两个地面运动分量作用下建筑物的三维振型静力弹塑性分析及其对高层建筑的评估

J.C.Reyes A.K.Chopra

两个地面运动分量作用下建筑物的三维振型静力弹塑性分析及其对高层建筑的评估

J.C.Reyes A.K.Chopra

目前局限于一个水平地面运动分量的振型静力弹塑性分析（MPA）程序，扩展到了建筑物在同时受两个水平地面运动分量作用下平面内对称或非对称结构的三维分析程序。也给出了该方法的变异形式，称为实用振型静力弹塑性分析（PMPA）程序，这种分析方法直接从地震响应（或设计）谱中估算地震需求。对它计算超高层建筑的地震需求的准确度进行了评估，说明该程序对非线性系统的分析和线性系统的响应谱分析几乎一样准确。因此，对于实际应用而言，实用振型静力弹塑性分析程序提供了一个诱人的可替代方法，使得地震需求可以直接从（弹性）设计响应谱估算出，从而避免了非线性响应谱时程分析中选择和标定地面运动的复杂性。

多分量 静力弹塑性 高层建筑 两分量

引言

地震工程行业在评估现有建筑物时和对新建筑物提出的设计上已开始从传统的代码程序转移到以性能为基础的程序。非线性响应时程分析（RHA）和非线性静态程序（NSP）现都被用于估计反映结构工程性能的工程需求参数（EDP）：楼板位移、层偏移、内力、铰转动等等。

结构的非线性时程分析通常选用几个（7个或者更少）地面运动记录，由于地面运动具有大量的信息记录，为了获得接近中等要求的结果，这些记录要经过适当的选择和标定。地面运动的选择和标定伴随着几项悬而未决的问题。与此相反，非线性静态（或静力弹塑性）程序则直接从地震设计谱中估算建筑场地的地震需求，避免了由选择和标定记录所产生的复杂性。

为了克服目前在大多数建筑评估指南中详细说明的非线性静态程序众所周知的局限性，研究人员开发出了改进的方法（Bracciet al，1997；Sasakiet al，1998；Kalkan and Kunnath，2006； Aydinoglu，2003； Kunnath，2004；Pourshaet al，2009）。基于结构动力学理论，振型静力弹塑性分析（MPA）已发展成包含对地震需求有显著作用的所有振动方式的贡献（Chopra and Goel，2002）。振型静力弹塑性分析程序实现了对钢筋混凝土抗弯框架（MRF）建筑的工程需求参数的优良估计（Goel and Chopra，2004；Bobadilla and Chopra，2008），同时保留了简单的概念和标准非线性静力程序计算的有效性。尽管在通过多层建筑的三维分析计算地震需求中至少应考虑地面运动的两个水平分量，但迄今为止，振型静力弹塑性分析程序仅限于确定单一地面运动分量的地震需求。为了解决这一问题，本文的第一部分将振型静力弹塑性分析程序（Chopra and Goel，2004）扩展到同时受两个水平地面运动分量作用的平面内对称或非对称建筑的三维分析。

本文的第二部分则针对的是因地震高发而闻名的美国西海岸的几座高层建筑的设计和施工问题。因为这些建筑物多数采用了高性能的材料或者超出了建筑规范规定的高度限制，它们是用另外一种基于性能的程序设计的（Moehle，2007）。这一方法要求对多分量地面运动的建筑物计算机模型进行非线性响应时程分析，以保证建筑物的适用性和安全性等同于对一般建筑物的规范规定条文要求。基于综合广泛的调查研究（Reyes，2009），本文探索了使用振型静力弹塑性分析程序估计超高层建筑地震需求的可选方法。

1 两个地面运动分量的振型静力弹塑性分析

1.1 整体概念

控制同时承受两个水平地面运动的N层建筑结构（假设各楼层平面内是刚性的）位移u的方程为：

式中，M为3N阶对角质量矩阵，包含3个子矩阵，m、m和Io；其中m与x向和y向自由度（DOF）有关，Io与结构转动自由度有关。c是阻尼矩阵，fS是结构抗力列向量。与x向和y向地面运动相关的影响向量ιx和ιy如下：

