一类二阶非线性微分方程零解的全局渐近稳定性

张红玲，裴新年，李宝毅

（1.天津师范大学 数学科学学院，天津 300387；2.中共天津市委党校 基础课教研部，天津 300191）

一类二阶非线性微分方程零解的全局渐近稳定性

张红玲1，裴新年2，李宝毅1

（1.天津师范大学 数学科学学院，天津 300387；2.中共天津市委党校 基础课教研部，天津 300191）

研究一类二阶非线性微分方程零解的全局渐近稳定性，证明了该系统所有正半轨都是正向有界的，从而得到该系统零解全局渐近稳定的一些条件.推广了相关文献的某些结论，之前较多结果都可由本研究结果推出.

二阶非线性微分方程；零解；全局渐近稳定性；正半轨；正向有界

1 引言及主要结论

考虑一类二阶非线性微分方程

零解的全局渐近稳定性，其中函数φ，F，k，h，ω，g都是R上的连续函数，且满足一定的条件以保证柯西初值问题解的存在唯一性.当k（y）≡1时，系统（1）变为

文献［1］给出了系统（2）零解全局渐近稳定的一些条件.系统（1）可看作广义Liénard型方程的进一步推广.关于Liénard型方程解的定性问题已有很多研究，包括解的周期性、振荡性、有界性、稳定性和中心等问题［2－3］.本研究在已有成果的基础上对文献［1］进行推广，得到如下结论：

定理1 设则系统（1）的零解全局渐近稳定.

定理2 设

2 主要结论的证明

下面通过3个引理得到以上结论.

引理1 设系统（1）满足如下条件1），2），3）或1），2），3′）.

考虑由曲线Γ1和直线x＝x1组成的区域Ω1（见图1），可知从点（x0，y0）出发的正半轨线永远停留在区域Ω1内，因此解（x（t），y（t））是正向有界的，故由巴尔巴辛－克拉索夫斯基定理知方程的零解是全局渐近稳定的.

图1 G（＋∞）＝＋∞，G（－∞）＜∞时的曲线Figure 1 Curve when G（＋∞）＝＋∞，G（－∞）＜∞

图2 G（＋∞）＜∞，G（－∞）＝＋∞时的曲线Figure 2 Curve when G（＋∞）＜∞，G（－∞）＝＋∞

考虑由曲线Γ3和直线x＝x1，x＝x2组成的区域Ω3（见图3），可知从（x0，y0）出发的正半轨线永远停留在区域Ω3内，因此解（x（t），y（t））是正向有界的，结论成立.

图3 G（＋∞）＜∞，G（－∞）＜∞时的曲线Figure 3 Curve when G（＋∞）＜∞，G（－∞）＜∞

情况2 条件1），2），3′）成立.

当φ（±∞）发散或至少有一个收敛时，同理可以证明结论成立.

引理2 设系统（1）满足如下条件1），2），3）和式（4）或1），2），3′）和式（5）.

证明 情况1 条件1），2），3）和式（4）成立.

考虑系统（1）从（1，y0）出发的解曲线（x（t），y（t）），可以证明对一切t＞0，（x（t），y（t））落在直线y＝M之上且不与y＝M相交.否则，存在t1＞0，使得y（t1）＝M，y（t）＞M，t∈［0，t1），于是∀t∈［0，t1），有

［1］ Zhao L Q.On global asymptotic stability of trivial solution for a class of second order differential equations［J］.Advances in Mathematics，2006，35：378－384.

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Global asymptotic stability of zero solution for a class of second order nonlinear differential equations

ZHANGHongling1，PEIXinnian2，LIBaoyi1
（1.College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China；
2.Department of Basic Courses，Party School of CPC Tianjin Municipal Committee，Tianjin 300191，China）

The global asymptotic stability of the zero solution for a class of second order nonlinear differential equations is studied.Some sufficient conditions and a necessary condition are obtained by proving that all the positive semi－orbits of the system are positively bounded.Some results of relevant literatures are extended and some previous results can be obtained from this paper's results.

second order nonlinear differential equations；zero solution；global asymptotic stability；positive semiorbit；positivelybounded

O175.1

A

1671－1114（2011）03－0013－04

2010－09－30

张红玲（1986—），女，硕士研究生.

李宝毅（1963—），男，教授，主要从事常微分方程定性理论及其应用方面的研究.

（责任编校 马新光）