法A-2 和A-3 在各种条件下的估计误差都特别大，因为当俯仰角速度比偏航角速度大得多时，这两种估计算法中的矩阵C 是一个病态矩阵，很容易导致算法发散。

2)可选用算法B-1 或算法B-2、算法B-3 作为低速旋转弹体的滚转角估计算法。

算法B-2 和B-3 的估计精度与算法B-1 的估计精度都比较高且差别不大，估计误差在3°以内。其中，算法B-2 和B-3 的计算量比B-1 要小一些。

3)风(包括随机风和常值风)、GPS 速度测量误差和陀螺角速率测量误差均对估计精度有影响，其中风是造成滚转角估计误差的主要因素。

制导弹药在有风条件下飞行时，弹道倾角、弹道偏角分别与俯仰角、偏航角之间存在由风引起的夹角，估计算法中的近似条件符合性不够好，从而影响估计算法的精度。

5 结束语

本文提出的初始滚转角估计算法，适用于采用弹道式飞行方案、具有气动静稳定性、飞行中弹体倾斜稳定或低速旋转、需要进行空中对准的GPS/INS组合制导弹药，可满足为粗对准提供滚转角初值的精度要求。完成粗对准后，就可进一步利用Kalman滤波器，融合GPS 和INS 数据进行精对准。

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