梁桥固有特性测试方法

陈建立

(四川建筑职业技术学院，四川德阳618000)

振动实验模态分析技术的发展为桥梁结构的安全检测开辟了新的途径。基于振动模态分析的技术就是通过振动测试、数据采集、信号分析与处理，根据结构系统的动力特性来反推结构的质量、刚度、阻尼等物理特性。结构存在损伤，必然引起其物理参数的变化，从而导致模态参数的改变，通过检测结构模态参数就可以实现对其损伤的检测［1］。

1 模态测试方法

模态分析的经典定义是［2］:将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标转换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。模态分析的最终目标是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化和设计提供依据。

1.1 模态综合法

模态综合法［3］是计算大型复杂结构动态参数十分有效的方法。其实质是把一个高阶数的特征值问题转化成若干低阶数的特征值问题。

对一般的动力分析问题，经过各子结构的模态综合后的动力方程为

式中:［M］*、［K］*、［C］*和［R］*分别是经模态综合后系统模态质量、模态刚度、模态阻尼和激振力。方程的阶数等于所选取的全部保留模态的总数减去对接自由度。上述分析可以推广到多个子结构组成的结构系统中。

模态综合理论现已广泛应用于航天航空和各种大型工程领域。在模态综合法中，固定界面法［4］和自由界面法［5］是应用较广的两种模态综合法。它们在解决复杂结构的动态分析中有较高的效率和精度，但也存在着许多不足之处。为了改善，出现了一种更有效的计算方法，即混合界面模态综合法［6］。它采用混合的交界面和混合的子结构位移模态，把子结构的节点位移视为相对于对接界面约束节点的弹性变形和伴随结束节点的牵连运动位移之和，推导出最后的综合方程，该方法方程数少、计算量小，但精度较高。

1.2 复模态法

当阻尼不是比例阻尼，不满足阻尼正交性条件时，实模态法不能将阻尼矩阵对角化，而复模态法，很好地解决了此类问题。它为不满足阻尼正交性条件的一般粘性阻尼线性多自由度体系，在状态空间内提供了使运动方程解耦的途径。

具有非比例阻尼的多自由度线性结构的运动方程为:

式(2)中，阻尼矩阵［珓c］不满足可对角化的条件，引入辅助方程:

将两式合并可得一阶微分方程:

式中:

式(2)与式(3)描述的是同一个系统的运动，所以二者具有公共的特征值。通过复模态变换可以得到系统的脉冲响应函数矩阵［h(t)］与频率响应函数矩阵［H(ω)］。

式中:［v］、［u］为左、右模态矩阵;{vi}、{ui}为左、右特征向量;pi为系统特征值;m*i为加权正交后模态质量。

复模态法是结构动力学计算的有力工具，可分析阻尼矩阵不满足实模态条件的一般阻尼结构的动力反应。它既能求解结构的自振特性，又能对结构的地震反应进行时程分析。复模态法可用于基于可靠度约束的抗风优化设计［7］和随机地震响应分析与优化设计［8］;在进行诸如考虑与地基相互作用的结构动力反应分析时，采用复模态方法也是一种很好的途径。

1.3 曲率模态法

曲率模态是弯结构的动特性的典型特征，可应用于梁及桥梁结构的损伤检测。对于一个梁结构，在有限元分析中用差分法可得:

式中:υi、yi分别为i点的某一阶曲率模态振型和位移模态振型;h为测点间距。

梁的弯曲变形和应变ε相对应，应变可表示为:

式中，h'为梁上测点距中性层的距离。上式表明，梁的曲率模态直接和应变模态相互联系。对于等截面梁，实测应变可以直接反映曲率变化;对于变截面梁，实测应变经过简单的数学处理也可以表征曲率变化。

通过检测某一阶曲率模态在正常状态下的变化来确定故障位置。

式中:υci、υdi分别为i点破坏前后的曲率模态。

对于多阶模态，可取各阶曲率模态差的均值用于指示损伤的发生，表示如下:

式中:Δυ'r为第i点处第r阶模态的损伤前后曲率模态差值;MSC(i)为i位置的曲率模态变化量，MSC(i)变化大的地方则可能是损伤的位置。

通过曲率模态曲线能够有效识别并定位结构的损伤，同时可以识别结构损伤程度，该方法具有识别率高，且无需结构损伤前的模态信息等优点，可以尝试应用于工程实际［9］。理论计算说明，对于桥梁结构，曲率模态差可以精确地识别出结构损伤的存在及其位置，且对于不同程度的损伤，曲率模态差所呈现的峰值也不同，损伤越大，峰值越明显，说明曲率模态可以识别出结构的损伤程度。

1.4 应变模态法

应变是位移的一阶导数，与位移模态相对应的应变分布状态称为应变模态。应变模态反映了结构的固有特征。由结构动力学理论可知，连续体梁式结构的位移响应为:

式中:φr称为位移模态振型;F为激振力。

按照梁的弯曲理论，应变是位移的一阶导数，故应变响应εx为:

在三维几何空间中，三个方向的位移向量为［u v ω］T，根据弹性力学原理，当仅考虑正应变时，其应变为:

写成矩阵形式即为:

应变模态可由试验直接测量得到，也可由弯曲位移模态间接得到，即在位移模态测量的基础上，由差分计算可以得到应变模态。通过对比桥梁损伤前后应变模态的变化可以判断出桥梁结构是否存在损伤以及损伤的位置。

应变模态分析法对结构系统进行损伤诊断监测是非常有效，对低固有频率的结构效果更佳。此方法还需在理论和试验中进行更加深入、全面的研究才能在实际工程结构损伤诊断监测得到应用。文献［10］从理论上对应变模态的原理、应变模态参数识别进行一定的研究探讨，并阐明了应变模态参数的识别方法。文献［11］用应变模态方法对刚架桥损伤识别进行了数值仿真计算。该方法可以对桥梁损伤进行在线监测，即时发现问题，这对避免桥梁事故的发生、保证桥梁的安全运行有着重要意义。

1.5 几种方法的比较

这些方法都是通过分析结构动力学参数的改变对结构进行安全检测，发现结构损伤的存在，进而采取安全措施，以避免事故发生。

模态综合法适用于计算大型复杂结构动态参数;复模态法用于不满足阻尼正交性的一般粘性阻尼线性多自由度体系，提供了使运动方程解耦的途径;曲率模态差可以精确地识别出结构损伤的存在及其位置;应变模态可由试验直接测量得到，对结构系统进行损伤诊断监测很有效。

2 梁桥的固有特性的解析方法

以无荷载或者带有均布静荷载的等截面简支梁式桥为例，桥梁计算模型可以看成是一个连续的均布质量弹性系统，如图1所示。

图1 简支梁桥模型

得其固有振动的基本方程为

令y(x，t)=Y(x)F(t)，因振型Y(x)与时间无关，是系统固有的，代入式(14)，分离变量得

得二个独立的线性齐次常微分方程组

解式(16)得

解式(17)得

根据简支梁边界条件:由Y(0)=Y″(0)=0和Y(l)=Y″(l)=0，得A=B=C=0、kl=nπ(n=1，2，3…)。满足边界条件的振型可写成

与Yn(x)相对应的固有频率为

其中，第一阶频率有着重要的工程意义。

3 简支梁桥模态测试

采用东方振动和噪声技术研究所研制的简支梁桥模态测试装置，如图2所示。梁长680 mm，宽50 mm，高8 mm。采用多点敲击、单点响应方法激励竖向振动模态，应用复模态法求得梁的模态参数(固有特性)，并与无阻尼简支梁桥固有特性解析解进行比较，结果见表1。

图2 简支梁桥模态测试示意图

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从表1看出，第一阶频率实测值与解析解相差很小;第二、三阶频率实测值与解析解相差稍大，主要原因是实测中存在阻尼，符合实际情况。可知，复模态理论应用于梁桥固有特性测试是可行的。由大量文献可知，文中介绍的其他模态测试理论应用梁桥固有特性测试也有很大的应用价值，为梁桥(单跨或多跨)固有特性工程实测提供了理论基础。

4 结束语

对既有桥梁的振动进行科学分析是目前我国桥梁工程界较难和急待解决的问题。鉴于这种现状，本文总结了模态分析技术的概念、发展及应用于桥梁等结构的安全检测情况;对近几年提出的几种模态测试方法的理论及在实际工程中的应用价值进行了重点阐述;分析了简支梁桥的固有特性测试的解析方法。为梁桥固有特性工程实测提供了理论上的准备。

［1］C．A．PPadaoPoulos，A．D．Dimarogonas．Couple Longitudinal and Bending Vibration of a Cracked Shaft．Journal of Vibartion，eousties，Stress，and Reliability in Design，1988(110)

［2］傅志方．模态分析与参数辨识［M］．北京:机械工业出版社，1995

［3］王文亮，杜作润．结构振动与动态子结构方法［M］．上海:复旦大学出版社，1985

［4］巨建民，徐恩彤．固定界面子结构模态综合法再研究［J］．大连铁道学院学报，1999，20(3):8－11

［5］王艾伦，赵振宇，仇勇．自由界面模态综合法的研究及应用［J］．湘潭大学自然科学学报，2002，24(4):60－64

［6］高洪芬，沈孝芹．混合界面模态综合法在滞后阻尼结构中的应用［J］．山东建筑工程学院学报，2004，19(4):59－64

［7］李暾，李创第，黄天立．带TLD控制结构随机风振响应分析的复模态法［J］．兰州理工大学学报，2007，33(2):116－119

［8］李创第，黄天立，李暾，等．带TMD结构随机地震响应分析的复模态法［J］．振动与冲击，2003，22(1):36－39，46

［9］李德葆，陆秋海，秦权．承弯结构的曲率模态分析［J］．清华大学学报(自然科学版)，2002，42(2):224－227

［10］顾培英，陈厚群，李同春，等．基于应变模态差分原理的直接定位损伤指标法［J］．振动与冲击，2006，25(4):13－18

［11］杜思义，陈淮．基于应变模态法识别刚架桥梁的损伤［J］．世界地震工程，2003，19(2):112－115