矩阵中1和0是所有分别等于1或0元素的N阶矩阵中的向量。因此，有效地震力是：

作用在结构上的这些力的空间分布由向量sx或sy确定，时间变量由或确定。这些力的分布可展开为振型惯性力分布sn的和（Chopra，2007）：

因此，

是有效地震力的第n个振型分量。

式中表示地面运动分量的下标x和y从s＊n和Γn中去掉了。由于峰值振型需求rnx的符号对CQC规定的精确度至关重要，所以方程式（7）必须包括Γn的符号以获得rnx的正确的代数符号。按一种合适的振型组合规则——例如CQC条例，把峰值振型需求rnx结合起来来计算总的需求rx。应用于一个地面运动分量作用的线弹性系统的振型静力弹塑性分析程序等同于标准的反应谱分析（RSA）程序。

这种分析方法独立地用于分析每个地面运动分量（x向和y向），而且用可用的多分量组合规则把各个分量引起的响应组合在一起（Newmark，1976；Rosenblueth and Contreras，1977；Menun and Der Kiureghian，1998）。本次调查研究选择了平方和开方（SRSS）多分量组合规则，假设的是响应量rx和ry在统计学上是独立的。假如¨ugx（t）和¨ugy（t）沿着地面运动的主轴方向，或者它们是等强度的，此时平方和开方是精确的（Smeby and Der Kiureghian，1985）。由于所记录的地面运动分量是沿着结构的纵向和横向的，所以第一条假设通常难以满足。由于在研究调查中所考虑的两个水平地面运动分量的中等反应谱具有相近的强度，所以平方和开方规则是可用的。

1.2 循序渐进的总结

受地面运动两个水平分量作用的对称或非对称平面内建筑的地震需求——结构质心的楼板位移和层偏移——可以通过振型静力弹塑性分析程序进行估算，对此逐条进行总结（引自Reyes，2009）如下：

1.计算建筑物线弹性振动的固有频率ωn和振型n。

2.对第n个振型，通过对建筑物的非线性静力分析和力的分布（见方程式7）得出静力弹塑性分析曲线和底部剪力—相对位移的关系Vnx－urnx。参考点位于顶层的质心处，但是也可选择其他的楼板；选择的地面运动分量是所研究振型的优势运动方向。在侧向力施加前先进行重力加载，以便产生相应的顶层位移urg。

3.理想静力弹塑性分析曲线Vnx－urnx作为合理的双线形或三线性曲线，将它转换为力—变形曲线Fsn/Ln－Dn，对第n个振型的非弹性SDF系统应用方程：进行转换。方程中M＊n是第n个振型的实际质量。从这个初始加载曲线开始，定义卸载和再加载分支曲线是否适合于所考虑的材料和结构系统。

5.从静力弹塑性分析数据库（步骤2）中提取由步骤4中确定的在重力和水平力综合作用下参考位移urn，x的响应值rn＋g，x。

6.计算第n个振型的动态响应：rnx＝rn＋g，x－rg，式中rn＋g，x是从步骤5中获得的响应变量，而rg是重力荷载的贡献。

7.重复步骤2～6得到足够多的振型以满足精度的需要。

8.采用CQC准则把求得的峰值振型响应组合在一起，确定地面运动x分量的总体动态响应，即rx＝（∑i∑nρinrixrnx）1/2。

9.重复步骤2～8确定地面运动y分量引起的总体动态响应ry。

10.依据平方和开方多分量组合规则，把响应rx和ry相结合确定出动态响应r，公式为然后计算总响应rT＝rg±r；式中rg是重力荷载引起的响应。

上述步骤1～10是楼层质心的楼板位移和层偏移的估算，并没有计入力和端部旋转。

估计在地面运动一个分量下建筑物的地震需求的振型静力弹塑性分析程序已经被扩展到估计多个力的情况（Goel and Chopra，2005），但是它本身不适合大批计算机代码的自动化计算。为了克服这个缺点，执行程序时，首先在结构上施加重力荷载，然后在建筑物模型质心处施加一组与用振型静力弹塑性分析程序估计的层偏移相关的位移。如果杆件的两端都出现了塑性铰，那么这个非线性静态分析可以给出内力。否则，内力将通过执行上述的步骤1～10来确定。

