基于最优窗Burg 算法的电力系统 间谐波谱估计

李 明 王晓茹

（西南交通大学电气工程学院 成都 610031）

1 引言

电力系统中不仅存在大量的整数次谐波，也存在着非整数次谐波（次谐波，间谐波）。间谐波对电力系统及设备的危害很大，会引起灯光闪烁、低频继电器异常运行、无源滤波器过流跳闸、感应电动机噪声和振动等问题。因此，需对电力系统间谐波进行分析，从而为电力系统的监控和保护提供依 据[1]。

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是最常用的电力系统谐波分析方法，但其频率分辨率较低，并且，非同步采样的情况下，还会导致长范围泄漏和栅栏效应[2]。文献[3]采用加窗插值的方式来对FFT 进行改进，可减少长范围泄漏和栅栏效应的影响。但通过加窗插值的方式不能提高算法的频率分辨率，并且，在时域内加平滑窗还会进一步降低频率分辨率。为了检测出信号中所有的谐波和间谐波分量，窗宽一般高达几十个信号周期，不利于实时检测。特征值算法[4-8]通过将自相关矩阵中的信息空间分解为信号子空间和噪声子空间，从而达到谐波分析的目的，具有较高的频率分辨率，故被广泛应用于电力系统间谐波检测中。但其运算量较大，硬件实现比较困难。小波变换[9-10]和时频分析[11]也被用于分析电力系统间谐波，但频率分辨率和估计精度较低，运算量也较大。

自回归（Autoregressive，AR）模型谱估计方法中的Burg 算法具有很高的频率分辨率，并且由于采用Levinson 递推，可进行高效计算，故被应用于电力系统间谐波谱估计中[12-13]。但Burg 算法对初始相位较为敏感，在对较短的间谐波信号进行分析时尤为明显，导致出现谱峰偏移，并在阶数较大时易出现谱线分裂。针对Burg 算法的这一缺点，已有多种改进算法，Marple 算法[14]解除了Levinson 递推公式这一强约束条件，其频率偏移程度较低，且不存在谱线分裂现象，谱估计性得到提高，但是，该算法不能保证得到一个稳定的AR 模型，虽然可以设定递推结束条件来保证算法的稳定性，但会使谱估计结果趋于保守，可能会丢失一些谱峰。汉明窗Burg算法[15]和最优窗Burg 算法[16]通过对预测误差平均功率进行加窗，可以降低频率偏移和谱线分裂程度，并且可以得到一个稳定的AR 模型，而最优窗Burg算法通过使平均频率误差最小，其谱估计性能要进一步优于汉明窗Burg 算法。

本文采用最优窗Burg 算法，将其应用于电力系统间谐波谱估计。与Burg 算法相比，该算法对初始相位不敏感，频率偏移和谱线分裂程度较低，谱估计性能较好，与各种特征值算法相比，其计算复杂度较低。仿真结果验证了该方法的有效性。

2 基于加窗Burg 算法的间谐波检测原理

设电力系统间谐波信号为

式中，M 为信号中所含谐波和间谐波的个数；Ai，fi，ϕi分别为第i 次谐波的幅值、频率和初始相位；fs为采样频率；η(n)为白噪声序列。

式（1）可转化为[17]

由式（2）可见，电力系统间谐波信号y(n)可看作为AR 模型。另外，由于事先并不知道信号所含谐波和间谐波的个数，所以AR 模型阶数m 需要预估，现有的AR 模型阶次准则（如最终预测误差准则，Akaike 信息准则等）所预估的结果都不理想，一个经验法则是，对于一个较短的间谐波信号，可令m 的取值范围为N/3～N/2（N 为信号采样点数），这样得到的谱估计效果较好[18]。

AR 模型中较常用的方法为Burg 算法，该方法利用Levinson 递推公式由低阶到高阶来求取AR 模型参数，Levinson 递推公式为[16,19]

式中，i=1,2,…,m−1。

由式（3）可以看出，在m−1 阶解已知的情况下，欲求出m 阶解，仅有am(m)未知，所以，关键的问题是如何求取反射系数am(m)。Burg 算法通过在前、后向预测误差平均功率最小的意义下直接求解am(m)。首先定义前、后向预测误差分别为

