一节别开生面的解题探究课

313000 浙江省湖州新世纪外国语学校莲花庄校区 黄加卫

一节别开生面的解题探究课

313000 浙江省湖州新世纪外国语学校莲花庄校区 黄加卫

众所周知，解题教学是高三数学总复习教学的重要环节，解题教学质量的高低直接决定总复习教学的效果．如何提高解题教学的质量呢?而不久前笔者的一节解题探究课一方面通过心理学相关知识的辅助，另一方面在呈现方式上进行了新的尝试，取得了一定的收获．下文是这节课堂教学的实录及若干反思，不当之处敬请指正．

1 一节利用心理学图形进行解题情境创设的探究课

师:众所周知，数学思维的特点是它的抽象性，抽象的概念通常是以图象的形式储存和呈现的.因此数学思维活动在大多数场合都以图象的组合和变换的方式来实现，对图象的恰当应用必然有助于数学创造性思维的发生．那么大家看过图1这幅图形吗?自然界存在这样的图形吗?

生:看到过，麦比乌斯圈!我在自然界没有看到过这样的图形，但是确实可以做出这样的图形的!

师:很好，麦比乌斯圈是一种单侧、不可定向的曲面．当然也存在着这样的图形．同时它也是拓扑学中最有趣的单侧面问题之一．麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑、艺术、工业生产中．那么在自然界大家有没有见过如图2-5这样的图形呢?

图1

图2 图3

图4 图5

学生看见图形之后非常兴奋，于是就热烈地讨论起来．不一会儿就发现这几个图形均是在自然界和实际生活中不可能存在的．

师:我们知道，心理学上的一些经典图象常具有强烈的说明及暗喻作用．通过大家讨论的结果可以表明:这些图形只能在图画中存在着，在实际生活中是不可能有的，这种图形在心理学上称为“不可能图形”．事实上，大家有没有发现这些图形的确也给人一种十分“漂亮、完美”之感?

大家纷纷点头表示赞同．

师:这种形似完美但实则荒谬的现象在数学解题中也会同样出现．下面请大家花十五到二十分钟研究一下幻灯片上面的有关数列内容的问题组以及一些同学给出的参考答案，然后发表一下自己的观点．

图6

师:棒极了，切中要害!显然，在利用导数解决数列的单调性问题时，所设置的辅助函数必须是可导的，而幻灯片上给出的解法明显违背了这一条．所以在利用各知识之间的相互联系解决问题时应注意它们自身的特殊性．那么问题(3)的解法如何呢?能否从刚才的讨论中得到某些有价值的启示呢?

生6:这道问题的解法肯定是错误的，因为我算了一下，好象a12=180，比a3大多了!但是上面的解法好象也是我们求最值问题中的一种常见解法，真是奇怪．难道也像是第(2)道问题一样，方法推导出了问题?

老师观察到学生都觉得有些疑惑，就让大家分小组进行讨论．过了一会儿，有一个小组的同学要求发言．

生7:我们小组觉得这个错误不能归结于“函数”身上，否则也就太“窦娥冤”了!实际上，我们认为还可以利用函数的知识加以分析，即若存在正整数k满足:…≤ak-1≤ak≥ak+1≥…，这只能说明:与函数的性质类似，ak不小于它邻近的项，只能是一个极大项，而不一定是整个定义域上的最大项．

这时学生们如醍醐灌顶，顿时醒悟过来，并对这个小组给予了热烈的掌声．

师:漂亮!那么我们趁热打铁，用什么方法可以解决这一问题呢?

于是就出现了不同意见，如“既然与函数进行类比，那么可以借鉴函数的的单调性定义进行求解”;“也可以利用导数工具去进行求解!”;“与函数的极值问题相比较，可以先求出数列所有的极大项，然后求出a1和另一个端点项a12，最后比较a1，a12与所有的极大项，最大的一项即所求的最大项!”然后师生便用以上三种方法对此题进行了求解，并进行了相应地比较，优化了学生们的认知结构．

然后对最后一个问题的发言、讨论和研究越发热烈．最后大家统一了看法，即:

并且学生们还给出了解决问题的正确方法．

师:我们在学习上出现错误，有时是因认识偏差、有时是因思维出现障碍、有时是因不良习惯(如粗心)等引起的，而大家在此时会表现出困惑或无所适从．这时要利用各种角度去审视问题，不能被问题的表面现象所迷惑，即要揭开种种“不可能图形”的虚假外貌，加强对问题的批判性，从而得到总结提高．

随后老师布置了作业，完成了这节别开生面的解题探究课．

2 对这节解题探究教学案例的若干分析

首先，新课标指出:“教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认知水平．”本节课利用学生对于图象特征的吸引力以及敏感性，抓住“不可能图形”外表新奇、实质谬误的特点进行“意义影射”，为本节课的教学奠定了知识与情感基础，同时增加了学生对后面内容的探求欲望．

其次，桑代克试误学习理论指出:试误是人类认识世界的主要方法之一，没有大量错误作台阶就不能攀上正确结果的宝座．所以在教学中对于学生的纠错显得尤为重要．事实上也是这样，让学生弄明错因，使其自觉地纠正错误，这几乎是每个数学老师的共同愿望．但教与学的时间毕竟是有限的，我们不可能有过多的精力去指导学生辨错、纠错;另一方面，“提倡矫正性反馈也有可能会产生负作用，即会使学生一直依赖于教师的指正．”(布鲁纳语)．因此摸索艺术的纠错方法，花较少的时间，取得最佳的纠错效果，就成为我们思考的问题．从本节课看来，通过学生自主分析、合作探究、教师指导等方式对数列内容中的看起来“无懈可击”、“根深蒂固”的错误进行集中“行动”，取得了显而易见的效果，值得进行总结与探索．

另外，进入高三复习，除了简单的知识回顾外，还要注意知识的不断深化，特别要注意数学知识之间的关系和联系，逐步形成扩展的知识结构系统，使学生能在大脑记忆系统中构建“数学认知结构”，形成一个条理化、有序化、网络化的有机体系．而我们也不难看出，这节课着重强调在处理函数与数列这两大高中数学主干知识的联系和区别时，应注意各自的特点，特别是运用函数知识解决数列问题时，应注意数列的离散型特征．此外，其教学过程也充分体现了新课程标准中的强调学生“经历了什么”、“体会了什么”、“感受了什么”的宗旨．

当然，在数学教学中，由于纠错是提高教学质量的一个重要环节，教师既可以象本节课那样针对学生的普遍错误组织学生分析讨论，从而消除某些困惑、纠正存在的相关问题;也可针对部分学生或个别学生的错误采取各种恰当的纠错艺术和教学形式，从而达到优化思维过程的目的，从而使学生系统掌握有关知识、技能和方法，培养学生的辨证思维能力和自我纠错能力．

1 普通高中数学课程标准(实验)［M］.北京:人民教育出版社，2003

2 施良方.学习论(第二版)［M］.北京:人民教育出版社，2001

3 喻平.数学教育心理学［M］.广西:广西教育出版社，2004

20110805)