乘性噪声作用下线性系统的随机共振及其抑噪应用

孙万麟,黄玉划,山拜·达拉拜

(1.昌吉学院物理系,新疆昌吉 831100;2.南京航空航天大学信息科学与技术学院,江苏南京210016;3.新疆大学信息科学与工程学院,新疆乌鲁木齐 830046)

乘性噪声作用下线性系统的随机共振及其抑噪应用

孙万麟1,黄玉划2,山拜·达拉拜3

(1.昌吉学院物理系,新疆昌吉 831100;2.南京航空航天大学信息科学与技术学院,江苏南京210016;3.新疆大学信息科学与工程学院,新疆乌鲁木齐 830046)

在二阶线性系统的阻尼系数和固有频率同时受一类乘性噪声干扰下,详细研究利用欠阻尼二阶线性系统中的随机共振消除此类噪声。研究表明,当二阶线性系统的固有频率和被测信号均受乘性高斯白噪声干扰下,欠阻尼二阶线性系统中存在随机共振现象,该系统的平均输出幅度增益呈现非单调变化,不仅在一定条件下大于无噪声时的增益,而且调节适当的系统参数和噪声强度能够提高幅度增益。因而只要使系统处于共振区域,就会使夹杂在噪声中的被测信号突现出来,从而实现信号的检测。采用可视化仿真软件SIMUL IN K对此进行了实例模拟。仿真证实了该方法消除乘性噪声的可行性和有效性。

欠阻尼线性系统;随机共振;乘性噪声;输出幅度增益;检测

广义的随机共振(stochastic resonance,SR)是指在有噪声的系统中,系统输出信号是噪声或激励信号的某个参数(噪声强度、激励信号的幅度或频率等)的非单调函数这样一种非线性行为[1-2]。随机共振概念的出现,让人们意识到噪声的存在不再是一件坏事,有时它还会是某些非线性系统信号提取的有效激励。若在噪声强度已知的条件下,通过调节系统参数,使系统的输出幅度增益最大;若在系统已知的条件下,通过调节噪声强度,使系统的输出幅度增益最大,而且使系统处于随机共振的共振区域。

随机共振现象不仅在很多非线性系统中观察到,而且在乘性噪声作用的线性系统[1-3]中也发现了随机共振现象,主要有2类:一类是仿真研究,如乘性与信号调制噪声在线性模型中的随机共振、具有乘性噪声的线性振荡器的随机共振等方面;另一类是应用研究,如随机共振理论可以用于微弱信号的检测、在强噪声下提取信息信号以及对化学反应速度的控制等方面。

单自由度粘滞阻尼过阻尼二阶线性系统的随机共振研究相对较多[4-6],并都假设在该系统的固有频率或阻尼系数和激励信号二者均受白噪声或色噪声干扰下的随机共振仿真研究[7-12],但对欠阻尼二阶线性系统的随机共振研究非常少,在实际问题中,欠阻尼情况也是普遍存在的。笔者就二阶线性系统的固有频率和被测信号同时受乘性高斯白噪声干扰下,详细研究了欠阻尼二阶线性系统中的随机共振及其在信号检测中的应用。

1 线性模型

经典力学模型:质量-阻尼-弹簧欠阻尼二阶线性系统[1-3]:

2 输出幅度增益

大量文献表明,在线性系统中,以系统的输出幅度增益[4-7]这个特征量来检验此系统是否存在随机共振,定义为输出幅度与输入幅度的比值,并取其绝对值。

将式(1)推导,可得无噪声系统的输出幅度增益表达式为

根据Shapiro-Loginov公式和相关删去法,对于干扰的高斯白噪声η(t),存在如下关系式:

利用式(8)对式(7)两边取平均,并把式(3)的结果代入化简,可得

设X(s)和F(s)分别表示〈x(t)〉和激励信号A cos(ωt)的拉普拉斯变换,对式(9)两边进行拉普拉斯变换,化简整理可得如下关系式:

再对式(10)进行拉普拉斯反变换,可得〈x(t)〉满足的微分方程为

式(11)微分方程的特征方程为

根据式(12)解得特征方程的2个根为

笔者研究的是欠阻尼二阶线性系统,则ξ<ω0,当0<ξ<1<ω0和0

把式(13)代入式(11),化简整理:

可得系统平均输出幅度增益为

3 讨 论

根据受乘性噪声干扰下系统的平均输出幅度增益表达式(式(15))可知,系统的输出幅度增益是一个关于阻尼系数、固有频率、噪声强度及激励信号频率的非单调函数。下面对无噪声系统的输出幅度增益式(4)和受乘性噪声干扰下系统的输出幅度增益式(15)进行比较,如图1 -图5曲线所示。

从图1-图5可知,虽然无噪声系统输出幅度增益也呈非单调变化,但噪声存在时,输出幅度增益都有可能大于无噪声时的输出幅度增益,换句话说,系统中存在噪声,不但没有降低系统的输出幅度增益,反而提高了系统的输出幅度增益。

