两类谱表示法模拟风场误差对比分析

胡 亮，顾 明，李 黎

(1.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092;2.华南理工大学 亚热带建筑科学国家重点实验室，广州 510640;3.华中科技大学 土木工程与 力学学院，武汉 430074)

两类谱表示法模拟风场误差对比分析

胡 亮1，2，顾 明1，李 黎3

(1.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092;2.华南理工大学 亚热带建筑科学国家重点实验室，广州 510640;3.华中科技大学 土木工程与 力学学院，武汉 430074)

对原型和POD型谱表示法模拟多变量正态风场时的随机误差进行了对比分析。给出了原型、POD型谱表示法的风场模拟标准算法，以及使用这套标准算法模拟风场时所产生随机误差的解析计算公式。基于此解析解，以总体随机误差和根方差相对随机误差为标准，比较了两类谱表示法在模拟一个64点简单风场时的随机误差。数值分析结果表明:相对于原型谱表示法，POD型谱表示法的模拟随机误差较小而且空间分布更加均匀，模拟时应优先选用。此外，还研究了频率采样点数对误差的影响;给出了控制模拟随机误差的方法。

谱表示法;风场模拟;误差;对比分析

在桥梁抖振时域分析时，一般把脉动风速场视作一维多变量、平稳、正态随机过程，用谱表示法或ARMA方法来模拟［1］。ARMA方法参数确定不易、系统稳定性差［2］，相比之下，谱表示法无条件稳定、易于实现、精度较高，在现有条件下计算效率可以接受［3］，因而得到了更广泛的应用。

谱表示法起源于Rice在1945年的著名论文［4］。针对一维多变量风场模拟，早期的谱表示法基于多变量过程功率谱密度矩阵的Cholesky分解，称为原型谱表示法［5，6］;近年来则出现了一类基于谱矩阵特征值分解的谱表示法，称为本征正交分解(proper orthogonal decomposition，POD)型谱表示法［7，8］。POD 型谱表示法的优点在于:风场的POD特征向量能描述风场分布这一物理特征且是一组最优化基底，故可进行有效的模态截断;但其中所包含矩阵特征值分解所耗费的运算量要大于原型谱表示法中的Cholesky分解。两类谱表示法各有优劣，在工程中如何选用至今尚无定论。

谱表示法模拟风场的一大症结在于模拟结果的各态历经性。对于一维单变量过程或多维单变量过程，这一问题早已得到圆满解决［6］;但桥梁抖振时域分析所需脉动风场是一维多变量过程，虽然 Deodatis［9］和Ding［10］、胡亮［11］等分别基于原型谱表示法和 POD 型谱表示法提出了各态历经模拟算法，但模拟结果时间序列过长，且其时域估计相关函数仍未能满足各态历经性。因此，工程应用中较好的办法仍是将模拟结果的随机误差控制在一界限内，而无法完全实现各态历经性以使得随机误差为0。

目前只有很少的研究涉及风场模拟的误差。Novak［12］曾研究了AR方法模拟多变量风场的误差，但其对风场的AR系统建模不准确;Grigoriu［13］则对谱表示法的模拟误差有一些粗略的数值分析;胡亮推导了原型［14］和POD型谱表示法［15］模拟风场的偏度和随机误差的解析解。基于此模拟误差的解析解，本文将以一个典型简单风场模拟作为算例，对两类谱表示法模拟风场的随机误差进行对比分析，以期深入了解模拟误差的特性并作为控制误差的基础，同时两类方法在模拟误差方面的表现也可为实际应用时的选择提供参考。

1 谱表示法标准模拟公式

风场可简化为一个一维N变量的平稳正态过程V(t)=［v1(t)，v2(t)，…，vN(t)］T，设其理论功率谱密度矩阵为S0

VV(ω)(单边谱)，则原型谱表示法的模拟公式为［14，15］:

式(1)－式(2)中，Δω=(ωu－ω0)/M 为频率步长，ωl=(l－1)Δω 为频率采样点序列，l=1，…，M，M 为频率采样点数，θkl为在［0，2π］之间均匀分布的独立随机相位角;Hjk为S0

VV作Cholesky分解所得下三角矩阵元素;φjk和 ηk分别为S0VV的第k阶特征向量中元素和特征值，Ns为POD模态截断数。可将式(1)－式(2)写为统一形式:

