混合气体泻流分子束中两种分子的相对速率分布

宫衍香，胡承忠，李 峰，吴晓梅

(1.泰山学院物理与电子工程学院，山东泰安 271021;2.南京大学天文与空间科学学院，江苏南京 210097)

泻流现象在分子速率分布的测定，同位素分离等方面有许多应用.例如，验证气体分子的速率分布是否与麦克斯韦分布律的理论预测相符的葛正权实验以及密勒和库什实验，都利用了由泻流形成分子束的技术.在分离同位素方面，使用常温时为气态的UF6，可以借助于泻流现象把较轻的235UF6和较重的238UF6分离，从而就能获得具有较高浓度的235U核燃料［1］.平衡态下或泻流过程中分子的速率分布是统计物理学中的一个重要课题.很多文章或教材对这类问题做过详细的讨论［2－10］.其中涉及一种组分的速率分布、混合气体的相对速率分布、泻流分布函数、相对论条件下的麦克斯韦分布以及利用分布函数求扩散方程、扩散系数和内摩擦系数等问题.但对于混合气体的泻流问题少有讨论，而气体混合是更为普遍的情形.例如上述同位素的分离可视为与混合气体泻流有关的现象.本文讨论了混合气体泻流分子束中两种组分的相对速率分布、相对速率的平均值和方均根速率等问题.如果系统为单一成分，分子的平均碰撞频率和自由程的计算较为简单.当气体为混合气体时，计算分子的平均碰撞频率时则要记及分子数密度、碰撞截面(与两种分子的有效直径有关)和平均相对速率所造成的变化.其中，平均相对速率要用相对分布函数来计算.本文讨论了混合气体的泻流现象，导出了相对平均速率，这对于研究泻流分子束中两种分子的平均碰撞频率和平均自由程有帮助，具体的影响将在讨论部分给予说明.和经典麦克斯韦速率分布函数的推导一样，本文仍然考虑近独立粒子系统，即不考虑分子间的相互作用.

1 泻流气体中分子的相对速率分布

如图1所示，圆圈和黑点表示2种气体分子，坐标为笛卡尔坐标，y轴垂直于纸面向里，z轴为小孔面元垂直于气壁向外的法线方向.θ为对应球坐标系中的方位角.设容器中理想气体温度为T，某种分子的质量为m、单位体积的分子数为n.泻流分子的速度分布函数为:

图1 混合气体的小孔泻流示意图

其中f(vx，vy，vz)为麦克斯违速度分布函数，(1)式的物理意义为:单位时间，通过小孔的单位面积泻流出的、速度介于vx～vx+d vx，vy～vy+d vy，vz～vz+d vz之间的分子数.首先把它归一化，即对(1)式积分，注意vz的积分范围为0～+∞，有

则归一化的分布函数为

这和麦克斯韦速度分布函数的不同在于乘积中的vz，后面会看出，正是这个因子使的混合气体的泻流分布函数出现了新的特点.把(1)式变换到速率的球极坐标空间可得泻流速率分布函数，见文献［5］.

设混合气体由两种分子构成，分别标记为“1”和“2”，可以认为两种气体分子的速度分布是相互独立而互不关联的，根据几率相乘的性质可知，两种气体分子同时各自处于相应的速度间隔d v1xd v1yd v1z和d v2xd v2yd v2z的几率为:

设两种分子的相对速度为¯vr，质心速度为¯vc，即有

这里需要强调一下，考虑到分子速度的大小和方向有各种可能性，从定义式(5)可以看出，¯vr的范围仍可以取－∞ ～+∞，方向任意，所以¯vr的3个分量vrx，vry，vrz的取值范围均为－∞ ～+∞.而对于¯vc，因为分子速度的z分量只有大于0才可能发生泻流，所以vcz的范围应取0～+∞，vcx、vcy的取值范围仍为－∞～+∞.由(5)式可得

可将积分变量¯v1、¯v2转换成¯vr、¯vc，根据变量转换的雅可比关系，有

由(5)式可得

则雅可比行列式为

把速度间隔转换到速度的球极坐标空间，则有

由(8)式可知

把(6)式和(9)－(12)式代入(4)式，几率变为

其中，M=m1+m2为总质量，μ=m1+m2/(m1+m2)为折合质量.与容器内混合气体的相对速率分布不同，分布函数(13)无法写成关于M和μ对称的形式了(见文献［9］).保留变量vr，把(13)式的其他变量积分，由前面对各速度分量的分析可知，各新变量的取值范围:φr和φc由0～2π，θr由0～π，vc由0～∞，而θc须由0～π/2.则有