图1 当ξ取不同值时,G与ω的关系Fig.1 Relationship of G andωw henξtakes different values,

随着系统参数ξ,ω0的增加,输出幅度增益G的共振峰向激励信号频率ω增大的方向移动,且共振峰越来越小,如图1、图2所示。随着噪声强度D增大,输出幅度增益G也逐渐增大,且共振峰向激励信号频率ω增加的方向移动,因此,较大的噪声强度D有利于输出幅度增益G的提高,如图3所示。图4表明,随着ω0的增加,共振峰向ω增大的方向移动,且输出幅度增益逐渐变小。图5表明,输出幅度增益G随着ξ的增大而逐渐减小,且共振峰左移,ξ越小,输出峰值越高,即较小ξ值反而有利于输出幅度增益的提高。

通过上面比较得出,在系统参数已知的情况下,调节噪声强度的大小则使输出幅度增益达到最大值;同样,在噪声已知的情况下,调节适当的系统参数也能使输出幅度增益达到最大值,从而让夹杂在噪声中的被测信号突现出来,实现弱信号的检测。

4 实例分析

对于受乘性噪声干扰的欠阻尼二阶线性系统的模型(式(2)),采用MA TLAB环境下的可视化仿真工具SIMUL IN K软件,对此系统进行了模拟仿真,如图6所示。

图6 二阶线性模型随机共振的SIMUL IN K模拟仿真图Fig.6 Second-o rder linear model of stochastic resonance in SIMUL INK simulation diagram

在实际工程检测问题中,噪声的大小是不确定的,根本不可能调节噪声强度来提高输出幅度增益,只能通过调节系统参数,使系统、噪声及信号三者达到最佳匹配,产生随机共振现象,从而实现弱信号的检测。笔者以工程中经常碰到的正弦信号为激励信号(也称被测信号),为了研究方便,噪声是均值为0、方差为1的高斯白噪声,系统参数ξ取一个固定值,仅调节固有频率ω0的大小。图7-图10为通过调节适当的系统参数来实现受乘性噪声干扰的欠阻尼二阶线性系统中弱信号的检测。

图8跟图7、图9、图10的系统输出相比,图8的系统输出不仅在波形上有明显改善,而且信号幅值也比其他3个图中的大,表明系统把噪声的部分能量转化为信号能量,提高了信噪比。随着固有频率ω0的增大,系统的输出幅度不仅逐渐减小,而且输出逐渐失去了与输入的相关性,如图10所示。因此,当噪声和信号已知的情况下,在系统阻尼系数ξ取一个固定值时,系统的输出幅度随着固有频率ω0的增大而逐渐减小,进一步验证了前面的结论,即相对较小的固有频率有利于输出幅度增益的提高。

5 结 语

利用欠阻尼二阶线性系统中的随机共振来消除简单乘性高斯白噪声的干扰,通过调节适当的系统参数或噪声强度不仅能提高系统输出幅度增益,而且在某个位置输出幅度增益会达到最大值,即出现随机共振现象,这样会使夹杂在噪声中的被测信号突现出来,从而实现信号的检测[10-11]。当然,笔者虽然只对简单乘性高斯白噪声成功消噪处理,但对于一类乘性噪声[12],比如常常碰到的乘性色噪声,所研究方法同样适用。另外,对于复杂噪声背景下的欠阻尼二阶线性系统是否也存在参数调节随机共振现象,是否也能有效消噪,还有待于进一步的研究。

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Stochastic resonance of linear system w ith multip licative noise and its app lication rep ress noise

SUN Wan-lin1,HUANG Yu-hua2,SENBA IDalabaev3
(1.Departmentof Physics,Changji College,Changji Xinjiang 831100,China;2.Schoolof Information Science and Technology, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing Jiangsu 210016,China;3.School of Information Science& Engineering,Xinjiang University,U rumqi Xinjiang 830046,China)

This article studied the use of stochastic resonance of the under-damped second-order linear system to reduce the multiplicative noise.Research show s that w hen intrinsic frequency and input signal of the system are subject to multiplicative Gaussian w hite noise,under-damped second-o rder linear system show s the phenomenon of stochastic resonance.The average output amplitude gain(OAG)is non-linear and under certain conditions the value is greater than that of no noise second-order linear system,and p roper adjustmentof the system parametersand noise intensity can imp rove theoutput amp litude gain.So as long as the system is in the resonance region,weak signal detection of under-damped second-order linear systems can be fulfiled in the noise background.The article used visual simulation software SIMUL INK to simulate some examp les.Simulation confirmed that thismethod resolvedsmultip licative noise feasibly and effectively.

under-damped linear system;stochastic resonance;multiplicative noise;OAG;detection

O211.64

A

1008-1542(2010)06-0517-06

2010-05-17;责任编辑:陈书欣

国家自然科学基金资助项目(60062001);昌吉学院科研基金资助项目(2010YJYB009)

孙万麟(1982-),女,甘肃白银人,硕士,主要从事信号、图像处理及信息技术方面的研究。