b值随深度的变化：南加州地区计算机密集检验的结果

D.Amorese J.－R.Grasso P.A.Rydelek

b值随深度的变化：南加州地区计算机密集检验的结果

D.Amorese J.－R.Grasso P.A.Rydelek

通常认为古登堡—里克特关系式中的b值反映了地壳的应力状态；因此，b值在时空上的变化能为地壳构造提供重要的信息。我们研究了选自南加州的7个区域的b值随深度的变化。之前有研究详细地描绘了加州地区b值随深度的变化图，而我们的研究没有如此系统化。我们的方法与Mori和Abercrombie应用在局部区域的方法很相似。与之前的一些研究相比，我们的研究表明，b值的变化在统计上并不显著，b值随着深度的增加而减小的这一现象应慎重解释。我们采用的地震目录是由南加州地震台网（SCSN）记录并由Richards－Dinger和Shearer重定位的100 000个地震事件中的子事件。在比较b值差异时，我们通过与自助检验法的比对研究了宇津检验法（Utsu's test）的特性。我们的研究结果也对宇津检验法在比较b值差异时的相关性提出疑问。模拟结果和真实数据都显示出宇津检验法倾向于反驳零假设，更认同b值是显著不同的假设。

数值近似与分析 空间分析 统计地震学 北美

引言

地震学上最基本的统计关系式是古登堡—里克特（G－R）定律（Gutenberg and Richter，1944）

式中a和b是常数，M是震级，N（M）是特定时间窗内发生的震级≥M的地震次数。b值具有描述震级—频度分布（FMD）的特征，它反映了某一区域、某一时间段内大小地震频数的相对比例关系。因为b值通常作为应用剪切应力与物质非均匀性的一个指标（Mogi，1962；Scholz，1968；Mainet al，1992；Mori and Abercrombie 1997；Schorlemmeret al，2005），则一个重要的问题就是b值在时空上是否存在显著变化。简言之，当围压随着深度而增加时，b值可能减小，而平均地震震级可能增大。这就从推测的b值与围压的关系解释了为什么在统计地震学、地震危险性分析（大震复发周期的估算）和火山地震学（岩浆囊的描绘）中，b值的变化是个重要的参量（Wiemer and Wyss，2002；Zuniga and Wyss，2001；McNutt，2005；Murruet al，2007）。许多研究结果都认为b值在时空上存在不均匀性（Wiemer and Benoit，1996；Amelung and King，1997；Molchanet al，1997；Mori and Abercrombie，1997；Wiemer and Wyss，1997；Wysset al，1997；Poweret al，1998；Wiemeret al，1998；Wysset al，2000；Gerstenbergeret al，2001；Zuniga and Wyss，2001；Rydeleket al，2002；Schorlemmeretal，2003；Murruet al，2004；Bridges and Gao，2006；Murruet al，2007）。但是，一些地震学家也指出，在某些情况下b值表面上的变化实际并不显著（Del Pezzoet al，2003），另有一些学者也认为b值的变化可能是由于统计上的不精确性导致的（Kagan，1999）。当我们认识到b值的测定存在着众多不稳定与不确定的来源时，这些观点就不足为奇了。根据 “奥卡姆剃刀原理”，最简单的解释也最有可能是正确的。因此，当观察到b值在时空上有变化时，我们可以推测这是由网络运行参数的变化或地震台站密度的空间变化导致的。然而，b值的计算误差也会潜在地导致b值的变化。Wiemer和 Wyss（2000）指出，起始震级的错误选择也会对b值计算带来显著的偏差。Marzocchi和Sandri（2003）指出，震级间隔的选择和震级测量的误差也会引起计算误差。计算b值时也可能存在其他的问题和误差来源：

（i）样本量的不足。

（ii）不同震级类型的混用。

（iii）人工爆破的影响。

（iv）震群的影响。

我们应该注意的是，一些认为b值存在变化的研究（Wysset al，2000；Rydeleket al，2002）并未进行任何统计上的假设检验就得出结论。其中，大部分研究（Mori and Abercrombie，1997；Bridges and Gao，2006；Gerstenbergeret al，2001；Zuniga and Wyss，2001；Murruet al，2004）仅用一种检验法去支持他们关于b值变化的结果，也就是宇津检验法（Utsu，1992，1999）。而这一方法是检验拟合优度和均匀性的；因此，它不能评估单侧零假设的显著性。在本研究中，我们提议用另外的检验法去测试b值差异的统计显著性。我们的第一种方法是在用 Aki－Utsu方程（Aki，1965；Utsu，1965）计算b值时，基于自助检验法去估计b值比较统计量的相关性。如有可能，我们用非参数线性回归法可以相互检验计算的b值结果。

