Gleason弧齿锥齿轮三维数字化设计及其在汽车差速器中的应用

齐从谦，甘 屹

QI Cong-qian1，GAN Yi2

（1.上海师范大学 天华学院，上海 201815；2.上海理工大学 机械工程学院，上海 200093）

0 引言

齿轮是机械产品中最常用的零件之一，齿轮传动是靠主动齿轮的轮齿侧边依次拨动从动齿轮侧边来传递运动和动力的，一对标准圆柱齿轮的啮合传动如图1所示。齿轮机构可以传递空间任意轴间的运动和动力，且具有传动平稳、可靠，使用范围广（传递速度和规律的范围大），使用寿命长等特点，故广泛应用于机械传动中。

图1 一对齿轮的啮合关系及基本参数

广义的齿轮机构除了标准圆柱齿轮（外啮合或内啮合）之外，还有齿轮齿条、斜齿轮、人字齿轮（以上为平面齿轮机构）和用于空间齿轮机构的直齿、斜齿锥齿轮，蜗轮、蜗杆及准双曲面齿轮、格利森圆弧齿轮等。

由于锥齿轮的设计参数之间的关系比较复杂，目前业界（尤其是在众多的出版物中）在运用三维CAD软件进行锥齿轮设计的思路与方法中，存在的错误和不规范之处。本文将分析直齿锥齿轮、弧齿锥齿轮的工作原理和建模理论基础；以Gleason弧齿锥齿轮为例介绍此类齿轮的三维数字化设计的方法及其在Pro/E野火环境下的实现过程，从而纠正在锥齿轮设计中存在的错误和不规范之处，帮助广大CAD用户走出齿轮三维设计误区。

1 锥齿轮工作原理及建模基础

1.1 标准圆柱直齿轮的齿廓曲面

齿轮传动具有传动精度高、传动平稳等特点。因为齿轮的齿廓是由渐开线曲面构成的，渐开线轮齿侧边之间无滑动的啮合是实现高精度和平稳传动的关键。

一对标准圆柱齿轮的啮合关系及其基本参数如图1所示。其中模数m、齿数Z、分度圆直径d、齿形角（或分度圆压力角）α是齿轮的主参数。

根据机械原理，当图2中的直线B-B由虚线位置沿一圆周作纯滚动时，其上任一点K在平面上的轨迹K0K，称为该圆的渐开线，这个圆称为基圆。图2中各参数的几何意义如下：

1）θk角为K0K段渐开线的展角

2）rk为渐开线的矢径

3）αk为压力角

4）rb为基圆的半径：rb=d/2*cosα （1）

式（1）中，d为齿轮分度圆的直径，α为分度圆压力角。

由渐开线的生成规律，很容易得到极座标下的rk和θk与压力角αk之间的函数关系如式（2）所示，这里，θk是压力角αk的函数，在机械原理中称其为渐开线函数或Involute函数。注意：式中αk的单位可以是角度或弧度，但tan（αk）的值一定是弧度，因此在具体计算过程中，须将其转为角度量，才能与αk相减，所得到的差是角度量，这是PRO/E所默认的单位，而且式（2）所表达的函数关系恰恰与PRO/E所提供的“用柱坐标来构建方程”相一致。式（3）为笛卡尔坐标下的表达式。

图2 齿轮渐开线生成原理及计算方法

式（2）与式（3）在数学上是等价的，但显然，式（2）在形式上更简洁，其几何意义更为清晰。遗憾的是几乎95%以上的三维建模人员及有关出版物（PRO/E、UG等）都在使用笛卡尔坐标系下的式（3）所描述的表达式来创建渐开线。这是误区之一。

1.2 锥齿轮三维设计的理论基础

直齿锥齿轮是锥齿轮中最简单的，因此要研究锥齿轮的数字化建模，首先要从直齿锥齿轮谈起。直齿锥齿轮主要用于垂直相交的两轴之间的传动。一对标准直齿锥齿轮传动时，两轮的分度圆锥与各自的节圆锥重合。由于锥齿轮的轮齿分布在锥面上，所以轮齿的一端大，另一端小，沿齿宽方向上的轮齿大小均不相同，故轮齿全长上的模数、齿高、齿宽等都不相同。所以锥齿轮齿廓的模型不能像标准圆柱直齿轮那样简单地采用拉伸来创建。但其齿形仍是以标准圆柱直齿轮的渐开线齿形轮廓为基础来设计的。

