基于非概率区间模型的可靠性分析与优化

韩志杰 王璋奇

华北电力大学,保定,071003

基于非概率区间模型的可靠性分析与优化

韩志杰 王璋奇

华北电力大学,保定,071003

根据影响目标零件结构参数变化因素以及材料性能参数的区间特性,采用可靠性分析技术与结构优化方法,对目标零件结构的控制参数、材料强度及载荷分布等参量的不确定性进行分析,通过对非概率区间可靠性进行分析,构造出结构失效概率度量的可靠性指标,结合区间约束的n维复形调优算法,获得了结构参数的最优结果。以钢坯吊具钳板为例,验证了该方法的实用性和有效性。该方法为基于可靠性的产品设计提供了新的途径。

非概率可靠性;区间模型;结构优化;可靠性指标;复形调优算法

0 引言

在产品的设计生产中,通常会遇到一些不确定性因素,导致设计的结果存在不确定性。工程中解决不确定性的常用方法是以随机统计分析为基础的概率理论。若样本的统计数据缺乏或者信息不完备,则概率理论就显得无能为力,加之概率论本身存在固有缺陷,即概率可靠性对概率模型参数很敏感,概率数据的微小误差可导致结构可靠性计算的较大误差[1],因此,为了弥补概率模型的不足,Ben-Haim[2]基于凸集模型,首次提出了非概率可靠性的概念。在此基础上,郭书祥等[3-4]分析了在结构设计中,非概率可靠性方法和概率可靠性方法在建模思想和结构优化方面两者的不同之处。基于非概率可靠性设计的概念,针对非概率可靠性指标,江涛等[5]证明了基于区间模型的非概率指标只能存在于标准化区间向量张成的凸域及其扩展空间中通过原点和凸域顶点的有限条超射线与标准化失效面的某个交点处,且利用一维数值方法搜索关于0对称的闭区间可提高优化效率;郭书祥等[6]则给出了非概率可靠性指标的三种求解方法:定义法、转化法和优化法。张新峰等[7]对比分析了区间非概率可靠性模型和凸集合非概率可靠性模型两种情况下的非概率可靠性指标,证明它们之间存在确定的函数关系,并揭示了其指标差异的本质。目前,关于非概率的研究主要是从定义出发,涉及可靠性指标的求解[8]以及模型之间的比较,而在基于非概率可靠性的优化方面[9-13],与现代优化方法相结合,进行基于可靠性的结构优化方面的研究较少见。本文利用非概率可靠性方法,把区间分析和结构优化算法相结合,对产品设计中不确定性因素进行分析,利用非概率区间可靠性方法,构造出用于度量产品结构失效概率的可靠性指标,并结合区间约束的n维复形调优算法,计算出产品结构的最优结果,最后以钳臂模型的结构优化为例,说明了此方法的有效性。

1 问题描述

机械产品结构设计中,需要处理和确定与几何尺寸、材料、功能、工艺等有关的多个参数和变量。在产品的结构可靠性方面,机械零部件的应力主要取决于载荷大小、作用位置和作用时间、断面的几何尺寸或特征、材料物理性质、工作条件等因素,因此,结构的应力可用多元函数表示:

式中,P为载荷(力、弯矩、扭矩等);A为断面几何尺寸(面积、抗弯或抗扭断面模数等);ρ为材料的物理性质(泊松比、弹性模量等);t为载荷作用时间;e为环境、温度等其他影响因素。

影响结构强度的因素也很多,如实际使用条件、工作环境和实际几何尺寸等,由于这些因素的不确定性,导致结构强度的真实值与实验所测值存在偏差,在实际计算中处理这些偏差的方法是对强度分布曲线进行一定的修正,以便使其符合真实情况。

在传统的机械设计中,通常将影响结构应力和强度的因素看成确定的变量,而在机械可靠性设计中,则需要将它们处理成不确定性变量。显然,在结构的可靠性设计中,对这些不确定性变量进行不确定性描述是十分重要的。

1.1 可靠性指标的建立

根据非概率可靠性理论[3],结构的非概率可靠性指标定义为:在标准化区间变量δ的扩展空间中按‖·‖∞度量的从坐标原点到失效面的最短距离,即对应于式(2)在扩展空间中的结构功能函数[4](或称为标准化失效面)和非概率可靠性指标分别为

