行到水穷处 坐看云起时

518040 广东省深圳市高级中学广东省黄显甫名师工作室 黄元华

行到水穷处 坐看云起时

518040 广东省深圳市高级中学广东省黄显甫名师工作室 黄元华

新课标理念下的数学课有一个永恒的原则，那就是尊重学生，保护学生参与课堂的热情和积极性，鼓励他们发现问题、提出问题和解决问题．教师须顺应学生的心理需求不断调整自己的教学思路，与学生一起自然“生成”课堂．教师应敏锐地发现和捕捉契机，善于启发和激励，引发学生火热的思考，把他们的探究引向深入，把学生的视野拓展至更为广阔的思维空间．教师不要急于推销自己的想法，不要强行把学生的思路硬性拉到自己预设的轨道上来，否则“强按牛头不喝水”，也是枉然．上课应如行云流水，“行到水穷处，坐看云起时”，追求一种清新淡雅、深邃渺远、浑然天成的自然境界．

本文所说的“链式思考”，即“一连串的思考”，主要指由一个问题到另一个问题的纵向或横向的沟通、联想与延伸．在一次高三两节连堂复习课上，笔者讲到这样一道典型的数列题，引发了师生一连串的思考与探究．

题目 已知等差数列的前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，求 S110．

此题解法很多，限于篇幅，这里只给出四种典型解法的要点.

解法1 设{an}的前n项和Sn=an2+bn，则由已知可得关于a，b的方程组，

解法4 依次将数列{an}的每10项作为数列{bn}的一项，则得等差数列{bn}，其中b1=100，前10项和为10，解得等差数列{bn}的公差为-22，所以 b11=-120，则S110=-110．

教师:四种解法，风格各异，覆盖面广，视野开阔，解法1用的是“基本量法”;解法2别出心裁地利用了直线方程;解法3利用等差数列的一个性质，构造了一个新的等差数列;解法4中的等差数列等同于解法3，但又显得大气和简洁明快，都给我们以深深的启迪．

链式思考1——例1的推广

绚丽多姿的各种解法烘热了学生的大脑，激活了学生的思维，所以当教者准备进入下一个问题的探讨时，一个平时数学成绩并不突出的学生(生1)站起来说:我由也得到同样的结果，不知道这是巧合，还是必然?

太妙了!生1能提出这样的问题，发现了一个比较隐蔽的关系式，一方面表明他的勇气可嘉，另一方面说明轻松和谐的课堂气氛激发了他潜在的智慧.虽然打乱了教者预设的教学程序，但教者还是热情地予以表扬:生1的解法具有一定的创意!请同学们通过自主探究与合作交流，对此作出评价．

生2(很自信地):我认为生1的解法不是巧合，而是必然(众生笑)，事实上，可有一般性的结论:

结论1 若等差数列{an}的前n项和为Sn，则

教师:谁能证明该结论?(生2给出的证明过程略)

教师:由生1的等式推广到等式①，足见生2敏锐的洞察力和超人的想象力!(大家把热烈的掌声献给生2，生2特兴奋)．有了等式①，下面两题则迎刃而解．

例2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则前3m项和为

链式思考2——等式①的特例与推广

基于以上研究，生3又得出了例1的一般性结论:

结论2 等差数列{an}的前n项和为Sn，若SP=q，Sq=p(p≠q，p，q∈N*)，

则Sp+q=-(p+q)．

生4:结论2不过是等式①的特例，我把等式①稍加推广，得到

结论3中的等式左右两边对称，显得和谐美观，便于记忆．从等式②推广到结论3又是一个质的飞跃!等式②的奇妙结构使师生突发奇想，此式与斜率公式类似啊!于是又展开了在更广阔领域里的讨论．

链式思考3——抛物线的相关性质

教师:由等式②，同学们能联想到什么?

生6:如图1，等式②即 kAB=kCD，则 AB∥CD．而条件 m+n=p+q，即 A，B 两点与 C，D 两点的横坐标之和相等，因此我猜想应有如下结论.