若扩展到地面运动两个分量的估计，程序除了实施上述步骤，还要通过下面两个步骤来实施应用。

11.估计其他的变形量，例如除质心外其他位置的层偏移以及由层偏移产生的塑性铰的转动量。首先施加重力荷载，然后在质心处施加一组由步骤10中计算得到的与层偏移相关的位移u′x和u′y，也就是应当施加4个位移的组合是：u′x＋u′y，u′x－u′y，－u′x＋u′y，－u′x－u′y。最后得出的4个响应量中的最大值可作为振型静力弹塑性分析估计值。为实现这个目的，需要一个允许将位移代替荷载施加在结构上的计算机软件，如SAP2000。不允许施加位移代替荷载的计算机软件，诸如PERFORM－3D，可建立一个包含每层横向推力和每一楼板间建立的双向层间单元模型。

12.利用步骤11得到的塑性铰的转动量，内力用如下方法确定：假设一个杆件两端的变形都进入了塑性的阶段，内力即从步骤11中得到。否则将通过执行步骤2～10来确定内力。如果计算的弯矩M没有超出结构构件的屈服弯矩My，那么这些结果都是正确有效的。如果M＞My，通过系数My/M放大内力；当步骤11计算得到的转动低于屈服转动时，这种形式将会出现。

前面所述的计算步骤应用于两分量地面运动，以最后得到的响应变量数值的几何平均数作为地震需求计算结果。

1.3 为实际应用简化振型静力弹塑性分析

1.2 节中总结的振型静力弹塑性分析程序可以简化为两个方式。把建筑物作为线弹性结构计算时应用第一个简化，计算的振型响应的贡献高于前3个振型，是图9参考其他文章介绍的一种近似法（Reyes，2009；Chopra，2007；Chopra et al，2004）；这样就产生了修订振型静力弹塑性分析程序（简写为 MMPA，见Chopra and Goel，2004）。此外，旋转方式的贡献对平面内对称建筑的侧向地面运动的影响是微小的，因此这些方式的影响可以忽略不计。

第二个简化方法应用于确定第n个振型非弹性SDF系统的峰值变形＾Dn的中位数，为获得参考位移urn，需要SDF系统。每一次振动，代替非线性响应时程分析程序的使用，非弹性SDF系统的第n个振型的峰值中值＾Dn是由相应的线性系统的变形峰值中位数＾Dno乘以塑性变形比CRn得到的。可通过实用的经验公式计算得到CRn（FEMA，2000；Chopra and Chintanapakdee，2004；Ruiz－Gracia and Miranda，2004；FEMA，2000，2005；ASCE，2007）；这里选择的方程来源于Chopra和Chintanapakdee（2004）。用这一方法计算中位数Dn，导致产生了实用振型静力弹塑性分析程序，这个程序可以直接从设计谱中估计地面运动，不需要对每种地面运动执行任何SDF模型系统的非线性响应时程分析。

2 结构体系和建模

研究选择的结构体系是选自太平洋地震工程研究中心 （PEER，网址 http：//peer.berkeley.edu/～yang/）的高层建筑方案中48层和62层的建筑物。这些建筑物用字母CW（混凝土墙）后加楼层数来标识。建筑物的抗侧体系是如图1和图2所示通过连梁与矩形墙相连接的两个U形墙的延性芯墙。CW48建筑的U形墙在一些楼层有洞口，从而形成了如图1（a）和图2（a）所示L形的墙体。标准楼层是8英寸厚的后张法预应力楼板联接芯墙和外围混凝土柱。CW48和CW62建筑的总高度分别是471和630 ft。62层建筑的芯墙高度与宽度沿纵向（x向）的高宽比是12∶1，而沿短边方向（y向）的比率为18∶1（如图2所示）。为了增大短边方向的高宽比以及刚度，混凝土框柱也包含在内。框柱在第28层和第51层用屈曲约束支撑（BRB）和芯墙相联系。此外，该结构的顶层装有液压阻尼减震器以减少强风作用下结构的摇摆，从而达到安全合格标准（Post，2008）。

这些建筑是根据2001旧金山建筑设计规范（SFBC）Sd级土类设计的。由于这些建筑超出了旧金山建筑设计规范中剪力墙结构的建筑高度160ft限制的规定，因此这些建筑通过用1629.10.1章节中提供的另外一种程序来设计，以满足旧金山建筑设计规范中104.2.8章节的等价标准。对与设计依据地震（DBE）和最大设想地震（MCE）相应的特定场地设计反应谱确定了地震力。初步设计的地震力用建筑结构的线性响应时程分析确定，结构的设计反应谱用修正系数4.5进行修正。此后，根据建筑结构在7种地面运动作用下的非线性响应时程分析结果，对初步设计地震力进行了精确的修改。