在简要概括之前南加州地区b值的研究结果之后，上述方法会一一给出。随后我们会使用一些数值模拟方法比较b值不同的计算方法（Aki－Utsu法和非参数方法）。接着，我们用数值模拟法比较不同显著性检验法对b值差异的检验结果。最后，我们研究南加州7个子区域的b值与深度的关系，研究区域面积从900km2到2 500km2。

1 南加州地区b值的一些研究成果

本部分主要介绍Gerstenberger等（2001）的研究。在其文章中，Gerstenberger等（2001）检验了地壳浅部的b值比地壳深部的b值明显高的这一假设。他们系统地绘制了加州地区浅部与深部b值的比率rb，并检验在99%的水平下b值的差异是否显著。他们采用了北加州与南加州的地震数据进行检验。对于南加州地区，Gerstenberger等采用的是Richards－Dinger和Shearer（2000）重定位后的高质量地震数据，时间从1981年3月至1998年2月。由于南加州地区有采石场，因此作者去除了格林尼治时间16∶00～3∶00时段内的所有白天的地震事件。他们在研究区域内以包含1 000个地震事件的圆柱体、每隔5km来采样。

为了计算浅部与深部的b值比率（rb），Gerstenberger等将半径≤40km的圆柱体分成0～5km的浅部区域和8～15km的深部区域，最高震级取5.5，并采用AU公式（Aki，1965；Utsu，1965）计算b值。每次计算b值时要求震级大于起始震级m0的地震数至少为50个。Gerstenberger等应用宇津检验法（Utsu，1992）测定了b值在深浅部区域上的差异是否显著。

Gerstenberger等的研究涉及南加州和北加州地区，而我们仅研究了南加州地区。Gerstenberger等发现南加州34.4%的区域的rb＞1.0（即浅部b值比深部b值高）。他们把这一值与rb＜1.0的小区域（南加州样本的1.1%区域）作比较。从他们对南加州和北加州地震目录的分析中，Gerstenberger等也赞同之前的研究（Mori and Abercrombie，1997；Wiemer and Wyss，1997；Wiemer et al，1998），并得出b值随深度的增加而减少是一般趋势这一结论。此外，Gerstenberger等把随机模拟与宇津检验法结合，然后提出rb＜1.0的值可能是由于b值的随机波动引起的。

2 研究方法

2.1 b值的计算方法

虽然古登堡—里克特关系式对许多地震事件的震级分布似乎是最适用的（Utsu，1999），但仍有许多新的地震震级分布式被提出。因此，我们在计算加州地区的b值时假设震级分布遵循古登堡—里克特关系式。尽管目前一些研究者（Marzocchi and Sandri，2003）提到由 Tinti和 Mulargia（1985，1987）对b值估算作出的改进，但我们还是按照Gerstenberger等（2001）的方法并采用Aki－Utsu（Aki，1965；Utsu，1965）关系式。AU关系式是b值计算中使用最广泛的公式。经连续校正（在本研究中，震级大小四舍五入至一个小数位）的Aki－Utsu关系式（Aki，1965；Utsu，1965）如下：

这一误差估算值是很低的，因为潜在的统计模型忽视了误差的可能来源。最大的误差来自于起始震级的不确定性，但也应该注意震级的不确定性（Rhoades，1996）。由于本文所用的数据集并不包括震级不确定性的信息，因此震级的不确定性在本研究中并不直接存在。正如Schorlemmer等（2003）和 Amorese（2007）的研究，我们仅采用一个自助法来估算b值更多的实际误差。自助法旨在模拟震级―频度分布的变化。

为了加强本文的研究结果，我们考虑了另一种估算b值的方法。许多作者指出，用最小二乘法估算b值在统计学上是不当的或是有偏差的 （Weichert，1980；Bender，1983；Sandri and Marzocchi，2007）。比如：用线性最小二乘回归法拟合得出的b值，其主要的缺点是震级―频度分布会显著受一些大震的影响。因此，我们采用的是Siegel的均值重复（Siegel，1982）这一非参数回归方法。该方法能有效抵抗异常值和大的计算误差（Smirnov，2003），并且要求关于误差的有限的先验信息。在古登堡—里克特关系式中，如果考虑n个震级档，对于每一点i则要计算出n－1个斜率，在i点与其他点之间的b值是：

式中Mi≠Mj。

然后对每一点i取斜率的中间值，这样最后能得到n个中间值。在均值重复法中，斜率的估计值就是这些n中间值的中间值。因此，b值是：

通过如下的自助法能估算斜率的标准误差（SE）（Siegel，私人通讯，2007）：

（i）n对样本（M，log10（N））作为一个总体并且可重复抽样。

（ii）通过自助样本可以计算出bRM值。

（iii）重复第一步、第二步B次 ［B足够大且B＞1 000（Efron and Tibshirani，1993；Mooney and Duval，1993）］。