将式（3）代入到式（4）和式（5）中，可得

式（6）和式（7）分别为前、后项预测误差的阶数递推公式，则m 阶预测误差平均功率为

对预测误差平均功率em进行加窗后可得[18]

式中，wm(n)为m 阶窗函数。如果wm(n)选取合适，可明显降低谱峰偏移程度，具体原因详见第3 节。

由式（10）可见，|am(m)|＜1，因此，加窗Burg 算法可以得到一个稳定的AR 模型[18]。将am(m)代入式（3）中，可求出AR 模型的m 阶解am(i)。根据所求得的am(i)和预测误差em可进一步求得信号的功率谱密度

由于数字频率ω为连续函数，需要对其进行数字离散化。将式（11）转化为

数字频率间隔Δω 可以根据需要设定，Δω 越小，频率估计精度越高，同时计算量也越大。为了兼顾频率估计精度和计算复杂度，本文假定Δω为π/fs，则模拟频率间隔为0.5Hz。在式（12）所对应的功率谱图上，各峰值处所对应的频率即为各次谐波和间谐波的频率。在此基础上，可用非线性最小二乘法进一步求取各次谐波和间谐波的幅值和相位信息，推导过程详见文献[8]。

3 误差分析和最优窗的推导

由式（1）可知，间谐波信号可以看作多个正弦波和噪声叠加之和。为简单分析起见，只选取其中一 个 正 弦 波 x(n)=Aisin(2πfin/fs+ϕi)， 令 Ai=1，ω=2πfi/fs，ϕ =ϕi−π/2，则x(n)=cos(ωn+ϕ)。由于前、后向预测误差的初值均为x(n)，将其代入到式（10），可得一阶系数[16]

式（13）可表示为

式中

由式（14）可知，由于存在θ 项，从而使数字频率ω 偏离其实际值，导致谱峰偏移现象。由式（15）可知，误差项θ 的大小与信号初始相位ϕ 密切相关。可通过加合适的窗函数w1(n)来减小误差项θ 的影响。首先令频率误差Δf=θ/2π，可得平均频率误差的方差为

式中，δ 为脉冲函数。为了尽量减小由θ 项引起的误差，需使平均频率误差方差〈var(Δf)〉最小，可求得一阶最优窗

同理，可求得m 阶最优窗

最优窗的具体推导见文献[16]。

为了减少运算量，可将式（18）转化为如下递推形式：

式中

由式（18）可以看出，窗函数 wm(n)只与信号长度N 和阶数m 相关，而与信号的频率、幅值和相位无关。故用该窗分析式（1）中的任意次谐波和间谐波时，均可有效减少由误差项θ 引起的频率偏差，从而减少间谐波信号的谱峰偏移，并可有效抑制谱线分裂。

4 算法复杂度比较

对最优窗 Burg 算法分析可知，由于采用Levinson 递推求取AR 模型系数，从而避免了自相关矩阵估计，相对于各种特征值法（如 Pisarenko算法、Music 算法、Esprit 算法，Min-Norm 算法等），其算法复杂度较低。为了进一步减少最优窗 Burg算法运算量，可令式（12）中的比例系数em为一非零常数。另外，虽然各种特征值法的运算量和存储量不同，但均需进行自相关矩阵估计，故可用自相关矩阵估计来代替各种特征值法。具体算法复杂度比较见表1 和表2。

表1 各种算法复杂度比较 Tab.1 The comparison of computational complexity for various algorithms

表2 各种算法复杂度定量比较 Tab.2 The quantitative comparison of computational complexity for various algorithms

由表1 和表2 可见，特征值算法仅自相关矩阵估计这一步，所需的运算量和存储量均已明显高于最优窗Burg 算法，如果再将矩阵的特征值分解等运算包含在内，其计算复杂度将会更高。并且，两者计算复杂度的差距还会随着信号采样点数N 和AR模型阶数m 的增加而进一步增加。

5 仿真算例

5.1 最优窗Burg 算法、汉明窗Burg 算法和原Burg算法谱估计性能比较

设分析信号为：x(t)=sin(2π×50t+5π/4)，采样频率为1000Hz，采样点数为45。当AR 模型阶数为2 时，结果如图1a 所示。当AR 模型阶数为4 时，结果如图1b 所示。

