脉冲积分—微分系统的Razumikhin型稳定性定理

吕濯缨,郑艳琳,张来亮

(1.山东科技大学公共课题部,山东济南 250031;2.山东科技大学理学院,山东黄岛 266510)

0 引 言

脉冲积分 —微分系统作为非线性脉冲微分系统的一个重要分支,在自然科学中有着广泛的应用背景,如物理学中的电路模拟器与生物学中的神经网络系统等.近年来,学者们对其的研究也产生了一些成果[1-5].在对该系统的研究中,解的定性理论已有一定进展,但解的稳定性理论还仅有比较结果和极为少量的直接结果,而且在直接结果中对V函数要求条件较高.基于此,本文利用Lyapunov函数直接方法并借助研究泛函微分方程的Razumikhin技巧的思想,减弱了在脉冲点对V函数的限制条件,得到了脉冲积分 —微分系统零解的稳定性的直接判定准则.

考虑如下脉冲积分 —微分系统,

其中:

(i)N为正整数集;

(ii)f:R+×S(ρ)×Rn在[tk,tk+1)×S(ρ)×Rn上连续,S(ρ)={x∈Rn:|x|＜ρ},k∈N;

(iv)0＜t1＜t2＜ …＜tk＜ …,且tk→∞(k→∞);

(v)Jk(x):S(ρ)→Rn(∀k∈N);

(vi)对上述ρ,存在ρ1:0＜ρ1≤ρ,使得当x∈S(ρ1)时,有 Jk(x)∈S(ρ);

(vii) K(t,t,0)≡0,f(t,0,0) ≡0,Jk(0) ≡0(∀k∈N),保证系统(1)的零解存在.

另外,我们总假定f,Jk满足一定条件以保证系统(1)的解整体存在唯一.

定义1 若函数V:R+×Rn→R+在 G上连续且满足,

定义2 称系统(1)的零解为:

(i)稳定的,若对 ∀ε＞0,t0∈R+,∃δ= δ(t0,ε)＞0,使当|x0|＜δ时,有|x(t,t0,x0)|≤ε,t≥t0;

则称函数V∈V0.若V∈V0,则,

(ii)一致稳定的,若(i)中的δ与t0无关;

(iii)吸引的,若对 ∀ε＞0,t0∈R+,∃δ= δ(t0)＞0,T= T(t0,ε)＞0,使当|x0|＜δ时有, |x(t,t0,x0)|≤ε,t≥t0+T;

(iv)一致吸引的,若(iii)中的δ,T均与t0无关;

(v)渐近稳定的,若(i)与(iii)同时成立;

(vi)一致渐近稳定的,若(ii)与(iv)同时成立.为方便起见,我们引入下列记号:

K={a∈C[R+,R+]:a(s)关于s严格单增,且 a(0)=0};

Ω1={P∈C[R+,R+]:P(s)关于s非减, P(s)＞s,s＞0,且 P(0)=0};

Ω2={H∈C[R+,R+]:H(s)关于s非减, H(s)＞0,s＞0,且 H(0)=0}.

1 主要结果

定理 设存在函数V∈V0,a,b∈K,P∈Ω1及 H∈Ω2满足:

(i)a(|x|)≤V(t,x)≤b(|x|),(t,x)∈[t0,∞)×S(ρ);

(ii)对所有 k∈N及x∈S(ρ1)有,

(iii)对系统(1)的任意解 x(t),当V(s,x(s))≤P(V(t,x(t))),t′≤s≤t,t′≥t0时,有,

其中,g:[t0,∞)→R+局部可积;

(iv)∃τ＞0,λ＞0,使得对 ∀k∈N有,2τ＜tk-tk-1≤λ,同时,对任意μ＞0,有,

则系统(1)的零解是一致渐近稳定的.

证明 ∀ε:0＜ε≤ρ1,∃δ=δ(ε)＞0,满足, P(b(δ))≤a(ε).∀t0∈R+,不妨设,t0∈[tk-1, tk),记V(t)=V(t,x(t)),则当|x0|＜δ时,有,

即,|x(t0)|＜ε.

下证,

首先证明,

若不然,∃t—∈(t0,tk),使得 V(t—)＞ b(δ)＞ V(t0),则令,

那么,由V在(t0,tk)上连续知,V(t＊)=b(δ),D+V(t＊)＞0,且V(t)≤V(t＊),t∈[t0,t＊],于是,

由(iii)知,

矛盾,故(2)成立.

