分数阶双卷混沌系统的复杂性演化仿真研究

辛宝贵, 马军海, 陈 通

(1.天津大学管理与经济学部, 天津 300072; 2.山东科技大学经济管理学院, 山东 青岛 266510)

0 引 言

混沌与分岔是存在于自然和社会系统中的一种复杂现象，系统由简单的状态，如均衡状态、周期性运动状态和拟周期运动状态，进入混沌状态的方式是复杂性研究中的一个重要研究课题[1,2].系统中的混沌意味着系统内在的不稳定性.就目前的研究结果来看，前人通过定性分析和数值模拟等方法已经发现了4条具有典型代表性的通向混沌的道路:倍周期分岔通向混沌、阵发性通向混沌、拟周期通向混沌、KAM环面破裂通向混沌[3].

2001年，Elwakil 和 Kennedy[4]建立了一个能够产生双卷混沌吸引子的整数阶系统：

图1 a=0.8时，系统(1)的混沌吸引子

(1)

定义1：函数f(t)关于时间t的α阶Riemann-Liouville 分数导数[6]可表示为：

其中，t>0，Γ(·)是一个Gamma函数，n是整数且n-1≤α

把上述分数阶微分算子引入系统(1)，我们可以得到更一般的形式——分数阶双卷混沌系统，如下所示：

(2)

其中0

1 分数阶双卷混沌系统的数值解法

本文采用最常见的数值求解分数阶微分方程的方法：亚当斯-巴什福斯-莫尔顿预估-校正的有限差分法[7,8].对于系统(2)，我们可以数值求解如下：

(3)

设h=T/N,tn=h,n=0,1,…,N∈Z+,系统(3)可以近似成如下差分方程组:

其中，

2 分数阶双卷混沌系统复杂性演化仿真

本文运用亚当斯-巴什福斯-莫尔顿预估-校正有限差分法[7,8]对系统(2)进行复杂性仿真研究.设定q1=0.97,q2=0.91和q3=0.88，另取初值为(x0,y0,z0)=(0,0,0.01).当我们对a∈[0.6,2]调整时，我们可以分别画出系统(2)中x,y,z的分岔图，如图2～4所示.从这3个分岔图可以发现，系统(2)的复杂性随着我们对a∈[0.6,2]调整而发生相应的变化.

图2 系统(2)的x随a变化的分岔图 图3 系统(2)的y随a变化的分岔图

图4 系统(2)的z随a变化的分岔图

若我们取a=0.9，系统(2)的相图如图4所示，x的时间序列图如图5所示，结合分岔图2～4，可以发现该系统变化比较剧烈，正处于混沌状态.

若我们取a=1.17，系统(2)的相图如图7所示，x的时间序列图如图8所示，结合分岔图2～4，可以发现该系统在a=1.17时处于拟周期性运动变化状态.

若我们取a=1.7，系统(2)的相图如图9所示，x的时程图如图10所示，结合分岔图2～4，可以说明当a=1.7时该系统趋向于渐近稳定均衡状态.

图5a=0.9时系统(2)的相图 图6a=0.9时系统(2)中x的时间序6列图

图7 a=1.17时系统(2)中x的时间序列图 图8 a=1.17时系统(2)的相图

总之，当a从0.6向2变化时，系统(2)经由不稳定的混沌状态、拟周期运动，最后进入渐近稳定的均衡状态.

3 结束语

本文运用亚当斯-巴什福斯-莫尔顿预估-校正的有限差分的数值仿真方法，通过分岔图、相图和时间序列图，演示了分数阶双卷混沌系统的唯一参数a对其复杂性的影响，得出了一些有趣的研究结果，可以应用于保密通信等领域.

图9a=1.7时系统(2)的相图 图10a=1.7时系统(2)x的时间序列图

参考文献

[1] Puu T. Nonlinear Economic dynamics[M]. Springer Verlag, 1997.

[2] Xin BG, Ma JH, Qin G. The complexity of an investment competition dynamical model with imperfect information in a security market[J]. Chaos, Solitons & Fractals,2009, 42(4):2 425-2 438.

[3] Sprott J. Chaos and Time-series Analysis[M]. New York: Oxford University Press,2003.

[4] Huang D, Li H. Theory and Method of the Nonlinear Economics[M]. Chengdu: Sichuan University Press, 1993.

[5] Elwakil A, Kennedy M. Construction of classes of circuit-independent chaotic oscillatorsusing passive-only nonlinear devices[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems Ⅰ: Fundamental Theory and Applications,2001, 48(3): 289-307.

[6] Podlubny I. Fractional Differential Equations[M]. Academic press New York,1999.

[7] Diethelm K, Ford N, Freed A. Detailed error analysis for a fractional Adams method[J]. Numerical algorithms,2004, 36(1):31-52.

[8] Diethelm K, Ford NJ, Freed AD. A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations[J]. Nonlinear Dynamics,2002, 29(1～4):3-22.