把它归一化，则为

其中归一化系数为

(15)式即泻流气体中两种分子的相对速率分布.表1对四种分布函数进行了对比，通过比较可以发现，这种分布函数与一般的麦克斯韦分布函数的最大不同在于括号中的第二项，这一项是因为公式(3)中vz的出现造成的，而其它三种分布函数的形式皆为c1exp(－c2v2)vn，其中，c1，c2和n为相应的系数.但有意思的是，分布函数形式上的这种差别，并未改变分布函数曲线的形态(见图3).

2 各种分布函数的比较

由(15)式，可求出泻流分子相对速率的平均值

如果只有一种分子，则M=2m，μ=m/2，泻流气体相对速率的平均值为

相对方均根速率vrs是v2r的平均值的平方根:

只有一种分子，相对方均根速率为

各种情况下的分布函数、平均(相对)速率、方均根(相对)速率对比，见表1.

表1 对混合气体分布函数，取m1=m2=m时的速率值

为了直观的比较四个分布函数，本文以氧分子为例采用Maple软件绘图.所采用数据m=5.32× 10－26kg，T=300K，k=1.38×10－23J·K－1.对于混合气体取M=2m，μ=m/2.图2中曲线按照粗细依次为f1，f2，f3，与表1中的前三个分布函数顺序一致.相比较而言，由于混合泻流分子相对速率分布的函数值非常小，如果把其与前三个函数画在同一坐标系中将近乎一条沿x轴的线段，故将其单独绘制在一张图中，即图3.

图3 混合泻流分子相对速率分布函数

图2 前三种分布函数图

3 讨论

泻流现象在分子速率分布的测定，同位素分离等方面有许多应用.本文讨论了混合气体的泻流现象，导出了泻流分子的相对速率分布，求出了相对平均速率，这对于研究泻流分子束中两种分子的平均碰撞频率和平均自由程有帮助.比如一个分子“1”与分子“2”的平均碰撞频率为Z12=v¯rn2σ12=πd212n2v¯r，其中d12=(d1+d2)/2为两种分子的平均直径，σ12为“1”，“2”分子间的碰撞截面，n2应理解为泻流气体中单位体积内分子“2”的平均分子数(或根据适当的条件估算).在混合泻流气体中，分子“1”的平均碰撞频率Z¯r等于分子“1”与其他“1”分子间的平均碰撞频率Z¯11以及分子“1”与分子“2”的平均碰撞频率Z¯12之和，对于“2”分子用类似的方法可以得到其平均碰撞频率.泻流分子的相对速率分布函数的函数图形与一般的分布函数图形相似.限于实验条件的限制，我们并不期望通过实验方法来检验该分布函数.但从图3可以看出，分布函数曲线符合一般分布函数的特点(高斯分布)，这可以间接的证明理论方法的正确性.

［1］瑞夫F.统计物理学［M］.周世勋，徐正惠，龚少明，译.北京:科学出版社，1979.

［2］陆兴中，吴祥明.由麦克斯韦速率分布和自由程分布导出内摩擦系数［J］.大学物理，2004，23(2):13－14.

［3］唐莹，佘守宪.麦克斯韦分子速率分布律与扩散方程、扩散系数的初浅推导［J］.大学物理，2001，20(11):16－19.

［4］吴瑞贤，吴世英.速度分布、速率分布中的几率最大问题［J］.大学物理，1988，22(7):44－45.

［5］黄瑞.关于麦克斯韦速率分布律的几点分析［J］.大学物理，1988，13(12):32－34.

［6］程复兴.泻流速率分布函数及其应用举例［J］.大学物理，1984，12(5):32－33.

［7］陈忠胜.相对论条件下的麦克斯韦分布［J］.大学物理，1989，(1):21－22.

［8］刘风芝，吴玉喜，韩立尧.泻流中气体性质变化的探讨［J］.大学物理，2002，21(11):21－23.

［9］汪志诚.热力学统计物理(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［10］陈仁烈.统计物理学引论(增订本)［M］.北京:人民教育出版社，1959.