由(2)及(ii)知,

同理可证,

然后证明,

先证,∃t＊∈[tk,tk+1)满足,

若不然,对所有 t∈[tk,tk+1)有,

由式(3)与(6)有,

由(iii)知,

于是,

又由式(3)与(6)有,

则,

与(iv)矛盾,故式(5)成立.

然后再证,

由式(3)知,

由(iii)知,D+V(t—)＜0,矛盾,故式(8)成立.

由式(8)及(ii)有,

又由式(3)知,

同理可证,

由数学归纳法知,对于j=0,1,2,…,有,

从而,

因此,|x(t)|＜ε,t≥t0,即系统(1)的零解是一致稳定的.

由系统(1)零解的一致稳定性知,对于ε=ρ1,∃ρ＞0,满足 P(b(δ))= a(ρ1),使得对 ∀t0∈R+,当|x0|＜δ时,有|x(t)|≤ρ1,且V(t)≤P(b(δ)),t＞t0.对 ∀ε:0＜ε＜ρ1,由 P(s)＞s, s＞0知,∃d= d(ε)＞0,满足,

设N为满足P(b(δ))≤a(ε)+Nd的最小正整数,下证,∃ri∈[tk+i,tk+i+τ],使得

显然,式(9)0成立.设式(9)i对某个i:0≤i＜N成立,须证,∃ri+1∈[tk+i+1,tk+i+1+τ]有,

首先证明,∃ri+1∈[tk+i+1,tk+i+1+τ],使得,

若不然,对所有 t∈[tk+i+1,tk+i+1+τ]有,

则,P(V(t))＞V(t)+d＞a(ε)+(N-i-1)d+d= a(ε)+(N-i)d≥V(s),ri≤s≤t, t∈[tk+i+1,tk+i+1+τ].

由(iii)有,

则,

又,

于是,

故,

与(iv)矛盾,故式(10)成立.

下面再证明,

若不然,∃t—∈(ri+1,tk+i+2)使,

则,∃t＊∈[ri+1,—t)及—t∈(t＊,—t)使,V(t＊) =a(ε)+(N-i-1)d,D+V(—t )＞0,且V(t＊)＜V(—t),于是,

由(iii)知,D+V(t—)≤0,矛盾,故式(11)成立.

然后再证 ∃r＊

i+1∈[ri+1,tk+i+2)使,

若不然,对所有 t∈[ri+1,tk+i+2)有,

由式(11)有,

V(s)≤P(V(t)),ri+1≤s≤t,t∈[ri+1,tk+i+2),则由(iii)知,D+V(t)≤-g(t)H(V(t)),t∈[ri+1,tk+i+2),于是,

又由式(11)及式(13),

故,

从而,

与(iv)矛盾,故式(12)成立.

最后,证明,

若不然,∃t⌒∈(r＊

i+1,tk+i+2)使,

则,∃～t ∈ [ri＊+1,ti+i+2) 及∧t∈ (～t ,⌒t]使, P(V(～t))=a(ε)+(N-i-1)d,D+V(∧t)＞0,且V(～t)＜V(∧t).由,式(11)有,

由(iii)知,D+V(∧t)≤0,矛盾,故式(14)成立.

由式(14)及(ii)有,

又由式(11)知,

同理可证,

由数学归纳法知,对于j=2,3,…,有,

即式(9)i+1成立.

从而式(9)i对所有i=0,1,…,N均成立.

当i=N时,

于是,|x(t)|≤ε,t≥tk+N+1.令,T=T(ε)= (N+2)λ,则,t0+T=t0+(N+2)λ＞tk-1+(N +2)λ≥tk+N+1,因此,

即系统(1)的零解是一致渐近稳定的.

[1]傅希林,阎宝强,刘衍胜.脉冲微分系统引论[M].北京:科学出版社,2004.

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[3]Shen J H,Yan J R.Razumikhin-type Stability Theorems for Impulsive Functional Differential Equations[J].Nonlinear Analysis, 1998,33(1):519-537.

[4]吕濯缨,傅希林.脉冲积分微分方程的有界性与Lagrange稳定性[J].科学技术与工程,2005,5(16):1121-1122.

[5]吕濯缨,董斌,李晓迪.脉冲积分—微分系统解的有界性[J].成都大学学报(自然科学版),2008,27(2):109-111.