图3所示为一对锥齿轮啮合的剖面图，作圆锥O1C1C和O2C2C使之分别在两轮节圆锥处与两轮的大端锥面相切，切点分别为C1、C和C2。则这两个圆锥称为背锥。将两轮的球面渐开线ab和ef分别投影到各自的背锥上，得到在背锥上的渐开线a'b'和e'f'，由该图可知投影出来的齿形与原齿形非常相似且接近，因此可以用背锥上的齿形代替圆锥齿轮的球面渐开线。然而绝大多数齿轮设计人员不明白这个道理。有些CAD设计人员竟然在锥台的顶面和底面上构建齿廓截面，然后采用“混合、减料”形成齿槽。这是误区之二。

2 直齿锥齿轮三维设计

根据上述分析，我们可以获得直齿圆锥齿轮的建模方案：即把一对标准直齿锥齿轮传动看成是在大端面的背锥上的一对当量齿轮在传动，并规定大端面的参数为直齿圆锥齿轮的标准参数，其基本尺寸计算也在大端面上进行。仍然遗憾的是：不少齿轮设计人员不知晓当量齿轮的概念。这是误区之三。

当量齿轮是这样定义的：将背锥展开成平面后，可以得到两个扇形齿轮（如图3所示），其齿数为锥齿轮的齿数z，将扇形的缺口补全（齿数增加）使之成为完整的圆柱齿轮，这个齿轮称为锥齿轮的当量齿轮，其齿形近似于直齿圆锥齿轮大端面的齿形。当量齿轮的分度圆半径rv等于背锥锥距：rv=r/cosδ；锥齿轮当量齿轮的齿数为：zv= z/cosδ（δ为分度圆锥角），显然，当量齿轮的齿数往往是一个实型数而非整数。这样，就可以像处理标准圆柱齿轮那样分别在锥齿轮的大端面和小端面上创建渐开线齿廓截面，然后采用“扫描混合”方法生成锥齿轮的齿槽。

图3 锥齿轮啮合原理及当量齿轮

由式（2）很容易得到柱坐标系下当量齿轮渐开线创建方法：在图4a的记事本中使用的是圆锥齿轮大端当量齿轮的参数，如齿数为52.303，α= t*50，即式（2）中的αk。所得到的渐开线如图4a所示。

由所创建的渐开线可以绘制大端当量齿轮齿槽截面和小端当量齿轮齿槽截面如图4 b所示。

进而采用“混合”操作创建锥面齿槽，阵列后获得直齿锥齿轮全部齿廓如图5所示。

图4 创建当量齿轮的渐开线和大端、小端齿槽截面

图5 “混合”操作获得齿槽实体并阵列生成全部齿廓

3 Gleason弧齿锥齿轮的三维设计

弧齿锥齿轮传动平稳，噪声低，承载能力高于直齿锥齿轮；便于控制和调整齿面接触区，且对误差和变形不太敏感，常用于圆周速度υ＞5m/s的相交轴（通常为90°）之间的动力和运动传动，具有传递扭矩大、传递运动精确、可靠性高的特点。由于其承载能力大、传动平稳、噪声小、结构紧凑等优点，是航空（发动机）、造船（发动机）、汽车（差速器）、能源、装备、国防等部门产品的关键零件，因此弧齿锥齿轮生产在现代化机械制造业中占有十分重要的地位。

图6 弧齿锥齿轮的齿形与主要设计参数

弧齿锥齿轮的齿形如图6a所示，它是一种节锥齿线为曲线的锥齿轮，其齿形是齿廓曲线沿分度圆锥面上的一条螺旋线扫描而形成的。该螺旋线过分度圆锥面齿线上任一点的切线与分度圆锥母线之间的夹角称为螺旋角β，在设计和制造时，通常把这一点设置在分度圆锥面齿宽中点处，因此，又称其为齿宽中点螺旋线；螺旋的方向按下面的方法确定：面对齿轮顶锥面，自齿宽中点到大端，齿线的旋向为顺时针方向为右旋齿轮，齿线的旋向为逆时针方向为左旋齿轮。一对相互啮合的螺旋弧齿锥齿轮的螺旋方向按主动轮转向确定，若主动轮为右旋，则被动轮必为左旋，反之亦然。