根据ACI 318－99规范的第21章，对混凝土芯墙进行细致修改。为了确保结构体系的延性，设计包括以下几个特点：（1）芯墙能避免剪切破坏，并保证在塑性铰区有强劲的弯曲性能；（2）设计增大CW48建筑基础以上抗弯强度，以确保塑性铰在该墙底出现；（3）设计联合抗剪强度的能力，以避免在板柱和板—芯墙接头处发生脆性剪切破坏。

图1 示意图。（a）CW48建筑，（b）CW62建筑

图2 建筑的高度。（a）CW48建筑，（b）CW62建筑

在这项研究中使用的高层建筑计算模型是由一家私营公司提供给太平洋地震工程研究中心的高层建筑初设方案。因为这些计算模型反映了加利福尼亚州当前的实际情况，所以我们决定予以采用。以两个建筑为例，使用非线性模型对不同结构构件进行PERFORM－3D计算程序下的模拟（Computers and Structures，2006）。剪力墙构件 在PERFORM－3D中是一个非弹性区域有限元单元，包括了平面内和平面外变形的P－Δ效应的影响。这个单元有4个节点和24个自由度，具有相互独立的许多层次，但都相连在单元节点上（如图3所示）。单元的特性是由4种组合作用决定的（Computers and Structures，2006）：（1）混凝土和钢纤维组成的横截面纵向弯曲的线性与非线性应力—应变关系（图3a）；（2）横截面假定为线弹性的横向弯曲（图3b），因为这种影响对薄墙是次要的；（3）常规的剪切层（图3c），假设剪应力恒定且墙厚一致；（4）平面外弯曲（图3d），把模型视为线性的，因为这种弯曲在混凝土墙中是次要作用。这些楼层有以下附加特性：首先，平面内变形，假定轴向应变、剪应变和曲率沿单元长度为常量；其次，轴向弯曲层和剪切层的材料纤维的滞回特性用图4所示的循环强度衰减和循环刚度退化的三线性模型表示；该图不是专门用于混凝土或钢纤维的模型。

芯墙使用这种剪力墙单元模拟，考虑了弹性纤维的循环冗余和强度衰减，但没有考虑循环刚度的退化或钢筋屈曲。图5给出了CW48建筑顶层的有限单元网格划分。

根据FEMA356（FEMA，2000）指定的延性能力，用两端有三线性塑性铰的一维线性元素来模拟连梁、板和梁。连梁塑性铰的出现是由于循环强度衰减（图4a）和卸载并重加载刚度有关的循环刚度退化（图4b），滞回曲线的面积降低40%。

用标准的P－Δ效应研究整体建筑的几何非线性作用，规定在整栋楼中用等效倾斜柱代表重力框架，芯墙结构的有限单元中也是这样规定的。

CW48和CW62建筑的固有周期和振型如图6和图7所示，其中xcm是从质心到建筑边沿的距离（图1）。图6显示了横向位移和扭转角在高度上的变化，图7显示了屋顶的平面运动。注意：（1）横向位移控制着两个建筑在x和y方向横向振动的第一振型的运动，扭转旋转控制第三振型的运动；（2）CW48和CW62建筑的基本振动周期分别为4.08s和4.50s，主要为扭转振型的周期比主要为横向位移的振型周期短很多；（3）在振型1和振型2中，CW48建筑中两个水平方向同步位移没有扭转。

这些结构的阻尼使用瑞雷阻尼——质量矩阵和主要刚度矩阵的线性组合——和选择的两个常数进行模拟，常数是为得到基本振动周期为T1和0.1T1时5%的阻尼而选。CW48和CW62建筑前12个振型的阻尼比范围分别是从2.9%到7.2%和2.9%到7.6%。

3 地面运动

选择了震级从7.3到7.9的9个不同地震的总计30个地面加速度记录，选定的标准如下：（1）距断层带最近距离＜40km；（2）土壤上部30m平均剪切波速Vs30＞200m/s；（3）最长周期＞6.4s。低于这个周期时，高通滤波后的地面运动响应谱不受数据滤波的影响。这个要求确保了所选定的地面运动适合于分析基本周期为4.0s和4.5s的建筑。本研究所选定的地震波记录及其相关数据见Reyes（2007）。