（iv）bRM的自助标准误差就是B次自助计算的bRM值的标准偏差。

如果重复次数为B，则自助程序计算的bRM的标准误差可通过下式估算：

本研究中，我们用均值重复回归法来拟合非累积震级―频度分布。震级间距取0.1。

2.2 b值差异的显著性检验

b值的差异显著性检验这一问题首次由Utsu（1966，1992，1999）提 出。Utsu（1966）提出的第一种解决方法是基于F分布。给定两组地震数据A和B，这一检验法是通过在给定置信水平下，自由度分别为2sA和2sB的F分布比较bB/bA（bA、bB都是样本的b值，bA＜bB），以此来检验b0A＝b0B（总体的b值）这一假设，其中sA、sB分别为A组、B组的地震频数。

Utsu（1992，1999）也提出基于赤池弘次信息准则（Akaike Information Criterion）的相似检验法。这一检验法在比较b值时是应用最广泛的（Mori and Abercrombie，1997；Zuniga and Wyss，2001）。对于A和B两组地震，这一方法在于计算AIC的差异：

式中NA、NB分别指用来计算bA、bB的地震数目。通常情况下，如果ΔAIC＞2则认为AIC的差异是显著的。ΔAIC的概率关系式为（Utsu，1992）：

因此，如果ΔAIC＝2，则p△AIC≈0.05。应该注意的是，如果起始震级不同，但假设的古登堡―里克特关系相似的两个地震数据集只能由ΔAIC法检验。这一假设至今仍备受争议（Rydelek and Sacks，2003；Wiemeret al，2003）。但是F检验和AIC检验最重要的限制是它们的零假设（数据遵循特定的分布），因为这两种检验方法都是拟合优度检验。因此这些方法未能为零假设（“b1－b2＝0”）比较的显著性提供有力的标志，特别是检验单侧备择假设（“b1－b2＞0”）时。

本文中我们使用自助重抽样程序去检验bAU的差异。当结合经验中b值计算的所有不确定性的来源时，自助法（Efron，1979；Efron and Tibshirani，1993）允许粗略的统计推断。自助法的基本假定是观测数据能代表相关的总体。Schorlemmer等（2003）用自助法计算了b值差异的稳定性和显著性。

一些统计量也可以通过自助法计算出。在本研究中，自助法可以估算得到：

（i）bRM的标准误差（见2.1节）。

（ii）两个总体的bAU值相等时，零假设下的检验统计学的p值。

这一方法的原理在于用蒙特—卡罗模拟方法从原始样本中重新抽样。自助程序很耗时并且它需要一个可靠的伪随机数发生器，而现代电脑则很容易满足以下两方面的要求：

（i）计算机的计算能力日渐增强并且成本降低。

（ii）自由的R统计环境（Ihaka and Gentleman，1996）提供了一些有效的伪随机数发生器。

2.1 节中已描述了用自助程序能够计算bRM的标准误差。下面将提到用该程序估算统计检验学中的p值。为了正确估算p值，应当在合适的零假设下去重新采样。我们考虑了两组独立随机的地震震级样本并且我们对b值总体的差异感兴趣。为了得到差异的原假设分布，当建立重复抽样时我们需要强制认定b值是相同的。这是Fisher置换检验（Fisher，1934）的重新采样的版本，但用b值代替了比较统计学的工具。置换统计检验的地震学版本的算法如下：

（i）两个震级—频度分布中所有的n＋m震级值组合起来形成x。

（ii）从n＋m中重复抽样B个样本。前n个观测值被称作z＊i，剩下的m个观测值被称作y＊i，i＝1，2，3，…，B。

（iii）每一个样本中可估计出T（.），T（x＊i）＝b（z＊i）－b（y＊i），i＝1，2，3，…，B。

（iv）自助程序得到的单边p值被定义为：

式中T0是从观测样本中计算的T值（也就是b值的观测误差）。

为了检验bRM的差异，我们遵循Siegel（Siegel，私人通讯，2007－11－27）建议的自助t检验，这一统计量的计算如下：

式中SEA、SEB是由自助程序得到的A、B组bRM的标准误差。如果｜t｜＞1.96，则在5%的水平下差异是显著的。

3 合成地震目录的检验

我们利用合成地震目录比较了b值计算方法和不同检验程序的性能。目录中震级―频度分布完整的部分遵循古登堡—里克特关系，不完整的部分以标准的累积分布函数为模型：

式中，μ表示50%的地震都能被监测到的临界震级，σ表示描述震级—频度分布中不完整部分的震级范围的标准偏差。这一选择不是基于物理推理而是基于Ogata和Katsura（1993）及 Woessner和 Wiemer（2005）用到的 “形态相似”。在生成这一合成目录后，震级按0.1的间距排列来模拟实际地震目录中离散的震级值。

合成地震目录仅是用来研究随机波动情况和消除自然地震事件中由时间和/或空间的变化带来的影响。图1从理论上分别模拟了b＝1.0和b＝0.7时两个合成目录的震级―频度分布情况。每个合成目录都包含1500 000个地震且90%的震级都大于0.98。

