柯西不等式的妙用

441000 湖北省襄阳市一中 王 勇 周雪丽

柯西不等式的妙用

441000 湖北省襄阳市一中 王 勇 周雪丽

以上不等式就是选修 4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式(简记为“方和积不小于积和方”),其应用十分广泛和灵活,掌握它,对证明不等式、求函数的最值、解方程(组)、求参数的取值范围、求代数式的值、实现有效传接等都是大有裨益的.

应用柯西不等式解题的关键是,根据式子本身特点,对照柯西不等式,通过巧分因式,合理地添项、拆项,灵活地变换结构等,构造两组实数,,…,,,,…,.下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.

1 利用柯西不等式证明不等式

∴原不等式成立.

点评 利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式适当地变形,这种变形往往要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能找到证题的突破口.

例 2 设 a,b,c均为正数,且 a+b+c=1,求证：

∴原不等式成立.

点评 利用柯西不等式证明其他不等式时,首先应转化为符合柯西不等式的基本形式,尔后再进行证明,体现了转化与化归思想.

例 4 若 n是不小于 2的正整数,试证：

分析 注意中间的一列数的代数和,其奇数项为正,偶数项为负,可进行恒等变形予以化简.

综上可知原不等式成立.

点评 本题先进行代数变形将问题转化,再两次灵活运用柯西不等式,从而达到证明不等式的目的.

2 利用柯西不等式求函数的最值

例 5 设 a,b,c均为正数,a+b+4c2=1,求+的最大值.

分析 关键是构造两组数使它符合柯西不等式的形式,另外还需注意等号成立的条件.

解析 因为 a,b,c均为正数,

由柯西不等式,有

例 6 如图 1所示,等腰直角三角形 A O B的一直角边为 1,在此三角形内任取点 P,过 P分别引三边的平行线,与各边围成以 P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值以及达到最小值时 P点的位置.

图1

分析 首先建立直角坐标系,然后建立三个三角形的面积和 S与 xP,yP的函数关系式,最后利用柯西不等式求最值.

图2

解析 分别取 O A,O B所在直线为 x轴,y轴建立如图

3 利用柯西不等式解方程(组)

点评 利用二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(a c+b d)2,取“=”号的充要条件是 a d=b c,因此,在解题时,对照柯西不等式,必须弄清要求的问题中哪些数或代数式分别相当于柯西不等式中的“否则容易出错.

例 8 在实数集内解方程组

分析 本题中两个方程含有三个未知数,不可能用一般方法求解,我们可以利用柯西不等式,将不等式中的等号成立转化为方程,从而使问题得到解决.

解析 将两方程左右两边分别相加并变形,得

由方程 2x+3y+z=13变形,得

于是由柯西不等式,得

注意到 2x+(3y+3)+(z+2)=18,∴2x=3y+3=z+2=6,

解得x=3,y=1,z=4.

4 利用柯西不等式求参数的取值范围

例 9 已知实数 a,b,c,d满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求 a的取值范围.

分析 分离参数 a,利用柯西不等式把方程化为关于参数 a的不等式,解不等式即可.

点评 如果 a≥f(x)恒成立,则 a≥[f(x)]max;如果a≤f(x)恒成立,则 a≤[f(x)]min.这是很重要的结论,必须切实掌握.

5 利用柯西不等式求代数式的值

例 12 已知 a,b∈R且 a2-2b2+b1-2a2=1,求 2a2+b2的值.

解析 由柯西不等式,得

6 利用柯西不等式实现有效传接

分析 (1)用柯西不等式证明;(2)可考虑直接用(1)的结论即可.

点评 本题先利用柯西不等式得到不等关系,再由柯西不等式中取等号的条件得到等量关系.

例 16 (1)设三个正实数 a,b,c满足(a2+b2+c2)2＞2(a4+b4+c4),求证：a,b,c一定是某一个三角形的三条边长;

分析 (1)是为(2)服务的,(2)是(1)的推广,所以把(2)中,…,中任何三个关系转化为(1)的条件即可.

证明 (1)由题意,得

(2)运用柯西不等式,得

20110321)