关于 Gegenbauer多项式与三角函数的一些恒等式

杨 全

(商洛学院数学与计算科学系,陕西商洛 726000)

关于 Gegenbauer多项式与三角函数的一些恒等式

杨 全

(商洛学院数学与计算科学系,陕西商洛 726000)

用初等方法研究了 Gegenbauer多项式与三角函数的计算公式,得到了关于正弦函数与余弦函数的一些恒等式.此方法将被用于正弦函数与余弦函数的其他计算公式的研究,并为研究其他三角函数提供思路.

Gegenbauer多项式;初等方法;恒等式

1 问题与结论

定理 1 对于由 (1)式定义的λ及任意非负整数n和实数θ有恒等式

2 引理的证明

2.1 引理 1的证明当n为偶数时,令n=2m,则由于和式

故有等式 (2)式成立,引理 1得证.

2.2 引理 2的证明当n为偶数时,令n=2m,则由于和式

故有 (4)式成立,从而引理 2得证.

3 定理的证明

4 推论的证明

在 (5)式中令θ=0即可得 (7)式,推论得证.

[1]数学手册编写组.数学手册[M].北京:人民出版社,1979:606-617.

[2]刘端林,李超.盖根堡多项式以及斐波那契数和鲁卡数的一些恒等式[J].延安大学学报:自然科学版,2003,22(1):7-9.

[3]刘端森,李超,杨存典.Fibonacci数奇数次方的积和式[J].纺织高校基础科学学报,2004,17(3):187-189.

[4]刘端森,李军庄,李超.Fibonacci数和 Lucas数线性组合的一组恒等式[J].商洛师范专科学校学报,2005,19(2):6-8.

[5]赵健,刘端森,杨存典.一些包含 Lucas数的恒等式[J].纯粹数学与应用数学,2005,21(3):221-223.

[6]刘端森,李超,杨存典.关于 Riemann zeta-函数的一些恒等式[J/OL].西北大学学报:自然科学网络版,2004,2(9):1-3[2010-03-18].http:∥jonline.nwu.edu.cn/chaxun-qikan0.jsp.

[7]杨全.关于推广的 Euler多项式及其性质[J].海南大学学报:自然科学版,2009,27(3):213-215.

[8]杨存典,赵健.一类包含 Euler数与 Bernoulli多项式的恒等式[J].商洛师范专科学校学报,2006,19(2):9-10.

Some Identities on the Gegenbauer Polynom ials and Trigonometric Functions

YANGQuan

(Department ofMathematics and Computational Science,Shangluo College,Shangluo 72600,China)

The elementarymethod was used to study the calculating for mula of Gegenbauer polynomials and trigonometric functions.Some identities on Sine and Cosine functions were obtained.The method can be used to discuss other calculating for mula of Sine and Cosine functions,and provide some ideas to study trigonometric functions.

Gegenbauer polynomial;trigonometric;identity

O 156.4 < class="emphasis_bold">文献标志码:A

A

1004-1729(2010)04-0289-05

2010-7-10

商洛学院科研基金项目 (09SKY010)

杨全 (1967-),男,陕西洛南人,商洛学院数学与计算科学系副教授.