从图1a 可以看出，由于Burg 算法检测到的谱峰位置与相位密切相关。故受到信号初始相位的影响，出现明显的谱峰偏移。图上检测到的谱峰为47Hz，与实际谱峰的偏差为3Hz。偏移程度较大。加窗Burg 算法通过对预测误差平均功率进行加窗处理，从而降低了谱峰偏移程度。汉明窗Burg 算法和最优窗Burg 算法检测的谱峰分别为49.5Hz 和50Hz，谱估计性能明显优于Burg 算法。而最优窗Burg 算法通过使平均频率误差方差最小化，从而使式（14）中的误差项达到最小，谱估计性能比汉明 窗Burg 算法进一步提高。

图1 功率谱估计结果比较 Fig.1 Comparison of the results of power spectral estimation

从图1b 可以看出，当AR 模型阶数增大为4 时，原Burg 算法出现明显的谱线分裂，检测到40Hz 和48.5Hz 两个谱峰，而汉明窗Burg 算法和最优窗Burg算法均检测到一个谱峰，说明加窗可以有效抑制谱线分裂。但汉明窗Burg 算法检测到的谱峰为49Hz。频率偏差为1Hz，而最优窗Burg 算法检测到的谱峰为50Hz。说明加最优窗不仅可以抑制谱线分裂，而且可以最大程度减少谱峰偏移。

5.2 多个谐波和间谐波分量检测

设信号除基波（50Hz）外还含有1.3、3、5、5.2、7、9 次谐波分量。幅值分别为基波的7%、4%、1.3%、2%、1%、0.3%，相位分别为π/8、π/4、π/8、π/7、π/4、0，基波相位为π/3。信号的采样频率为1000Hz，采样点数N 为51。AR 模型预估阶数为20，信号中加入了60dB 的高斯白噪声，采用最优窗Burg算法与FFT 算法得到的结果如图2 所示。

图2 功率谱估计结果 Fig.2 The results of power spectral estimation

从图2b 可以看出，图上共有4 个谱峰，分别在基波、3 次谐波、5 次谐波和7 次谐波附近。9 次谐波幅值较低，在非同步采样的情况下，受到频谱泄漏的影响从而检测不到。由于观测窗较短，频率分辨率较低，导致基波和1.3 次谐波，5 次谐波和5.2次谐波无法区分开来。3 次谐波和7 次谐波虽然可以检测出来，但检测到的频率为 156.8627Hz、352.9412Hz，与实际频率偏差较大。从图2a 可以看出，最优窗Burg 算法可以检测到频率为50、64.5、150、249.5、260.5、350、450.5Hz 的7 个谱峰，所有谐波和间谐波分量都被检测出来。与实际谱峰相比，平均频率偏差仅为0.2857Hz，检测结果较为精确，谱估计性能明显优于FFT。

6 结论

本文提出了最优窗Burg 算法的间谐波谱估计方法。仿真结果表明，对于较短的间谐波信号，采用该算法可以精确检测出各次谐波和间谐波的频率信息，谱估计性能较好。与Burg 算法相比，加窗Burg 算法可以有效降低谱峰偏移程度、抑制谱线分裂。而选择最优窗获得的谱估计效果要优于汉明窗。因最优窗Burg 算法利用了Levinson 递推，计算效率高，相对于各种特征值算法，更有利于硬件实现。

[1] 林海雪.电力系统中的间谐波问题[J].供用电,2001,18(3):6-9.

Lin Haixue.Interharmonics in electrical power system[J].Distribution and Utilization,2001,18(3):6-9.

[2] 庞浩,李东霞,俎云霄,等.应用 FFT 进行电力系统谐波分析的改进算法[J].中国电机工程学报,2003,23(6):50-54.

Pang Hao,Li Dongxia,Zu Yunxiao,et al.An improved algorithm for harmonic analysis of power system using FFT technique[J].Proceedings of the CSEE,2003,23(6):50-54.

[3] 祁才君,王小海.基于插值FFT 算法的间谐波参数估计[J].电工技术学报,2003,18(1):92-95.

Qi Caijun,Wang Xiaohai.Interharmonics estimation based on interpolation FFT algorithm[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2003,18(1):92-95.

[4] 王志群,朱守真,周双喜.基于Pisarenko 谐波分解的间谐波估算方法[J].电网技术,2004,28(15):72-77.