对30个记录均进行标定以代表由A（T1）定义的相同地震危险性，A（T1）为结构基本振动周期为T1的伪加速度。用同一因数对记录的两个分量进行标定，使它们的几何平均数与地震危险性相匹配，几何平均数定义为其中Ax（T1）和Ay（T1）是记录的两个水平的分量A（T1）值。作为 “下一代地面运动衰减模型”（NGA）一部分的3个不同的衰减关系（Campbell and Bozorgnia，2008；Boore and Atkinson，2008；Abrahamson and Silva，2008），选定的地震危险性反应谱被确定为3个均匀危险性反应谱的平均值，50年超越概率为2%（重现周期为2 475年）。

为了确定全部地面运动的值，为CW48和CW62建筑选择的A（T1）2%/50的值分别为0.148g和0.137g。图8显示了两个建筑沿x和y方向30个地面运动总体作用的响应谱中值，标定后与A（T1）2%/50相匹配，地震危险性谱与50年2%的超越概率相对应。由于这一标定判据的影响，建筑物地面运动中值伪加速度的基本振动周期与地震危险性谱相匹配。因为每个结构周期T1的差异，地面运动的标定系数和它们的响应谱中值随不同的建筑而变化。

在对上述地面运动的振型静力弹塑性分析程序作出评估之后（即代表地震高发地区的低超越概率危险性），为了试验该程序用于极端地震危险的情况，分别对CW48和CW62建筑用3.0和2.0的系数标定这些激发曲线。值得注意的是，由此产生的地面运动的强烈程度看起来似乎不实际。

图8 CW48和CW62建筑相当于50年2%超越概率的建筑场地地震危险性谱（实线）和x方向及y方向30个标定的地面运动的平均响应谱（虚线）

4 振型静力弹塑性分析程序的评价

4.1 振型静力弹塑性曲线和参考位移

作为评估振型静力弹塑性分析程序的第一步，本节给出了由标定地面运动得到的每个建筑物的振型静力弹塑性曲线和参考位移。图9显示了建筑物在每一横向的第一和第二振型有关的理想化的静力弹塑性分析曲线和三线性，即该建筑三维模型的振型1、2、4和5。不给出振型3和6是因为它们是扭转振型，对横向位移的贡献可以忽略。对CW62建筑的第一 “振型”和CW48建筑的前两个 “振型”的静力弹塑性分析，并参考三线性理想化的静力弹塑性分析曲线，得出如图10所示的以下观察结果。位移达到u1时，结构仍然处于弹性阶段，但芯墙的某些区域开始出现裂缝。第一屈服位移u1处，后张法预应力楼板的钢筋开始屈服，芯墙的极限纤维应力才刚达到混凝土的抗拉强度。随着位移的增加，在混凝土芯墙和连梁的拉力被转移到钢筋。随着位移不断增大，芯墙和连梁的拉应力全部由钢筋承担；直到构件在第二屈服点u2附近的屈服，芯墙发生的屈服全部集中在6层以上。当位移在u2和u3之间时，建筑物达到最大强度，建筑物发生倒塌机制，当位移小于u3时，非线性几何效应导致静力弹塑性分析曲线的刚度为负值。当位移超过u3时，连梁强度开始降低，从而降低建筑物的抗震强度导致其最终破坏。CW62建筑的第二个振型（即y方向水平振动下的第一振型）的韧性低于其第一振型（即x向水平振动的第一振型。比较图9e和f）。在达到第一屈服位移u1时，在屈曲约束支撑、楼板、连梁和底部附近的剪力墙开始屈服；当位移位于u1和u2之间时，第28层到第33层的部分剪力墙达到屈服阶段。当位移从u2和u3达到u3时，其中一些连梁开始破坏，结构的强度逐渐降低直到突然丧失（图9f）。当位移超过u3时，这些连梁的变形不断增大直到它们的最大变形。

图9 CW48和CW62建筑横向振动前4个 “振型”的振型静力弹塑性曲线；三线理想化由虚线表示。可辨认出由30个标定地面运动得到的参考位移，也标出了中位数

图10 理想化为三线曲线的静力弹塑性曲线

图9中也辨认出了由30个标定地面运动引起的参考位移和它们的中值；这些参考位移由振型静力弹塑性分析程序中的步骤4（1.2节）计算得到。所有的地面运动使得两个建筑在前两个振型超过第一屈服位移u1；CW48建筑的中值位移在x方向和y方向上分别是u1的3.8和3.5倍，CW62建筑分别为u1的2.4和1.9倍。超过一半的激发作用，使得CW62建筑物超过它在x和y向水平振动的第二振型的第一屈服位移u1，但位移值仅略高于u1。只有少数的地面运动使CW48建筑超过在其第四个和第五个“振型”中第一屈服位移u1，且位移中值小于u1。这些结果表明，高于第一对振型的“振型”的中值位移或接近或超过第一屈服位移u1。这与过去钢筋混凝土抗弯框架结构的研究结果（Goel and Chopra，2004）一致。