3.1 b值计算方法性能的比较

图1 合成的震级频度分布。（a）b＝1，（b）b＝0.7

之前没有用均值重复回归法估算过b值，因此我们首先检验该方法计算正确b值的能力和相应的不确定性。其次检验用最大似然法估算b值标准误差的准确性。分别从每个包含1500 000地震事件的目录中，随机抽取10 000个不同地震，对这10 000个地震样本（子目录）进行调整得到m≥m0的数据个数从50到2 500。这些尺寸范围并不是任意的，因为不同研究选取50作为计算稳定b值的最小地震事件数目（Murruet al，1999；Gerstenbergeret al，2001；Schorlemmeret al，2003；Bridges and Gao，2006）。在这些研究中，用超过2 500个地震事件计算局部地区b值的情况很少。遵循Amorese程序（2007），每一个包含10 000个地震事件的子目录中的m0（起算震级）由自助程序中每个震级—频度分布的1 000个重复抽样体来确定。然后，我们计算bAU、bRM和它们的误差：

（i）bAU的SESB（公式3）。

（ii）SEAU，利用自助程序重复计算bAU1 000次得到的标准误差。

（iii）SERM，利用自助程序重复计算bRM1 000次得到的标准误差。

为了研究b值计算的偏差，我们记录了当实际b＝1和b＝0.7时，随着m≥m0的地震个数变化产生的不同b值（图2）。从图中可看出，bAU值十分靠近理论b值，而bRM尤其是bLS则低估了真实的b值。我们发现仅当地震频度N＞600时，bRM的估计才比较可靠。因此在下文中，均值重复法仅应用在最大数据量上。均值重复法虽然不是计算b值最有效的方法，但它比最小二乘回归法要好。在m≥m0的地震数据足够大时，均值重复法可作为最大似然法的有效替代法。

为了研究结果的准确性，图3标绘出不同b值标准误差与震级m≥m0的地震频数之间的关系。任何情况下，样本容量越大，标准误差越小（图3）。从图中观测到由Shi和Bolt公式（Shi and Bolt，1982）得到的标准误差低估了真实的标准误差：在图3中，均方差（用来代替真实的标准误差）系统地大于Shi和Bolt的标准误差估计。通过比较，自助法计算的标准误差与均方差之间较为吻合。

3.2 b值差异显著性检验方法的特性

通常用数值模拟比较p值和不同的显著性检验法。我们采用的比较实验步骤如下：

（i）我们从合成的含有1500 000个地震事件的目录中（b＝1.0）随机选取两个样本N1和N2。

（ii）用最大似然法和均值重复法对每一样本分别计算b值。

（iii）两个地震样本间b值差异（双边假设）第一类错误（即如果零假设正确，放弃零假设）的p值由二样本自助检验法（bAU值的比较）和宇津检验法（ΔAIC）计算得到。在1 000个重复抽样体中进行计算。

图2 实际b＝1（上图）和b＝0.7（下图）情况下，蒙特—卡罗法模拟不同方法计算的b值随震级m≥m0的地震频数变化的关系图。从左至右分别是3种拟合方法：Aki－Utsu最大似然法（AU）、均值重复法（RM）和正交最小二乘回归法（LS）。每一种框线图至少包含140个模拟量，每一框格中的水平线代表中间值。底部和顶部的框分别代表第25%和第75%的值。虚线表示数据范围，不包括异常值。震级m≥m0的地震个数被分成16个组区间

（iv）程序重复10 000次。

以N1＝N2＝1000和N1＝N2＝300为例，结果在图4中给出。在所有情况下，宇津检验法的p值从未大于0.4；这一非常小的结果从公式（8）中可以得出：当bA＝bB时，p＝exp（－1）＝0.37。总体来看，宇津检验法的p值比自助检验法的p值小（图4a和4b）。而且，由于数据样本取自于同一人工合成的地震目录的总体，宇津检验总是更趋向于拒绝零假设。事实上，在很少的情况下，低p值能够反映零假设实际上是正确的：两个比较的样本都是来自于一个总体。对于宇津检验，大约12%的p值小于0.05（图4a和4b），3%～4%的p值小于0.01。宇津检验是有偏差的，而自助检验法似乎是正确的，例如：对于自助检验，90%以上的p值大于0.1，95%以上的p值大于0.05（图4a和4b）。

4 数据

图3 b值标准误差的对比图。（a）实际b＝1时，蒙特—卡罗法模拟不同方法计算的b值标准误差随震级m≥m0的地震频数变化的关系图。对比了两种计算法：Shi和Bolt（1982）计算的标准误差（SB）和自助法计算的标准误差（BSE），其中b值由最大似然法计算出。每一个框线图至少包括140个模拟数值。每一框格中的水平线代表中间值。底部和顶部的框分别代表第25%和75%的值。虚线代表数据范围，不包括异常值。在每一地震频数N的间隔内，