式中，Δt=2π/(NTΔω)为时间步长，NT≥2M 为变换点数。模拟结果具有周期T=2π/Δω。

2 模拟随机误差的解析解

作者分别研究了原型和本征正交分解(POD)型谱表示法模拟多变量风场的误差，得到了模拟样本时程时间长度为周期T时，前二阶矩样本时域估计值的随机误差的解析表达式［15］:

(1)两类谱表示法模拟结果都是均值各态历经的，即时域统计均值的随机误差为0;

(2)设N≥i≥j≥1，则原型谱表示法模拟结果功率谱密度函数时域估计值的随机误差为:

且模拟第1点的风速随机误差恒为0;POD型谱表示法的随机误差则为:

(3)两类谱表示法模拟结果相关函数时域估计值的随机误差均可由谱密度函数的随机误差导出:

可用FFT作快速计算。

(4)两类谱表示法模拟结果根方差时域估计值的随机误差可由相关函数的随机误差近似计算:

应当注意到，式(5)－式(7)所得误差的项数巨大，在分析风场模拟误差的分布特征时甚为不便，而式(8)则比较简洁。为使误差分析更加清晰，参照式(8)，定义总体随机误差为:

式(11)系将式(7)代入式(8)并推广至p≠q的情况所得。当i=p=q时，式(9)是自谱函数的总体误差，即主要表征i点风速自身包含能量的模拟误差，亦称为根方差相对随机误差;p≠q时，则是互谱函数的总体误差，相应表征p、q点风速间相关程度的模拟随机误差。总体相对随机误差意义明确且便于表述，故它将是以下误差分析时的所用到的主要指标。

3 典型简单风场模拟误差对比分析

图1所示为一个由N=64点组成的简单线状风场，系由某桥面风场简化而来，离地高度为160 m。风场模拟的目标谱为Kaimal谱［9］和Davenport相干函数，II类场地，幂函数风剖面，10 m高度平均风速 为21.17 m/s，谱频率区间为 ω∈［0，2π］。

图1 简单风场点分布Fig.1 Overview of the simplified wind field

3.1 总体相对随机误差

分别计算频率采样点数 M=256、512、1 024、2 048四种情况下原型和POD型谱表示法模拟此简单风场时的总体随机误差epq(p=1…64，q=1…p)，所得结果示于图2(a)－图2(d)中。图中，深蓝色斜线下方为原型谱表示法，上方为POD型谱表示法。首先从图2(a)分析误差的分布特征，容易看出:

(1)左下半区的颜色显著深于上半区，蓝色部分较右上半区少，红色部分则较多，即从整体来说，POD型谱表示法的随机误差要小于原型谱表示法。

(2)在此图右上部分，POD型谱表示法的误差基本沿着主对角线的平行方向向右上角点扩散，因此它的误差分布比较均匀;而在左下部分，原型谱表示法的误差有沿着自上而下的方向扩散的趋势，编号越大的点误差也越大。在用原型谱表示法进行风场模拟时，常能观察到点号越靠后则模拟所得的时域估计自谱曲线波动愈加剧烈，正是出于随机误差分布不均这一原因。

以上的三条观察结论可从图2(b)－图2(d)中得到印证。在从图2(a)到图2(d)的四个图中，虽然颜色深度所代表的数值随频率采样点数M增加而减小，但颜色分布的规律却没有什么变化，可见增加M值虽会使得随机误差降低，对误差的空间分布特征却几乎没有影响。表1是图2中上下半区总体随机误差的总和及两类谱表示法误差对应的比值，可看出原型谱表示法的误差总和总是大于POD型谱表示法，是后者的1.5倍左右，且随M值增加此倍数比值也有小幅增加，这支持了上述第(1)条观察结论。

图2 两类谱表示法模拟简单风场的总体随机误差Fig.2 Global relative stochastic errors of the simplified wind field simulated by both OSRM and PSRM