4.2 高振型对地震需求的贡献

图11显示了同时受两个地面运动分量作用的每个建筑质心处在x和y方向上楼板位移和层偏移的平均值，包括振型静力弹塑性分析振型数量的变化，加上从非线性响应时程分析得到的 “精确”结果。除了靠近CW62建筑顶部由芯墙刚度的降低、液压质量阻尼器、机电设备和建筑物的收进引起的快速波动外，整个高层建筑层偏移的变化是高层建筑特有的。在本节和第5节中给出的观测结果不包括CW62建筑的顶部3层和两座建筑的地下室。

估计楼板位移仅第一对振型就足够了，振型再多对估计也无显著改善（图11a）。虽然第一对振型不足以准确估计出层偏移，但若包括第二对振型（第四和第五 “振型”）用振型静力弹塑性分析程序估计的层偏移就会显著提高，并近似于非线性响应时程分析估计的结果（图11b）。尽管准确度有所提高，但对这两栋大楼而言振型静力弹塑性分析和非线性响应时程分析估计结果之间的差异依然存在，下面讨论这些差异。

4.3 振型静力弹塑性分析的评估

对两栋建筑，振型静力弹塑性分析程序估计的x和y分量的楼板位移比实际位移小，屋顶位移比实际分别小了16%（CW48）和12%（CW62）。CW48和CW62建筑的层偏移分别比实际小了15%和18%。可以看出，CW62建筑上部y方向的层偏移估计误差较大，比实际大约小了30%左右。而且在这个方向上，芯墙与屈曲约束支撑和周边框架柱共同作用，使建筑物在不同高度均出现了塑性铰（4.1节）。

4.4 修订振型静力弹塑性分析的评估

图9中的结果及解释表明，在估计高于前3个振型（或对称平面内建筑物的第一对振型）的振型对地震需求的贡献时，建筑物可视为线性结构，即可用在第1.3节估计CW48和CW62建筑地震需求时所用的修订振型静力弹塑性分析。不考虑扭转振型是因为它们的有效质量对x和y方向的作用可以忽略不计。图12显示了用非线性响应时程分析、振型静力弹塑性分析和修订振型静力弹塑性分析程序估计的这两栋大楼质心位置在x和y方向上的楼板位移和层偏移平均值。用修订振型静力弹塑性分析和振型静力弹塑性分析估算的地震需求非常接近，修订振型静力弹塑性分析估计的结果稍大一些，意味着在估计较高振型对地震需求的贡献时，把建筑作为线弹性结构处理是有效的。

表1 与CRn的比值

表1 与CRn的比值

建筑物 x向第一振型y向第一振型CW48 1.08 1.16 CW62 1.13 1.27

5 实用振型静力弹塑性分析程序的评估

5.1 质心处的楼板位移和层偏移

在实施实用振型静力弹塑性分析的程序中（1.3节），非弹性SDF系统的第n个振型的峰值形变中值＾Dn是由塑性变形比CRn乘以相应的线性系统的峰值中位数＾Dno得到的；＾Dno是由与特定振型的阻尼比所对应的30个地面运动响应谱中值确定的。对于高层长周期结构的所有振型来说，CRn的值基本上为1.0。

图12表明用非线性响应时程分析、振型静力弹塑性分析和实用振型静力弹塑性分析三种不同分析方法估计的两栋高层建筑在质心处的楼板位移和层偏移的x和y向的平均值。一般来说，实用振型静力弹塑性分析比振型静力弹塑性分析能提供更大的地震需求值，这是因为＾Dn的经验值大于其用非线性响应时程分析对30个地面运动的振型SDF系统测定的Dn（振型静力弹塑性分析程序的第四步）；表1给出了第一对振型两者的比值。对于这种长周期体系这是所期待的，因为结构经验公式下的CRn≥1.0，而实测值的CRn≤1.0。尽管在实用振型静力弹塑性分析的这一步骤估计中该值被高估，但该法却低估了地震需求（图12）。低估主要是因为振型组合和与多分量组合规则所固有的基本假定。对此下面予以说明。