图4 表示二样本自助检验法（bAU值的比较）和宇津检验法（ΔAIC）p值之间关系的散射图和边缘直方图。图中的1∶1直线供参考。（a）两个样本量的大小均为1 000。（b）两个样本量的大小均为300

Gerstenberger等（2001）指出，尽管具有高rb值的单个小区域可能存在，但如果计算大面积区域的b值，则这些小区域不易被发现。因此，他们采用R≤40km的圆柱体抽样并绘制rb值。虽然rb分布图不是我们研究的目的，但我们也采用半径大概相似的圆柱体来抽样：我们研究了7个四边形区域，这些区域的最小边长和最大边长分别为28km和67km。根据Gerstenberger等（2001，图1b）的研究，这7个子区的地震密度充足且rb＞1。在本研究中，区域的恰当选择（区域范围已在表1和图5中给出）能确保计算的重现性。本文采用的高质量数据来源于重新定位后的南加州地震目录（Richards－Dinger and Shearer，2000），实际上Gerstenberger等（2001）采用的也是同一数据 集 （http：//www.data.scec.org/ftp/catalogs/dinger－shearer）：时间段是从 1981年3月到1998年2月。因为我们只关心天然地震，所以我们去除了格林尼治时间16∶00～3∶00时日间段的地震事件，仅采用夜间段的地震。Gerstenberger等（2001）的研究也去除了相同日间段的地震。然而，我们注意到Richards－Dinger和Shearer（2000）去除了太平洋标准时间7∶00～19∶00时（格林尼治时间14∶00～2∶00时）的日间段地震，这一选择对于南加州地区也是可行的。

采用小数目的地震数据会降低计算的稳健 性 （Howell，1985；Pickering et al，1995；Mori and Abercrombie，1997），这在图2中已举例说明。因此，我们从至少包含200个地震事件（表1）的数据集中计算b值。根据3.1节的结果，只有当数据集中至少包含600个地震事件时才可以用均值重复法（艾迪尔怀尔德地区、索尔顿城；表1）。遵循Gerstenberger等的研究，我们对每个研究区域都选择深度范围为0～5km和8～15km的地震事件。根据Richards－Dinger和Shearer（2000），重新定位后的地震事件的平均震源深度的不确定性（标准误差）为740m，这与0～5km和8～15km深度范围的3km深度间隙相比要小得多。由于我们使用的是最高质量的地震数据，所以在某种程度上我们确定震源定位的不确定性对显著的b值变化不会产生太大影响。分析中用到的数据样本信息在表1中列出。用Amorese（2007）的程序计算出每一研究区的完整性。我们没有直接考虑完整起始震级可能的时间变化，但这些变化（http：//completeness.usc.edu）与m0值的不确定性相比要小很多（表2）。

自定义了余震（De Rubeis et al，2007）以来，许多学者（Oncel and Alptekin，1999；Knopoff，2000；Chan and Chandler，2001）都提议在计算区域b值时采用去除余震的目录。Gerstenberger等（2001）在计算b值前没有去除余震。在本文中，7个研究区的4个（圣保拉地区、格伦代尔地区、索尔顿城、英皮里尔地区，图5）可能会受到强余震的影响。根据Mori和Abercrombie（1997），我们推测震群的影响是一个关键因素。因此，我们采用与Mori和Abercrombie（1997）相同的程序去除了以上4个区域的余震。该程序可以把M≥6.0的余震序列挑选出来。从而我们去除了位于惠蒂尔纳罗斯（1987－10－01，34.1°N，118.1°W，ML5.9）、埃尔莫尔牧场/苏必斯蒂森丘陵（1987－11－24，33°N，115.8°W，MW6.1，6.6）和北岭（1994－01－17，34.2°N，118.5°W，MW6.7）主震周围半径为30km的地震数据。实际上，30km这一距离大致相当于一个震级6.7的主震的发震断层的长度（Wells and Coppersmith，1994）。Mori和Abercrombie根据每一强主震的日期去除发震后一年内的地震数据，而我们仅去除每一主震发生12天后的地震事件。这两个时间间隔在Schuster图（图6b和6c；Rydelek and Hass，1994）中的时间模式是一样的。一些大的卷曲特征（图6a）在没有太减少数据量的情况下被去除了。很明显，去除后的图表中依然存在一些卷曲（图6b～d），这表明我们去除余震的程序并不完美。确实，在我们去除余震的程序中并没有去除M＜6级主震的余震。一种完美的去除余震的程序超出了我们的研究范围。而我们也没有采用去除余震算法（Reasenberg and Jones，1989；Frohlich and Davis，1993）的原因是它会去除较小的余震，而这样会导致b值（Mori and Abercrombie，1997）系统地降低。经过粗略筛选之后，我们留下南加州地区（32.6～36°N；119.5～115°W）0～5km 和8～15km深度范围的65 113和34 492个晚间段发生的地震事件。去除余震程序仅去除了总数的2.6%地震数据（2 619个 “余震”），但这些余震中的43%处于我们研究的其中一个区域（英皮里尔地区）。正如下一节所述，我们确定了一开始的猜测：数据中的震群确实相当程度地改变了我们的研究结果。其实，余震较其他的地震数据集并没有显示出不同的震级―频度分布，但是它们的发生非常迅速以至于使监测系统崩溃。这样会导致较高的完整起始震级，从而引起比数据集剩余部分更小的b值（Helmstetteret al，2005）。

