用奇异函数建立变参数连续梁挠度统一方程的新方法

曾纪鹏

(华信邮电咨询设计研究院有限公司，浙江杭州310014)

我们通常把δ函数及其各阶导数和各阶积分的函数族称为“奇异函数”，在式子中采用麦考利(W．H．Macauley)＜＞括号来表示［1］，奇异函数的最大优越性是在处理不连续问题(例如荷载、构件截面参数等)。以往的方法在处理不连续问题时，需要在间断处分段，在每一段分别处理，然后在交接处通过边界条件来求解，这样求解的方法导致变量很多，计算过程复杂。而利用奇异函数来求解，不需要分段分别处理，可以列一个计算式子来统一表达，从而使问题能够完整地、简单地表述，在求解上也能够得到很大的简化，并且利于编制程序实现电算化。

奇异函数于20世纪60年代开始在力学、振动问题中得到应用，而在我国，奇异函数于20世纪70年代末80年代初才得到广泛地介绍，在力学领域的更广泛的介绍和研究则是最近十多年来的探讨的课题。我国在进入20世纪90年代后，一些学者把奇异函数用于力学问题的求解，发表了一些学术论文，但论文数量仍然极少，把奇异函数更加深入地用于力学和结构分析中还有待于进一步研究。

在结构的分析计算中，必须求解连续梁的内力，以往的方法是要在不同荷载、截面变参数处分段，在不同段分别建立挠度方程，再联立相邻段的位移边界条件来求解，整个过程烦琐，边界条件多。本文利用奇异函数，不再进行分段求解，而是在全长范围内统一建立挠度微分方程，从而使计算大为简化。

1 奇异函数的定义

奇异函数是指δ函数及其各阶导数和各阶积分的函数族，可以用以下式子表达［1］:

当n=0时称为单位阶跃函数，n=－1时称为δ函数，它的基本微分、积分公式为:

微分公式:

2 用奇异函数表示集中量和分布量

(1)作用于x=xi的集中力Fi(见图1a):

我们可以把集中力Fi视为当h=(x－xi)→0时的分布力:

(2)作用于x=xi的集中力偶Mi(见图1b):

(3)作用于区间(xi，xi+1)的分布集度为qi+1的分段横向均布线荷载(见图1c):

(4)阶形变化量(见图1d):

设在x=xi处构件的截面尺寸或材料性质发生变化(例如梁的抗弯刚度EI)，其改变量为C，利用单位阶跃函数，可以写出连续函数的形式［2］，表示为:

对受弯构件，假设它的抗弯刚度EI沿整个构件长度方向发生阶形变化，截面抗弯刚度EI变化k次，令第t次的抗弯刚度的倒数(即柔度)的改变量为βt，称为变柔度系数［2、3］，则有:

图1 荷载的线分布集度函数

其中，当t=1时，有βt=，再令=0。

由式(8)可以写出受弯构件的变参数(抗弯刚度表现为EI发生改变)对构件的影响:

3 用奇异函数表示结构中连续梁、板的受力

图2 计算简图

设有一根连续梁、板，计算简图如图2。假设其上每跨受到均布线荷载，并且每跨上无集中力和集中力偶作用，截面有变参数表示为EI。再考虑到结构中连续梁还要对活荷载进行不利布置，在进行活荷载不利内力组合时，可在本文计算式中取相应情况下的跨的线荷载集度为零或不为零即可。

由微分关系式:

对式(11)利用式(4)积分可得弯矩方程:

由梁的挠曲线方程:EIy″(x)=－M(x)，这里EI不再是常数，引入式(10)，可得:

4 两个奇异函数连乘的简化公式的推导

由式(14)可看出，方程是由两个奇异函数乘积之后再求和的函数。为了简化便于积分，我们由奇异函数的定义式(1)和单位阶跃函数的基本运算规则，可以通过运算把分别具有下标t和i的两个奇异函数进一步简化，表示为只具有一个下标s的奇异函数［2］，即:

其中:

其中:

现在我们可以把式(15)～式(17)代入式(14)，得:

其中:

从式(18)可以看出，对变参数构件，变参数的影响通过系数βt和构件上变参数的位置来体现，当EI为常数时，只需取k=1即可。

当利用式(18)求解时，假设式中的作用荷载qi(i=1，2，…i，…n)和截面参数EI的变化为已知，而支座反力Ri(i=0，1，2，…i，…n)为未知，可以参照文献［4］的方法进行求解，具体求解过程，读者可参见文献［4］。当求解出所有的支座反力之后，我们可以对式(18)进行积分，再利用式(12)即可求解出各处截面的剪力Q(xi)和弯矩M(xi)，画出相应的剪力图和弯矩图。

5 结论

本文利用奇异函数的理论，对变参数连续梁的挠曲线方程进行了推导，建立了连续梁挠曲线的统一方程，它克服了原来对变参数问题要进行分段求解的不足，并且它的求解过程规整，有利于编制程序实现电算化，为这类问题提供了新的思路和方法。奇异函数在力学领域中具有广泛的应用前景，把奇异函数更加深入地用于力学和结构分析还有待于做进一步的研究。

［1］王燮山．奇异函数在力学中的应用［M］．科学出版社，1993

［2］徐彬．高层建筑结构分析的奇异函数方法［D］．华南理工大学，2000

［3］徐彬．奇异函数建立高层结构分析模型的方法及应用［J］．昆明理工大学学报，2000，25(6):106－109

［4］刘念超．奇异函数解几种超静定结构［J］．长沙交通学院学报，1998，14(2):20－25

［5］荆振华．奇异函数在材料力学中的应用［J］．辽宁省交通高等专科学校学报，1997，5(1):52－58