对于同时受地面运动两个水平分量作用的混凝土建筑，实用振型静力弹塑性分析程序的根据是6个基本假定，前3个也是振型静力弹塑性分析法中拥有的：（1）不考虑公式（6）中与x向和y向地面运动有关的 “振型”响应peff，n（t）的耦合，已证明它对本文所讨论的结构的作用很微弱（Reyes，2009）；（2）使用了振型组合规则（最初是为线性系统研制的），用来确定一个方向地面运动的总体响应；（3）使用了多分量组合规则，其最初产生于线性系统，用来同时确定对2个地面运动分量的响应；（4）从弹性设计谱估算第n个振型塑性SDF系统的峰值变形Dn，利用经验公式得出非弹性变形比率；（5）把结构视为线弹性的，估算高阶振型对地震需求的贡献；（6）不考虑结构单元的环形刚度退化。因为（2）和（3）近似是线性系统的标准响应谱分析法中误差的唯一根源，这些系统响应中所产生的误差作为非线性评估系统实用振型静力弹塑性分析其他误差的标准。

图13比较了实用振型静力弹塑性分析分析法在估计非线性系统的响应与响应谱分析法在估计线性系统响应的准确性，发现响应谱分析法估计两栋大楼的地震响应值偏小。这种偏小的现象在建筑的上部楼层会变得越发明显，这与高度越高振型对位移的贡献越大的响应相一致（Chopra，2007）。两栋建筑层偏移的误差平均比实际小了11%，这些误差是由实用振型静力弹塑性分析的基本假定造成的。从图13的（a）和（b）两部分的比较，可以明显看出其估计值偏小。用实用振型静力弹塑性分析估计的CW48和CW62两栋建筑的层偏移分别比实际小了16%和9%。

图13 CW48和CW62建筑质心的平均层偏移：（a）由响应谱分析（RSA）和响应时程分析（RHA）程序确定的线弹性系统；（b）由实用振型静力弹塑性分析（PMPA）和非线性响应时程分析（RHA）程序确定的非弹性系统

对于估计超高结构由两个水平地面运动分量所产生的地震需求来说，实用振型静力弹塑性分析是一种很有效的方法。这不仅因为它可以从设计谱中直接算出Dn，而且所估计出的地震需求值稍大，因此降低了振型静力弹塑性分析结果的不可靠性（相对非线性的响应时程分析）。

5.2 其他响应量

与图12中的平均层偏移相对应的几种力和端部总的转角是由实用振型静力弹塑性分析法中的步骤11和12估计出的（1.2节）。图14给出了图1（a）中CW48建筑连梁的弯矩、剪力、塑性铰旋转的结果和非线性响应时程分析确定的响应均值，可以看出内力估计是准确的，但是总转角和层偏移的估计值扁小。

图14 由非线性响应时程分析和实用振型静力弹塑性分析确定的图1（a）中CW48建筑连梁结果：（a）弯矩；（b）剪力；（c）塑性铰转角

图15 由非线性响应时程分析和实用振型静力弹塑性分析确定的CW48建筑芯墙x方向和y方向的剪力Vx和Vy

用实用振型静力弹塑性分析法估计芯墙的受力可以达到通常的精度。图15显示出CW48建筑的芯墙的剪力沿高度方向的变化（Vx和Vy），包括实用振型静力弹塑性分析中与非线性响应时程分析法得出的振型相叠加的变量也随之变化。仅第一对振型估算的内力是不够的，而第二、第三对振型用实用振型静力弹塑性分析估计的内力与非线性响应时程分析的估计结果相似。利用所有主要振型的贡献，实用振型静力弹塑性分析可以准确地得出剪力芯墙随高度的变化。实用振型静力弹塑性分析克服了众所周知的静力弹塑性分析的局限性与单一不变的分布力，该力没有考虑地震发生后主要振型对结构高度的影响（Krawinkler and Seneviratna，1998）。