表1 不同研究区域的数据样本信息

5 研究结果

5.1 阿尔文地区

该地区0～5km深度范围内包含了1 250个地震数据样本，而8～15km的范围内只有288个地震数据。用最大似然法（Aki－Utsu公式）算出的两个深度范围的b值分别是b＝0.9和b＝0.7（表2和图7）。宇津检验法检验出超过99%的置信度下，0～5km和8～15km的深度区间b值差异不显著的可能性是不存在的（表2）。而应用自助检验法对这两个样本bAU的比较进行检验，显示零假设是正确的（p＝0.16，表2）。根据3.2节的研究结果，我们认为阿尔文地区b值随深度变化的差异性并不显著。

图5 重新定位（Richards－Dinger and Shearer，2000）的南加州地震活动和7个研究子区。黑点是1981年3月至1998年2月去除余震后夜间段不同深度档的地震事件（去除格林尼治时间16∶00～3∶00之间的地震事件），上图是0～5km深度档，下图是8～15km深度档。白色五角星是惠蒂尔纳罗斯、埃尔莫尔牧场/苏必斯蒂森丘陵和北岭地震的震中

5.2 圣保拉地区

从表2中看出，8～15km深度的b值（0.77）比0～5km深度的b值（0.97）小。任何统计检验法的显著性水平都小于0.01，在这种情况下可以拒绝零假设（表2）。图7是该地区的震级―频度分布图。表1显示了0～5km和8～15km深度范围的b值都受到余震显著的影响（余震数量分别占浅部和深部地震总数的22%和10%）。事实上，原始数据样本降低了8～15km深度（b＝0.68）和0～5km深度（b＝0.72）的b值。在这种情况下，这种做法从根本上改变了比较检验法的结果，也就是说，浅部和深部b值之间的差异性不再显著（自助检验法得到二样本的p＝0.32）。由于我们是从去除余震的地震目录中得出结论，因此我们认为圣保拉地区的b值随深度增加而减小。然而，要认识到这一推论也受去除余震程序的影响。

5.3 格伦代尔地区

在格伦代尔地区用来计算深度范围0～5km和8～15km的b值的地震事件非常少（表1）；8～15km深度范围用来计算b值的数据仅为140个（表2）。在低震级部分，0～5km和8～15km深度的震级―频度分布是相同的（图7）。8～15km深度地震样本的震级―频度分布在较高震级处出现 “掉头”。这是由于1988年12月3日在惠蒂尔纳罗斯主震震中发生的一个5级地震引起的，所以我们的去除余震程序也不可能完全胜任。我们面对着一个选择数据的质与量的困境：太严格的去除余震程序会妨碍计算的稳定。因此，我们选择保留这一5级地震和一些其他的余震。3种检验法得出的结果均一致，即地壳浅部b值比深部b值小（表2和表3）。格伦代尔地区的地震活动性显示出地震的丛集性能改变b值的比较结果：如果使用未去除余震的地震数据，那么浅部和深部的b值分别是 1.13 和 0.71，且宇津检验法（ΔAIC）和两个样本的自助检验法检验出该地区的b值随深度增加而减小，两个检验法的p值都小于0.01。实际上，在这种情况下，几乎是0～5km深度范围的地震事件与8～15km深度范围的惠蒂尔纳罗斯地震的余震之间的比较（其中35%的地震事件被认为是可能的余震；表1）。从去除余震的地震目录中，我们推断格伦代尔地区的b值随深度变化的差异不显著。

表2 7个子区域的研究结果

图6 7个研究区地震活动性的Schuster图。图中只总结了夜间段的地震事件。余震序列会在相位路径中引起一些卷曲的特征。在图b，c和d中，最大主震（M≥6）附近30km范围内的地震事件已经去除。每个主震后余震的去除时间间隔分别是1年（b）、12天（c）和10天（d）

5.4 圣安娜地区

圣安娜地区包含的地震事件也相对较少，8～15km深度范围用来计算b值的地震数小于150（表2）。在该地区，两种宇津检验法都拒绝了b值均匀性的零假设，而自助检验法则认为无足够证据去拒绝零假设（表2）。对bAU值比较的自助检验法在1%的显著性水平下也不能拒绝零假设（表3）。从震级―频度分布中，我们能推测出斜率并不精确。因此对圣安娜地区，我们认为没有可靠的依据得出b值随深度变化而变化的结论。