Wang Zhiqun,Zhu Shouzhen,Zhou Shuangxi.Inter-harmonics estimation by Pisarenko harmonic decomposition method[J].Power System Technology,2004,28(15):72-77.

[5] 高培生,谷湘文,吴为麟.基于空间谱和支持向量回归机的间谐波分析[J].电力系统自动化,2007,31(24):67-70.

Gao Peisheng,Gu Xiangwen,Wu Weilin.Interharmonic analysis based on spatial spectrum and support vector regression machine[J].Automation of Electric Power Systems,2007,31(24):67-70.

[6] 沈睿佼,杨洪耕.基于特征空间求根法的非整数次谐波估计方法[J].中国电机工程学报,2006,26(24):72-76.

Shen Ruijiao,Yang Honggeng.A new method for non-integer harmonics measurement based on root-eigenspace method[J].Proceedings of the CSEE,2006,26(24):72-76.

[7] 金国彬,李玲,李天云,等.间谐波高精度检测新方法[J].电力系统及其自动化学报,2009,21(2):25-30.

Jin Guobin,Li Ling,Li Tianyun,et al.Novel method of high-accuracy detection for interharmonics[J].Proceedings of the CSU-EPSA,2009,21(2):25-30.

[8] 李晶,裴亮,郁道银,等.一种用于电力系统谐波与间谐波分析的超分辨率算法[J].中国电机工程学报,2006,26(15):35-39.

Li Jing,Pei Liang,Yu Daoyin,et al.A super- resolution algorithm for harmonic and inter-harmonic analysis in power system[J].Proceedings of the CSEE,2006,26(15):35-39.

[9] 任震,黄群古,黄雯莹,等.基于多频带小波变换的电力系统谐波分析新方法[J].中国电机工程学报,2000,20(12):38-41.

Ren Zhen,Huang Qungu,Huang Wenying,et al.New methods of power system harmonics analysis based on wavelet transform with multi frequency band[J].Proceedings of the CSEE,2000,20(12):38-41.

[10] 薛蕙,杨仁刚.基于连续小波变换的非整数次谐波测量方法[J].电力系统自动化,2003,27(5):49-53.

Xue Hui,Yang Rengang.A novel method for non-integer hamonics measurement using continuous wavelet transform[J].Automation of Electric Power Systems,2003,27(5):49-53.

[11] 张宇辉,金国彬,李天云.基于自适应最优核时频分布理论的间谐波分析新方法[J].中国电机工程学报,2006,26(18):84-89.

Zhang Yuhui,Jin Guobin,Li Tianyun.A novel approach to interharmonics analysis based on adaptive optimal kernel time-frequency distribution[J].Proceedings of the CSEE,2006,26(18):84-89.

[12] 蔡忠法,陈隆道.基于AR 谱估计和Adaline 神经元的间谐波分析[J].电力系统自动化,2007,31(17):78-82.

Cai Zhongfa,Chen Longdao.Inter-harmonic analysis based on AR spectral estimation and Adaline neural network[J].Automation of Electric Power Systems,2007,31(17):78-82.

[13] 马秉伟,刘会金,周莉,等.一种基于自回归模型的间谐波谱估计的改进算法[J].中国电机工程学报,2005,25(15):79-83.

Ma Bingwei,Liu Huijin,Zhou Li,et al.An improved algorithm of interharmonics spectral estimation based on AR mode[J].Proceedings of the CSEE,2005,25(15):79-83.

[14] Marple L.A new autoregressive spectrum analysis algorithm[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,1980,ASSP-28(4):441-454.

[15] Swingler D N.A modified Burg algorithm for maximum entropy spectral analysis[J].Proc.IEEE,1979,67(9):1368-1369.

[16] Kaveh M,Lippert G.An optimum tapered Burg algorithm for linear prediction and spectral analysis[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,1983,ASSP-31(2):438-444.

[17] 张贤达.现代信号处理[M].2 版.北京:清华大学出版社,1999.

[18] Proakis J G.统计信号处理算法[M].汤俊,译.北京:清华大学出版社,2006.

[19] 皇甫堪,陈建文,楼生强.现代数字信号处理[M].北京:电子工业出版社,2003.