6 实用振型静力弹塑性分析应用于强震灾害的评估

图16给出了两栋建筑与x和y方向前两个振型有关的静力弹塑性分析曲线和理想化的三线性，以及由30个强地面运动（3节中定义的）中每个运动产生的参考位移及其平均值。参考图10显示的静力弹塑性分析曲线的三线性理想化，这些成果导出了下面的观测结果：几乎所有的地面运动都使CW48建筑的第一和第二振型进入静力弹塑性曲线的第三斜率，其平均位移等于u1（第一屈服位移）的11.9～12.7倍，u2（第二屈服位移）的1.8～2.0倍。然而第四、第五振型的平均位移只有u1的2.1～2.3倍。地面运动使CW62建筑进入第一和第二个振型的静力弹塑性分析曲线的第三和第二个斜率，平均位移是u1的3.7～5.6倍，u2的0.7～1.6倍。第四和第五振型的平均位移是u1的2.7～3.1倍。

图17对实用振型静力弹塑性分析估计非线性系统层偏移精度与响应谱分析估计线性系统的精度进行了比较。正如5.1节提到的，对两栋建筑而言，响应谱分析估计的随高度而变的值平均比实际值低了11%。而实用振型静力弹塑性分析中其他的假定在这种情况下没有进一步增加其误差。对CW48和CW62建筑，实用振型静力弹塑性分析所估计的层偏移值随高度变化平均分别降低了5%和7%。图18显示出分别用实用振型静力弹塑性分析和非线性响应时程分析所估计的CW48建筑芯墙剪力值（Vx和Vy）随高度的变化情况。由此可以看出，实用振型静力弹塑性分析的精度是可以满足要求的。即使对强震，实用振型静力弹塑性分析所估计的地震需求仍然能达到有效的精度。另一方面，从图17中可以观察到线弹性和非弹性系统的层偏移的相似性。导致这种相似性的原因有两点：（1）长周期系统的整体位移已知基本上与非弹性作用无关；（2）芯墙的屈服区域局限在地面以上较低的几层。

图18 强震作用下由非线性响应时程分析和实用振型静力弹塑性分析确定的CW48建筑芯墙在x和y方向的平均剪力Vx和Vy

7 结论

振型静力弹塑性分析程序最初只限于估计一个水平地面运动分量作用下建筑的楼板变形和层偏移，现已逐步扩展为估计同时受两个水平地面运动分量作用下建筑的地震需求——楼板位移、层偏移、内力和铰转动。作为振型静力弹塑性分析的改进，实用振型静力弹塑性分析比振型静力弹塑性分析更适合实际应用。实用振型静力弹塑性分析现已发展到从地震响应谱（或设计谱）中直接计算地震需求。这种程序主要基于两种基本简化：（1）在估计高振型对地震需求的贡献时，把结构看做是线弹性的；（2）第n振型非弹性SDF系统的平均变形使用非弹性变形比的经验公式直接根据设计谱估计出。

用振型静力弹塑性分析、实用振型静力弹塑性分析和非线性响应时程分析，计算并比较了48层和62层两栋高层剪力墙结构（根据2001旧金山建筑设计规范的预防措施设计）的平均地震需求（30个地面运动的两个水平分量）。所得结果得出如下结论：

（1）虽然正如预期的那样，x和y方向横向振动的第一振型不能准确估计层偏移，但如果加上横向振动的第二振型，这种误差（与非线性响应时程分析结果相比）将大大减小，并且振型静力弹塑性分析估计的层偏移与非线性响应时程分析估计的结果相似。

（2）估计高振型对地震需求的贡献时，将建筑作为线弹性处理就可简化振型静力弹塑性分析程序。这种近似法已被证明是有效的。

（3）线弹性系统响应谱分析中的振型组合和多分量组合的近似法（结构工程实践中的常用方法）会导致显著低估高层建筑的层偏移，特别是在上部楼层。

（4）对于所选定的高层建筑，甚至是在此文考虑的强震情况下，非线性系统的实用振型静力弹塑性分析程序几乎和线性系统的响应谱分析一样准确。因此，实用振型静力弹塑性分析对于实际应用于估计高层建筑由于同时施加两个水平地面运动分量所引起的楼板位移、层偏移、内力和塑性铰的转动等的地震需求应是有效的。一个诱人的特征是，实用振型静力弹塑性分析直接从（弹性）设计谱估计地震需求，从而避免了非线性响应时程分析在选择、标定和修改地面运动时而引起的复杂性。

译自：Earthquake Engng Struct Dyn.2011.40：789～806

原题：Three－dimensional modal pushover analysis of buildings subjected to two components of ground motion，including its evaluation for tall buildings

（核工业第五研究设计院 梁铁锚译；崔秋文校）