5.5 艾迪尔怀尔德地区

在艾迪尔怀尔德地区，用来计算b值的两个深度区间都有700多个地震数据（表2），因此得到的结果最可靠。所采用的数据集越大，用均值重复法计算的b值就越有说服力。如该地区，任一统计检验法都不能在1%的显著性水平下拒绝零假设（表2）。即使自助单侧检验也不能拒绝零假设而赞同“深部b值比浅部b值小”的假设（表3）。实际上，即使在5%的显著性水平下也没有足够的证据拒绝零假设。这两个深度范围的震级—频度分布在M＝2之前几乎完全重合（图7）。因此我们推断艾迪尔怀尔德地区的b值随深度变化的差异性不显著。

图7 研究区深度范围0～5km（三角形）和8～15km（圆形）的地震震级—频度分布图。实线代表最大似然法估算的b值。虚线代表的是均值重复法估算的b值。为了便于比较，对每一震级—频度分布调整a值使直线穿过对应的 ［m0，N（m0）］

5.6 索尔顿城地区

索尔顿城用来计算b值的地震数据相对较多，在浅部和深部区域的地震事件分别为1 281和575个。在此条件下能够可靠地估计b值及其不确定性的推测是合理的。该区深部b值比浅部b值明显要大，但是没有统计检验说明b值间的差异显著（表2）。当然，采用单侧检验（对立假设是“深部b值小于浅部b值”）能得到高p值（表3）。从图7可以看出，实际数据与bRM和bAU拟合得很好。而且，图中清楚地显示这两条线几乎是平行的。我们的结果再次与Gerstenberger等（2001）的图1的结果不一致。

5.7 英皮里尔地区

英皮里尔地区不同深度段的地震数目变化很大，深部的数据相对较多（3 162个地震），浅部的地震数据小于400个（表2）。宇津检验法得到的结果与深部b值不同于浅部b值的这一假设（表2）是一致的。然而，自助检验法或用原始数据计算b值则得出了不同结论。从原始数据中得到的深部区域的b值是0.86，浅部区域的b值是0.94。在这种情况下，所有的比较检验都未能拒绝零假设。在圣保拉和格伦代尔地区，震群能在相同的变化趋势（减小）下改变b值，而在英皮里尔地区这一偏差不能拒绝零假设，因为余震主要影响了浅部（20%的地震事件是余震；表1）。在这些观察的基础上，我们得出结论：在英皮里尔地区，b值作为深度的函数并没有随深度的增加而显著减小。

6 讨论

在圣保拉地区，8～15km深度范围的b值明显减小。然而，其余地区的研究结果则显示，加州地区的b值随深度加深而减小的这一趋势并不像我们之前认为的是一种普遍现象。这7个研究子区覆盖了12 700km2，而b值随深度增加显著减小的区域（圣保拉地区的面积为1 815km2）仅为14%。这一结果与参考的Gerstenberger等（2001）的研究结果（样本区域34.4%的b值随深度显著减小）相差很大。当然，这一问题与我们选取的代表地区有关：7个研究子区中仅覆盖Gerstenberger等人研究区的1/5（图5，版图1b）。因此，我们的研究结果与Gerstenberger等的研究结果并不一致。

我们对b值随深度变化的研究结果也不同于 Mori和Abercrombie（1997）的研究结果。他们的研究方法与Gerstenberger等用到的方法有些不同。Gerstenberger等在计算每一子区（相对较小）的b值时，仅要求震级M≥Mc的地震数至少有50个。而Mori和Abercrombie考虑的研究区域更大，他们意识到充足的数据才能得到稳定可靠的结果，而Gerstenberger等提出对大面积区域计算单一b值可能不容易观察到小区域b值的变化。对于这一点，我们采取了一个折中的办法：我们采用小的研究区域但在每个区域用来计算b值的数据至少为140个。Mori和Abercrombie用南加州的数据计算浅部（0～3km）的整体b值是1.29±0.01，深部（12～15km）的整体b值是 0.97±0.02（Mori and Abercrombie，1997，表1）。他们所选的数据中去除了余震且最小震级为2.0。我们在32.6～36°N和115～119.5°W范围内用参考数据作同样的计算。我们发现在浅部b值（0.92±0.03）和深部b值（0.87±0.02）之间无显著性差异，其中不确定性从自助法计算的b值标准误差中得到。因此我们认同Gerstenberger等的论述：当计算大区域的整体b值时很难察觉b值的变化。Gerstenberger等发现南加州地区浅部和深部的b值分别是 1.08±0.13 和 0.90±0.12。考虑到所采用的数据集和计算参数不同，所有的研究结果都会不相同（表4）。我们计算浅部b值采用的数据集包括65 113个地震数据，起始震级m0＝1.6；计算深部b值用到34 492个地震数据，起始震级m0＝1.4。

