一类非线性耦合时滞泛函微分系统的振动性准则

李连忠，李晓雯，陈 燕

(1.泰山学院数学与系统科学学院，山东泰安 271021;2.泰山学院附属中学，山东泰安 271000)

可将系统(1)分为四种情况进行讨论，再由对称性的考虑，可按以下两种情况进行讨论，

从而对任意的β＞1，由(10)可得

本文考虑下列非线性耦合时滞泛函微分系统

的振动性问题，其中函数a，b，σ，f，g满足:

(H2)f∈C1(R，R)，g∈C(R，R)，且对任意的u≠0，有:

在一定的假设条件下，系统(1)存在连续解，我们的研究限制在系统(1)在右半区间［T0，∞］内存在连续解的情况，其中T0≥t0为依赖于系统具体解的数.通常的，一个定义在区间［T0，∞］上的实值连续函数如果存在任意大的零点，则称之为振动的，否则称为非振动的.系统(1)的解(x(t)，y(t))称为是振动的，如果x(t)和y(t)都是振动的，否则就称(1)的解是非振动的.

由系统(1)是否满足条件

可将系统(1)分为四种情况进行讨论，再由对称性的考虑，可按以下两种情况进行讨论，

本文仅讨论(2)成立的情况，关于条件(3)成立的情况我们将另行撰文讨论.

1 预备知识

系统(1)的一种特殊情况是

对于系统(4)的振动性及非振动性研究，已经取得了若干优秀成果，读者可以参考Kordonis与Philos文［1］，Kwong与Wong文［2］，Mirzov文［3－5］，以及Li与Cheng文［6］中的结果.

首先，由Philos文［7］，我们定义函数H=H(t，s)属于函数类W，记为H∈W，如果D={(t，s)∶t≥s≥t0}，H∈C(D，R+)满足:

(H3)H(t，t)=0，当t0≤s＜t＜+∞时H(t，s)＞0;

(H4)H(t，s)关于s具有连续非正的偏导数∂H/∂s，且存在某个h∈Lloc(D，R)，p∈C1(［t0，∞)，(0，∞))使得

其次，我们还将用到下面引理.

引理1［8］假设条件(H1)、(H2)成立，再设函数a(t)在任意形如［T0，∞)的区间内不恒为零，(x(t)，y(t))为系统(1)的非振动解，则作为解的组成部分的函数x(t)亦是非振动的.

同样，如果函数b(t)在任意形如［T0，∞)的区间内不恒为零，(x(t)，y(t))为系统(1)的非振动解，则作为解的组成部分的函数y(t)亦是非振动的.

因此，若下列假设条件(H5)成立，

(H5)函数a(t)和b(t)都在任意形如［T0，∞)的区间内不恒为零，T0≥t0.

则系统(1)的任一非振动解(x(t)，y(t))的组成部分x(t)与y(t)皆最终定号，且从系统(1)的第一个方程，由x(t)的振动性可推出y(t)的振动性.

Saker在文［8］中研究了微分系统(1)，给出了系统振动的若干充分条件，我们列出文［8］的主要结果如下(文［8］中的函数p(t)≡1):

定理A［8］设条件成立，记r(t)=，如果存在函数ρ(t)∈C1(［t0，∞)，(0，∞))满足

其中，q(t)=kk1b(σ(t))σ'(t)，Q(t，s)=h(t，s)

则系统(1)的任意解是振动的.

定理B［8］设函数r，H，h，q，Q，W，ρ同定理A，且条件(H1)－(H3)成立，设下列条件(C2)与(C3)成立，

再设存在函数m∈C(［t0，∞)，R)满足条件(C4)和(C5):

其中，m+(t)=max{m(t)，0}.则系统(1.1)的任意解是振动的.

定理C［8］在定理B中将条件(C3)替换为

其它条件不变，则系统(1.1)的任意解同样是振动的.

2 主要结果

下面，应用Philos文［7］和Li文［9］处理二阶方程的方法，同时利用广义Riccati技巧和积分平均技巧，我们给出系统(1)振动的新准则，本文的结论推广和改进了Kwong与Wong文［2］，Li与Cheng文［6］，以及Saker文［8］中的结论.