按照一般的结构可靠性理论,标准化失效面为一超曲面,它将变量空间分为失效域 Ωf={X:G(X)≤0}和安全域Ωs={X:G(X)＞0}两部分。因此,对于式(4),当η＞1时,对∀xi∈ xIi(i=1,2,…,n)均有G(X)＞0,此时结构安全可靠;当η＜-1时,对 ∀xi均有G(X)＜0,此时结构必然失效;而当-1＜η＜1时,对 ∀xi∈ xIi(i=1,2,…,n)结构处于中间状态,则不能认为可靠。因而,η作为可靠程度的度量,其值越大结构越安全。

1.2 功能函数的非概率可靠性指标

1.2.1 线性功能函数非概率可靠性指标

对于功能函数为线性的结构来说,可以假定功能函数M=r-s,为了方便对功能函数进行求解,首先需对功能函数进行标准化处理。

对r={r1,r2,…,rm}和s={sm+1,sm+2,…,sn}做标准化变换:

对于功能函数是线性的情况,在式(6)中,已知第二个等号右边括号中的两项为常数项,那么前面两项中需使δri、δsj之间保持线性,可靠性指标η在标准化区间中可以表示为

1.2.2 非线性功能函数非概率可靠性指标

若结构功能函数M=G(X)为非线性,则它是n维参数空间上的非线性函数。不确定性变量的变化范围较小时,则可将功能函数在不确定性变量均值Xc处进行一阶泰勒展开并略去高阶小量,可得

由此,可借助区间数学中的区间扩张理论[14],获得结构功能函数M的上下界

与式(4)相似,可以计算得到非线性功能函数非概率可靠性指标的表达式为

2 结构优化设计

在机械结构优化设计中,通常以可靠性指标和某些设计指标(如功能函数)为约束,用另一种设计指标(如重量、体积)等来建立目标函数,建立优化模型,利用现代优化算法进行计算。

2.1 基于可靠性的优化模型

对于不确定性参数xi,如果没有足够的信息数据来描述其概率特征时,可采用区间凸集模型来描述不确定性:

其中,U(α)为函数空间中以α为半径的实体球,即集合U(α)的不确定性大小为α。

对于优化结构的目标函数W(X)(W为体积),其不确定性变量为区间凸模型时,基于非概率可靠性指标的结构优化问题可描述为

第一个约束为结构的可靠度约束,第二个约束为不确定性变量的区间约束。

2.2 n维复形调优算法

基于区间模型的非概率可靠性优化模型建立后,为了能够对结构进行可靠性优化,需要选择性能优良的优化算法。粒子群优化方法[11-12]是目前比较常用的方法,它在解空间中追随最优粒子的行为进行搜索,通过迭代搜寻最优解,但是这种优化方法是在全局内进行搜索,并且搜索速度取决于惯性因子ω,对于不确定性变量处于区间内变化的优化问题来说,这种算法显得效率不高。由于式(13)建立的优化模型的可靠性指标处于可靠性优化的目标函数或约束中,因此在优化过程中的每一步迭代都需要进行一次可靠性分析,从而使分析计算的工作量增大。为了能使可靠性优化在可接受的区域中,在保证计算精度的同时所选择的优化算法的计算速度显得尤为重要。基于此,本文选择了n维复形调优算法[15]来解决此优化问题。

复形共有2n个顶点,给定初时复形中的第一个顶点坐标为X(1)=(x0,0,x1,0,…,xn-1,0),且此顶点需满足式(13)中的两个约束。

根据本文所定义的目标函数和约束条件求解不确定性变量的极小值,其迭代过程如下:

(1)在n维空间中按照区间约束的条件随机选取初始复形的其余2n-1个顶点,计算顶点处的目标函数值:

(4)将上面确定的XR作为一个新的顶点替代原来的最坏点XH,构成新的复形。重复步骤(2)～(4),直到复形中各顶点距离小于预先给定的精度要求为止。

3 实例分析

3.1 钳臂的力学模型

在钢坯吊具设计过程中,为了达到自由夹取工件并合理利用材料的目的,钢坯吊具的钳臂采用钢板组合,当整体处于平衡状态时,要求钳臂满足强度要求。图1为钳臂模型及受力简图。