美国Gleason公司（格利森）是生产弧齿锥齿轮铣齿机的著名厂家，它制定了“格利森制”的弧齿锥齿轮标准。“格利森制”弧齿锥齿轮的几何设计、强度计算和切齿调整计算法被各国广泛采用。我国目前尚未制定弧齿锥齿轮的基本齿廓标准，国内有关生产企业多沿用“格利森制”。本文所设计的格利森制弧齿锥齿轮的主要参数如下（如图6b所示）。

1）齿数：Zn= 46

2）法向压力角：α=20°

3）大端端面模数：mt=5mm

4）齿宽中点螺旋角：β=35°，螺旋方向：右旋

5）大端分度圆直径：d = mt×Zn= 230mm

6）分度圆锥角δ=71.9395°

7）齿顶圆锥角：δa=73.5720°

8）齿根圆锥角：δf=68.6592°

9）锥距：R= mt×Zn/sinδ/2 =120.9597mm

10）齿宽：取b = 0.25R = 30mm（取整）

11）当量齿轮齿数：Zgv= Zn/cos（δ）= 148.3770

12）大端当量齿轮分度圆直径：dgv= mt×Zgv= 741.885 mm

13）大端当量齿轮基圆直径：dgb= dgv×cos（αt）

14）齿顶高系数：c*= 0.85

15）顶隙系数：h* = 0.188（等顶隙收缩齿）

16）当量齿轮端面压力角：αt=arctan（tan（α）/cos（β））= 23.9568°

17）大端当量齿轮齿顶圆直径：dga= dgv+2×mt×c*=750.385mm

18）大端当量齿轮齿根圆直径：dgf= dgv-2×mt×（1+h*）= 730.005 mm

19）小端端面模数：mm= mt×（R-b）/R= 3.7186mm（取b = 31进行计算）

20）小端当量齿轮分度圆直径：dsv= mm×Zgv= 551.7547 mm

21）小端当量齿轮齿顶圆直径：dsa= dsv+2× mm×c*= 558.0763mm

22）小端当量齿轮齿根圆直径：dsf= dsv-2× mm×（1+h*）= 542.9193 mm

弧齿锥齿轮的设计与直齿锥齿轮的设计方法相似，也须从当量齿轮做起。不同之处是弧齿锥齿轮的大小端齿槽截面的位置与齿宽中点螺旋线有关；在记事本中描述渐开线的柱坐标方程时须用当量齿轮端面压力角23.9568°代替标准压力角20°。按照上述参数设计的弧齿锥齿轮大、小端齿槽截面如图7所示。

图7 大端、小端齿槽截面

然后使用Pro/E中的“扫描混合”功能生成一个齿槽，再进行阵列处理即获得图8所示的Gleason弧齿锥齿轮。

图8 创建弧齿锥齿轮齿槽及格利森齿轮的三维实体模型

4 Gleason弧齿锥齿轮在汽车差速器中的应用

Gleason弧齿锥齿轮的典型应用是在汽车差速器中的应用。在汽车差速器中采用一对Gleason弧齿锥齿轮进行啮合，能使齿轮传动获得比较高的重叠系数，从而提升差速器的承载能力和传动的平稳性，还能有效地降低噪声小，而且结构紧凑。

采用Pro/E中的装配功能和运动仿真功能可分别获得汽车差速器三维装配数字化模型（如图9所示）及运动仿真效果。

图9 由直齿锥齿轮和Gleason弧齿锥齿轮组装的汽车差速器数字化三维模型

[1]齐从谦,甘屹,张洪兴.Pro/ENGINEER野火2.0特征与三维实体建模[M].机械工业出版社,2006.

[2]齐从谦,甘屹.UGS NX 5中文版CAD/CAE/CAM实用教程[M].机械工业出版社,2008.

[3]齐从谦,贾伟新.支持变型设计的装配模型建模方法研究[J].机械工程学报,2004,40（1）：38-42.

[4]齐从谦,崔琼瑶.基于参数化技术的CAD创新设计方法的研究[J].机械设计与研究,2002,18（5）：13-15.

[4]齐从谦,崔琼瑶.基于参数化技术的CAD创新设计[J].中国机械工程,2002,13（4）：17-19.

[5]林忠钦,等.机械设计手册[M].机械工业出版社,2006.

[6]邹慧君,张春林,李杞仪.机械原理[M].北京：高等教育出版社,2006.

[6]朱龙根.简明机械零件设计手册[M].北京：机械工业出版社,2005.