一些因素会影响b值的比较。首先是错误估算震级―频度分布的斜率。我们已经检验过两种计算b值的方法的能力（图2）。由于已知余震会影响本底b值的计算，所以我们采用有余震和去除余震的两种数据集来计算b值。另外，我们绘制了每一个研究区域的震级―频度分布（图7）。这些数据点与线性的古登堡―里克特关系没有明显偏离，这很幸运，因为我们的分析中没有考虑震级―频度分布的非线性（Aki，1987；Knopoff，2000）。一个关键问题是震级测定的不确定性是怎样影响b值计算的（Marzocchi and Sandri，2003；Del Pezzoet al，2003），这一问题在本研究中没有说明。然而，不管这一潜在的可能导致偏差的来源是何因素，我们都没有有力的令人信服的理由推断我们的b值计算不正确，从而得到不可靠的比较。这一讨论也适用Gerstenberger等对b值的计算。

第二种会影响b值比较的因素是比较的方法不同。评价b值差异最普遍的方法之一是依靠宇津检验法（ΔAIC）的p值。但是从模拟（图4）和实例（表2、3）中聚集的证据表明，宇津检验法倾向于拒绝b值差异不显著的零假设。因此，可以把Gerstenberger等研究得到的b值随深度增加而减小解释为b值计算误差的随机波动。也就是说，对于南加州许多地区的b值随深度增加而减小的这一现象，最简单的解释也许与深度相关的地震物理学并没有关系。

我们的研究结果并不支持南加州b值随深度增加而减小是普遍现象的这一观点；然而，我们在圣保拉地区观察到的异常现象表明，在深度最浅的区域，小震级事件相对较多。对这一现象的简单解释是由于地壳的力学变化，可能是由于该地区地应力场更加均匀且深部的断裂较少（Mogi，1962；Scholz，1968；Mori and Abercrombie，1997）。

据我们所知，这是第一次彻底检验了宇津检验法的性能，也是第一次用多种方法研究b值空间变化，也就是说，我们探索了计算b值、b值的不确定性和b值差异显著性的其他方法。在这里我们也比较了Gerstenberger等人的研究结果，但我们的研究表明其他的一些研究高估了b值变化的度，b值随深度的变化这一问题需要对结果的精确分析和解释。

7 结论

我们挑选南加州的7个区域，采用自助法与非参数统计法研究了b值随深度增加的变化情况。在统计上，从南加州地震目录中获得的较大样本量和高质量的数据得到了可靠的研究结果。与之前所做的研究相比，在南加州的研究区域，我们发现除了圣保拉地区外，并没有有力的证据证明b值随深度的增加而减小的这一现象。因此，其他文献中提到的这一普遍现象似乎并不常见。

值得注意的是，之前的调查研究多半是基于宇津检验去推断b值差异的显著性。这里我们通过数值模拟表明，宇津检验并未能提供恰当的第Ⅰ类误差率并且它倾向于拒绝零假设；因此，这会导致对b值空间变化的错误结论和解释，所以我们对于宇津检验应该慎重采用。

表3 研究结果

表4 南加州地区地壳浅部（0～3或0～5km）和深部（12～15或8～15km）的整体b值

不管地震震级估算带来的可能误差，我们也证实了 Woessner和 Wiemer（2005）的研究结果：通过自助法分析表明，通常使用的公式（3）会低估b值的不确定性，因为它不考虑起始震级的不确定性带来的影响；因此，许多研究中会过高估计b值在空间（或时间）上的差异显著性。

最后我们提出，应该慎重看待以前那些基于b值变化的研究结果，特别是在临界显著性水平下的研究结果，因为这些研究的作者没认识到b值计算中误差的来源，其中震群对观测系统的打击也是个关键问题。

我们的研究结果说明，b值在空间或时间上变化的显著性多少有些被高估了。这些变化可能仅仅是局部的异常现象，而不是对地壳构造、应力模型和地球物理学等有重要意义的普遍现象。由日本密集的、高质量的地震台网得到的详细地震活动的研究成果（Ishibeet al，2008）也与我们的研究成果一致。目前只发现b值与震源机制是相互关联的（正断层比走滑断层的b值高），但没有任何迹象表明浅层地震活动b值是依赖于深度的。

我们提出了用来计算或检验b值（均值重复法）和评估b值差异显著性（自助检验法）的新的定量方法。当地震数足够大时，均值重复回归方法能可靠地计算b值。在较小程度上，自助假设检验，或称非参数统计程序，可以作为替代工具，通过b值变化来改进地壳成像的可靠性和质量。

原题：On varyingb－values with depth：results from computer－intensive tests for Southern California

（中国地震局地壳应力研究所 王玉婷、张力方译；吕春来校）

10.1111/j.1365－246X.2009.04414.x