中考压轴题新走向——对建立以两多边形重叠面积为函数题型的解析

222513 江苏省连云港市灌南县新集中学 江宋标

在几何图形或平面直角坐标系的背景下，建立两个变量之间的函数关系式，是历年中考压轴题的热点题型，特别是由一几何图形的运动变化或平行移动，而与另一形状和位置固定的几何图形形成不同的重叠部分的图形，并建立以重叠面积为函数，以运动或平移的时间或距离为自变量的函数关系式又是中考中的重点题型之一.这种题型由于需要考生充分利用数形结合、分类讨论和函数思想，以及综合运用数学知识解决问题的能力，对学生的综合能力要求较高，所以各省市在中考中多以压轴题出现，也是近几年中考命题新的走向和亮点之一.本文试图通过对近几年部分省市有关此类中考压轴题的分类解析，以期达到帮助教师洞察其中的类型和规律，明晰其中所活用的数学知识和数学思想，以及在教学时需注意的问题.

1 以三角形与三角形重叠面积为函数

例1(2009年吉林)如图1所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°.从初始时刻开始，点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P，Q两点同时停止运动.设P，Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为0的三角形).解答下列问题：

图1

(1)点P，Q从出发到相遇所用时间是_____秒;

(2)点P，Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是_____秒;

(3)求y与x之间的函数关系式.

分析本题主要考查三角形面积公式、等边三角形、菱形和相似三角形、角平分线的相关知识.第(1)、(2)问比较简单，而第(3)问是本题的重点和难点.由于两质点P，Q的运动，而使△APQ的位置产生移动，进而与位置固定的△ABC的重叠图形产生位置上的不同.这就要求考生在菱形的背景下，能根据两质点运动变化的不同位置画出相应图形，运用分类讨论思想、数形结合思想、函数思想、综合运用数学知识解决问题.解决的关键是正确画出图形以及合理写出重叠图形的面积，即三角形面积的表达式，这是解决此类问题常用的有效方法之一.本题还多次运用了三角形的面积公式，即三角形的面积等于任意两边长与其夹角的正弦值的乘积的一半，应引起我们足够重视.

图2

解(1)6;(2)8;

(3)①当0≤x＜3时，如图2，

②当3≤x＜6时，

③当6≤x≤9时，设P3Q3与AC交于点O，如图2.

解法1过Q3作Q3E∥CB，则△CQ3E为等边三角形，

解法2如图3，过点O作OF⊥CP3于点F，OG⊥CQ3于点G，过点P3作P3H⊥DC，交DC的延长线于点H.

图3

2 以三角形与矩形重叠面积为函数

图4

(1)求△ABC的面积;

(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;

(3)若矩形DEFG从B点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围.

分析本题考查以一次函数为背景的图形的运动变化，第(1)，(2)问为一次函数的一般题目，结合点的坐标和矩形的性质，比较容易解决.在第(3)问中，由于矩形DEFG沿x轴的反方向的平移，而使其与位置固定的△ABC的重叠图形的形状和位置产生变化，这就需要考生能用运动变化和分类讨论的思想分析、解决问题.关键是考生能根据不同时刻下画出不同的重叠图形，再分情况进行重叠图形面积的分解.特别要注意，在求用移动时间t表示与重叠图形面积相关的线段的长时，运用到了相似三角形的性质定理和函数的有关知识.

∴A点坐标为(-4，0).

由 -2x+16=0，得x=8，∴B点坐标为(8，0)，

(2)∵点D在l1上且xD=xB=8，

又∵点E在l2上且yE=yD=8，

∴ -2xE+16=8，∴xE=4，∴E点坐标为(4，8)，

∴DE=8-4=4，EF=8.

(3)解法1当0≤t＜3时，如图5，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR(t=0时，为四边形CHFG).

过C作CM⊥AB于M，

则 Rt△RGB∽Rt△CMB，

图5

②当3≤t＜8时，如图6，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR.

图6

③当8≤t≤12时，如图7，矩形DEFG与△ABC重叠部分为△AGR.

图7

解法2①当0≤t＜3时，如图5，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR(t=0时，为四边形CHFG).

②当3≤t＜8时，如图6，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR.

③当8≤t≤12时，如图7，矩形DEFG与△ABC重叠部分为△AGR.

3 以三角形与正方形重叠面积为函数

图8

例3(2011年江苏淮安)如图 8，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E，F同时从点P出发，分别沿PA，PB以每秒1个单位长度的速度向点A，B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E，F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧.设E，F运动的时间为t/秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.

(1)当时t=1时，正方形EFGH的边长是_______.当t=3时，正方形EFGH的边长是_______.

(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式;

(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大?最大面积是多少?

分析本题综合考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理及正方形的性质等相关知识点.第(1)问的解决较为容易，第(2)问解决需考生用分类讨论和运动变化的思想观察并画出相应图形，关键是写出重叠部分图形面积的表达式.第(3)问主要考查二次函数最值的掌握情况，在解决了前两问的基础上较易解决.解决此类问题的关键在于观察重叠部分图形的变化情况以及求出重叠部分图形形状变化的临界时间.

(1)当时t=1 时，可得，EP=1，PF=1，EF=2 即为正方形EFGH的边长;

当t=3 时，PE=1，PF=3，即EF=4;

(3)当t=5时，面积最大.

图9

解 (1)当时t=1时，则PE=1，PF=1，

∴正方形EFGH的边长是2;

当t=3 时，PE=1，PF=3，

∴正方形EFGH的边长是4;

S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2;

S与t的函数关系式是

S与t的函数关系式是

(3)当t=5时，最大面积是

4 以三角形与直角梯形重叠面积为函数

图10

例4 (2011年福建龙岩)如图10，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合).把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y.

(1)求CD的长及∠1的度数;

(2)若点G恰好在BC上，求此时x的值;

(3)求y与x之间的函数关系式.并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?

分析第(1)问利用勾股定理及三角函数，容易求出线段CD的长和∠1的度数，第(2)问是动点E在线段CD上运动的特殊情况，考察学生对三角形全等及勾股定理知识的掌握情况，容易解决，第(3)主要考察学生的分类讨论和运动变化思想及二次函数的最值知识的掌握情况.解决问题的关键在于正确画出重叠部分的图形并写出其面积函数关系式.

解(1)CD=30°

(2)若点G恰好在BC上，

则有GE=DE=x，EC=

图11

①(1)当0≤x≤随着x的增大，面积增大，此时△DEF的面积就是重叠部分的面积，当x=时，达到最大值，为

图12

②当x＞2，△EFG就有一部分在梯形外，如图12，

通过以上四例的分类解析不难看出，解决有关以两多边形(如三角形和特殊的四边形)重叠面积为函数的题型的问题，关键是能运用分类讨论和数形结合的思想，在题设给定的几何或代数背景下，根据其一几何图形运动或平移后与形状和位置固定的几何图形在不同时刻下，正确画出相应的图形，并用适当的表达式表示出重叠图形的面积，从而用函数思想建立重叠面积与运动时间或平移距离之间的函数关系式.教师在平时的教学和综合复习时，要紧紧抓住此种题型的类型和解题特点及规律，教给学生解决此类问题的方法.唯有如此，学生在中考中遇到此类问题时才会有思路、有方法，在中考中立于不败之地.