3.2 根方差相对随机误差

图3给出了不同频率采样点数M值下的根方差相对随机误差，图中OSRM和PSRM分别表示原型/本征正交分解型谱表示法。可以看出:(1)在M值相同时，POD型谱表示法的曲线大部分位于原型谱表示法之下，表示POD型谱表示法误差较小;(2)原型谱表示法的误差从1点到64点有一种渐变递增的趋势，而POD型谱表示的误差曲线平滑下凹，误差随点号分布均匀。表2是图3中根方差相对随机误差的总和，原型谱表示法的误差总和是POD型谱表示法的1.2倍以上。以上观察结论均与总体随机误差的观察结论一致。

图4(a)和图4(b)分别是原型和POD型谱表示法不同M值下根方差相对随机误差的比值。图中所给出的均是频率点数 M值的比值为1∶2时(256/512、512/1 024、1 024/2 048)的误差比值，两类方法误差比值数值上差别不大，都在1.4～1.5之间;M值越大，该比值随空间分布越均匀。比值的大小可约略估计如下。在式(9)中计入频率步长Δω=(ωu－ω0)/M，根方差随机误差可写为:

故当M变为原值的2倍时，根方差随机误差的比值:

根据式(5)和式(6)，谱密度的随机误差是对应频率点处谱分解矩阵的某些元素之和;故式(13)中，根号内分子和分母都可视为与谱函数有近似线性关系，且分母部分相当于是对分子部分的加密采样。当采样值M很大时，分子的采样已很密集，谱函数可视为分段线性，

表1 两类谱表示法的总体相对误差总和Tab.1 Sums of global relative stochastic errors produced by both OSRM and PSRM

表2 两类谱表示法的根方差相对误差总和Tab.2 Sums of relative stochastic errors of standard deviations produced by both OSRM and PSRM

4 结论

基于谱表示法模拟风场随机误差的解析解，以一个典型简单风场模拟为算例，对原型和本征正交分解(POD)型两类谱表示法的模拟误差进行了详细的对比分析，得到如下结论:

(1)POD型谱表示法的总体相对随机误差和根方差相对随机误差均小于原型谱表示法，算例中后者的总体和根方差相对误差总和分别是前者的1.5和1.2倍左右，这是POD型谱表示法的一个重大优点。

(2)POD型谱表示法的相对随机误差在空间分布是均匀的，而原型谱表示法有随点号递增的趋势，即排序靠后的点误差有大的额外增加;因此前者误差分布优于后者。

(3)增加频率点数M可以有效的降低随机误差;当M值以倍数2增加时，总体相对随机误差以接近1.414的倍数递减。

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［15］胡 亮，顾 明，李 黎.基于本征正交分解的谱表示法模拟风场的误差［J］.振动与冲击，2011，30(4):12－15.

Comparison between errors produced in simulating a wind field with original spectral representation method and POD-based one respectively

HU Liang1，2，GU Ming1，LI Li3

(1.State Key Lab for Disaster Reduction in Civil Eng.，Tongji Univ.，Shanghai 200092，China;2.State Key Lab of Subtropical Building Sci.，South China Univ.of Tech.，Guangzhou 510640，China;3.School of Civil Eng.and Mech.，Huazhong Univ.of Sci.and Tech.，Wuhan 430074，China)

Errors produced in simulating a stationary Gaussian multi－ variate wind process，with the original spectral representation method(OSRM)and the proper orthogonal decomposition－based one(PSRM)were assessed.To begin with，a set of formulas describing the two types of SRM and the closed－form stochastic errors produced with them were presented in a standard form.Accordingly，the errors produced in simulating a 64－point simplified wind field using PSRM and OSRM respectively were computed and then compared in terms of the global spectral stochastic errors and the relative ones of standard deviations.It was concluded from the numerical example that the errors produced with PSRM are not only less in total but also distributed more uniformly to every point than those with OSRM;thus PSRM should be preferred to.In addition，the influence of the point number of frequency sampling on the errors was discussed in detail.Some approaches for relieving the errors were also suggested.

spectral representation method(SRM);wind field simulation;error;comparison

TU973.31;U448.23+1

A

国家自然科学基金重大研究计划(90715040);国家自然科学基金创新群体项目(50621062);国家科技支撑计划(2006BAJ06B05);华南理工大学亚热带建筑科学国家重点实验室开放基金(200822)

2009－12－15 修改稿收到日期:2010－01－19

胡 亮 男，博士后，1981年生

顾 明 男，教授，博士生导师，1957年生