定理2.1设条件(H1)－(H5)成立，记r(t)=，如果存在两个函数ρ(t)，p(t)∈C1(［t0，∞)， (0，∞))，对某个β≥1和H∈W，下式成立，

证明 采用反证法，假设系统(1.1)在区间［T0，∞)内存在一个非振动解(x(t)，y(t))，其中T0≥t0.于是由条件(H5)和引理1，函数x(t)亦是非振动的，更进一步，我们发现在变量替换u=－x，v=－y之下，系统(1)在相同的假设条件下变换为与其自身相同形式的系统.不失一般性，我们假设x(t)和x(σ(t))在区间［T0，∞)内恒为正.

定义函数

由Saker文［8］定理2.1的证明知ω(t)＞0且满足下面微分不等式，

于是有

特别的，

从而下式成立，

于是可得

上式与假设条件(5)式矛盾，这样就完成了定理2.1的证明.

推论2.2 在定理2.1中将条件(5)替换为

和

其它条件不变，则系统(1)的任意解是振动的.

注2.3 在定理2.1的式(5)和推论2.2的式(8)中，将“lim sup”替换为“lim inf”，其它条件不变，仍可得到系统(1)的解振动的结论.

定理2.4 设条件(H1)－(H5)成立，函数r，H，h，p，q，ρ，Q，W，ω同定理2.1，并假设H∈W满足

并且，

如果存在函数m∈C(［t0，∞)，R)，对某个β＞1，对所有的t≥T≥t0，有

其中，m+(t)=max{m(t)，0}.则系统(1.1)的任意解是振动的.

证明 采用反证法，假设系统(1.1)在区间［T0，∞)内存在一个非振动解(x(t)，y(t))，其中T0≥t0.由定理2.1前半部分的证明，对于某个β＞1和所有的t≥T≥T0，我们有

于是我们有

从而对任意的β＞1，由(10)可得

所以有

特别的下式成立，

下面证明

若不然，将有

由(9)，存在常数ξ＞0，满足

令η为任意大的一个正数，由(15)，存在t1＞t0，当t≥t1时，有

则当t≥t1时，

由(16)，存在t2≥t1，对所有的成立，这意味着对所有的t≥t2，有z(t)≥η，由η的任意性，我们有)=∞，于是，

而这与(13)矛盾，所以(14)成立，由(12)与(14)易得

这与(11)矛盾，于是定理得证.

推论2.5在定理2.4中，将条件(10)和(11)中的“lim sup”替换为“lim inf”，其他条件不变，定理结论仍成立.

注2.6 定理2.4中我们去掉了Saker定理B、C中的限制条件(C3)和(C6)，仍然得到了系统(1)振动的结论，所以我们的结果要优于Saker文［8］的结果.

注2.7 对H，h，p的不同取法可以给出系统(1)振动的若干准则.例如令β=1，取p(t)≡1，t∈［t0，∞)，本文定理2.1退化为Saker定理A;在此基础上再取H(t，s)=(t－s)λ，其中λ≥0为常数，则当λ=n为整数时，我们的定理2.1退化为Saker文［8］中的定理2.1;当λ=0时，我们的定理2.1退化为Saker文［8］中的定理2.2;

另外取p(t)≡1，H(t，s)=(t－s)λ，t≥s≥t0，则h(t，s)=，其中λ≥0为常数，并且对任意的s≥t0，有

即定理2.4中的条件(9)自然成立，于是由定理2.4，我们有以下讨论.

推论2.8 设条件(H1)、(H2)和(H5)成立，函数r，q，ρ，Q，W，ω同定理2.1，λ≥0为常数，如果存在函数m∈C(［t0，∞)，R)，对某个β＞1，对所有的t≥T≥t0，

与(11)成立.则系统(1)的任意解是振动的.

再分别取λ=2，0，我们有:

推论2.9 推论2.8中的条件(17)替换为

其他条件不变，仍可得系统(1)的任意解是振动的.

推论2.10 推论2.8中的条件(17)替换为

其他条件不变，仍可得系统(1)的任意解是振动的.

例2.11 考虑下列简单的微分系统

并且有

即(11)与(19)式成立，从而由推论2.10知微分系统(20)的任意解是振动的.

例2.12 考虑下列非线性时滞泛函微分系统

其中，

于是有

又容易验证(11)式成立，从而由推论2.9知系统(21)的任意解是振动的.

然而，可以验证下列两式成立，

即Saker定理B、C中的限制条件(C3)和(C6)不成立，定理B、C不能应用于非线性时滞泛函微分系统(2.21)，这也说明了我们的结论要优于以往的结论.

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