图1 钳臂模型及受力简图

已知钳臂受拉力F=104N,O点处的圆孔直径d=80mm,影响整体性能的不确定性变量为L、D、H、r,其中 L为拉力F的力臂,其初始值为880mm,且有5%变异特性;D、H分别为最大受力截面(即危险截面A-A)的厚度和高度,其初始值分别为30mm和300mm,且有8%变异特性;r为材料的极限强度,其值为350MPa,且有3%变异特性。

由钳臂的受力简图计算得到最大正应力为

3.2 可靠性指标的计算

钳臂模型的结构状态函数 M是设计变量X的非线性函数,利用本文提出的非线性功能函数非概率可靠性指标计算方法处理该状态函数,可得其变化区间:

根据式(11)可以获得钳臂的可靠性指标η=1.209＞1,因此可以判断钳臂结构此时是安全可靠的。

3.3 钳臂的结构优化

在保证钳臂满足可靠性的基础上,可利用本文介绍的n维复形调优算法对该结构进行优化计算。首先基于对钳臂结构材料分布的分析,构建了以结构总体积均值极小值为目标函数的结构优化设计模型:

在不确定性变量变异范围内,选择X={x1,x2,x3,x4}的初始值作为初始复形顶点,分别找到区间范围内的最好点和最坏点,检查其可行域并进行迭代计算,得到不确定性变量在不同可靠性指标约束下的优化值,如表1所示。

表1 在不同可靠性指标约束下不确定变量优化结果

从表1的优化结果可以看出,在不同的可靠性指标约束下,其中不确定性变量x2、x3的数值变化较大,不确定性变量 x1基本没有变化,说明变化较大的随机变量对可靠性影响较大,在结构设计时需要特别注意,应对其给予精确的确定;从图2可知,随着非概率可靠性指标的增大,目标函数数值也愈大,说明对其结构可靠性愈有保障,因此,可以根据实际情况确定机械结构的可靠性,则可以在体积最优化的条件下获得最优的参数分布。图2也反映了钳臂模型体积随可靠性指标的变化趋势,从图中可以看出:当η=2.1时,基于可靠性的目标函数值与均值相等;随结构可靠性增大,钳臂体积不断增大。这与实际设计相符,说明了本文方法的正确性。

图2 钳臂体积随非概率可靠性指标变化曲线

4 结束语

本文从结构的不确定性因素出发,利用非概率区间理论对不确定性进行描述,分析了结构响应函数在线性和非线性两种情况下,可靠性指标的求解方法;通过对钢坯吊具中钳臂的受力分析,利用n维复形调优算法,在非概率可靠性指标的约束下,对结构进行优化计算。从计算实例可以看出,只需给出不确定性变量的变化区间,不必了解其分布规律,即可根据区间模型的非概率可靠性计算方法对结构进行可靠性分析。这种方法计算简单,且从计算结果可以看出,方法是有效的。

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Reliability Analysisand Optim ization Based on Non-probabilistic Interval Model

Han Zhijie Wang Zhangqi
North China Electric Pow er University,Baoding,Hebei,071003

According to the fluctuating factors of the target com ponents'structural parameters and the interval characterization of the m aterial p roperties,this paper adop ted reliability analysis and structural optimization method,and analyzed the control parameters,material strength and load distribution considering uncertainty of structural parameters of the target com ponents.The reliability index w ith structural failure probability was constructed by using non-probabilistic interval reliability analysis.And combined w ith N-dimensional com plex optimal algorithm w ith interval constraints,the optimal results w ere obtained.To billet slings clamp p late,for examp le,thism ethod was proved to be p ractical and effective.And it is a new way of the reliability-based design.

non-probabilistic reliability;intervalmodel;structure optimization;reliability index;com plex optimalalgorithm

TB114.3

1004—132X(2011)06—0652—05

2010—05—25

(编辑 苏卫国)

韩志杰,男,1980年生。华北电力大学能源动力与机械工程学院博士研究生。研究方向为结构可靠性及优化设计。发表论文5篇。王璋奇,男,1964年生。华北电力大学能源动力与机械工程学院教授、博士研究生导师。