结论4 设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有四点A，B，C，D，若 xA+xB=xC+xD，则AB∥CD．

教师:你能证明你的猜想吗?

生6:还没来得及思考(众生笑)．

教师:谁能证明生6的猜想?(类似于“招标、投标”，极大地激发了学生思维的积极性)

图1

大家很快发现，结论4的逆命题也成立，故有

结论5 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有四点 A，B，C，D，则 AB∥CD 的充要条件是 xA+xB=xC+xD．

教师:根据结论5，大家又能得到什么?(教师的问题不宜太具体，要给学生留有广阔的探究空间和充足的回旋余地．三分钟探究后)

生8:抛物线的平行弦的中点的轨迹是一条与其对称轴平行的直线．

图2

则EF与抛物线的对称轴平行．

生9:生8的结论有漏洞，应这样表述才完善:

结论6 抛物线平行弦的中点的轨迹是一条与其对称轴平行或重合的射线(不含端点，如图3)．

教师:生8具有过人的归纳提升能力!生9的思维特别严谨!结论6很重要且很优美!下面请同学们从上面的研究出发，继续展开思维的翅膀，开展小组合作探究．下节课我们将请各组推选代表上台展示探究成果．

链式思考4——有心圆锥曲线平行弦中点的轨迹探讨

生10:我们小组由抛物线的平行弦中点轨迹问题展开横向思考，得出了椭圆、双曲线的平行弦中点轨迹方程．

图3

图4

图5 图6

链式思考5——圆锥曲线过定点弦的中点的轨迹探讨

生12:我们小组由圆锥曲线平行弦联想到过定点的弦，也得出了一组结论．

提前说明两点:(1)若有心圆锥曲线的动弦过定点，且定点是有心圆锥曲线的中心，则易知动弦的中点的轨迹就是该定点．故为了叙述方便，下文中的定点(s，t)都不是有心圆锥曲线的中心．(2)因定点(s，t)所处位置的变化，下文中所求轨迹可能是整个圆锥曲线，也可能是圆锥曲线的一部分，为了行文方便，下文不一一说明．

图7

图8

生13(主动要求说):我发现，上面6个(结论6～结论11)可以统一简述为:

结论12 圆锥曲线平行弦的中点的轨迹是直线或者直线的一部分;圆锥曲线过定点(不是有心圆锥曲线的中心)的弦的中点的轨迹是与其同类的圆锥曲线(或者其一部分)．

教师:从6个结论总结提升出结论12，除了需要相当的抽象概括能力之外，还必须具备非凡的创造力!这已经不是一般的数学课堂，而是真正的数学科研!(同学们自发地为生13鼓起掌来)

生13(很谦虚地):这不是我一个人的功劳，而是我们小组五个成员集体智慧的结晶!

新课标理念下的数学课堂鼓励学生自主探究、合作交流、动手实践．在备课时教师理应作出多种教学预设．但要知道，真正的课堂远比教案生动、丰富、精彩，正如叶澜教授所说:“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的旅程．”因此，教案只是教学过程的一个蓝本，即使我们课前作出了多种预设，也难以穷尽课堂上可能会出现的各种情况．这显然对教师驾驭课堂的能力提出了更高的要求．

总之，新课标理念下的数学课堂绝不是照搬教案的机械演出，而是师生共融其中、二者智慧相激相荡的一段精神历程．在这样的课堂里，灵感的火花会不断绽放，新意迭出的解题方案会大量呈现，学生的激情和创造力会得到最大程度的释放．师生都能从中享受到生命的温暖、智力劳动的愉悦和创造的幸福!

1 教育部．普通高中数学课程标准(实验)．人民教育出版社．2003，7

2 叶澜．让课堂焕发出生命活力．教育研究．1997，9

3 黄元华．如何生成让师生心灵舒展的数学课堂．广东教育，2011，1

20110507)

图9