质点在中心势场 V(r)中的运动

潘继环

(河池学院 物理与电子工程系,广西 宜州 546300)

质点在中心势场V(r)中的运动

潘继环

(河池学院 物理与电子工程系,广西 宜州 546300)

讨论中心势场中有心力为引力的情况下质点的运动,对中心势场中质点的运动状况作了一般分析,给出了质点在有心力场中运动的守恒量、运动方程、轨道方程及其运动的经典特征.

有心力;中心势场;有心力场;质点运动

0 引言

天体、人造卫星、电子的运动等,是一类广泛存在于自然界中的质点在中心势场V(r)中运动的束缚态的问题.研究质点在中心势场中的运动情况,除了促进太空安全外,也是促进先进通讯、地球资源探测和军事侦探等方面发展的一种不可或缺的工具.质点在中心势场中受到有心力的作用,所以研究质点在中心势场中的运动情况时,将用有心力场的规律分析质点的运动状况.

1 历史回顾

在历史上,对有心力的研究是由天文学的行星运动问题和玻尔原子中的轨道问题引起的 .从希腊著名学者拖勒密提出的“地心说”,到波兰天文学家哥白尼提出的“日心说”,都没有非常准确地描述行星的运动问题.直到 17世纪德国天文学家开普勒利用第谷多年积累的观测资料,经过仔细分析研究,发现了行星沿椭圆轨道运行,并且提出行星运动三定律 (即开普勒定律),为牛顿发现万有引力定律打下了基础.1687年,牛顿根据开普勒定律及分析大量实验 (包括天文学方面的实验)结果的基础上,总结出一条规律:

自然界中任何两个物体之间都存在着相互吸引的力,如果物体可视为质点,那么这两质点的相互吸引力F沿两质点连线的方向,与两质点的质量和的乘积成正比,同它们之间距离r的平方成反比,即

其中G为引力常量[2].

万有引力定律成功地解释了太阳系中,各行星在太阳的强大引力作用下,都是按各自的轨道和方向围绕太阳运转.将万有引力定律推广到整个宇宙,同样可以解释宇宙星系之间的相互作用及相互制约的关系.

2 质点在中心势场中运动的一般分析

2.1 有心力

对相互作用的两个质点,如图 1所示,以一个质点的位置为原点,从原点

到另一点的位置矢量为 r,沿着 r作用有力 F,F的大小是两点间距离r的函数.把K(r)作为位置的标量函数,有

这里r=|r|.作曲线运动的质点,所受的力指向某一点,如果是作圆周运动,则指向圆心.例如作用于天体间的万有引力,点电荷上的静电力如图 2等等,都由(1)式表示.这样的力被称为有心力,K(r)>0时是斥力,K(r)<0时是引力.例如万有引力

就是有心力.

我们知道,各大行星都是绕太阳作椭圆运动的,这是因为它们之间存在着万有引力的作用.对任一行星例如 (地球)而言,它所受到的力主要是太阳对它的引力,即有心力.人造地球卫星也是这样,它所受到的力几乎仅仅是地球对它的引力,也就是受到有心力的作用.在有心力的作用下,质点始终在一平面内运动.有心力构成的力场即为有心力场.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.

2.2 质点在中心势场中运动的守恒量

2.2.1 角动量守恒

取力心为极坐标的极点,则由

式中h是常数.(9)式为角动量守恒的数学表达式,它与开普勒第二定律存在一定的联系 .[3]

如图 2所示,在曲线轨道上的质点,在微小时间 dt内从点P移到点Q,r增加了 dr成为 r+dr,角度变化为 dθ;设从P向OQ所作垂线的垂足为P′,可以认为PP′=rdθ.把dt时间内动径OP扫过的面积 ds看成ΔOPQ的面积,略去高阶小量,得

2.2.2 机械能守恒

既然有心力是保守力,那么它所做的功与其路径无关,因而它一定存在势能V,且 F=-▽V[4].因为势能差与原点选取无关,故可写出

这时势能函数V当然也是矢径r的函数,即V=V(r).所以机械能是恒定的具体表达式是

其中E是质点的总能,它是一个常数.

2.3 两体问题

实际碰到的中心力场问题,常常是两体问题.由两个物体组成的孤立系统,若内力是有心力,则它们的质心将作匀速运动[5].为了简单起见,把质心取作坐标系原点如图 3所示,并设 r1和r2相应的表示质点m1和m2相对于质心的位置矢量,用 R表示质点 1相对于质点 2的位置矢量.

由在质点组中,质心C对同一原点O的位矢 rc满足的关系:

又因为我们把质心取作坐标系原点,则rc=0.所以根据(14)式,得

质点 1相对于质心运动的微分方程为

(19)式表示质点 1相对于质点 2的运动,这个方程与一个质量为μ的质点在有心力场中的运动方程完全相同.所以,两个物体相对于他们质心的有心力运动总是能够归结为一个等效的一体问题.

对于两个彼此受到万有引力作用的物体来说,有

这与一个质点在平方反比的有心力场下的运动方程是一样的.若把地球和月亮看作一个孤立系统,则月球的轨迹是一个椭圆,以地心为焦点;地球的轨迹也是一个椭圆,但它以月心为焦点.

2.4 轨道方程

2.4.1 由运动方程消去参数t导出轨道微分方程

中心势场中质点的运动的基本方程为

这就是所要求的轨道微分方程,即比耐公式.当质点所受的是引力时,F为负号;当为斥力时,F为正号.该公式对质点在有心力场中运动的描述有着重要地位.

2.4.2 由能量守恒和角动量守恒导出轨道方程

这就是利用能量守恒和角动量守恒结合起来,作为解决有心力问题的基本方程,从而求出的含有能量E的轨道方程.

2.5 行星运动的经典特征

若考虑一个质点在中心势场中的经典运动.行星围绕太阳的运动就是这种运动的典型例子.

2.5.1 按偏心率e对轨道分类

现在让我们利用比耐公式来求质点在与距离平方成反比的引力作用下的轨道方程.

同样令太阳的质量为M,行星的质量为m,则由万有引力定律,我们可以知道它们之间的作用力为

式中k2=GM是一个与行星无关而只与太阳质量有关的量,叫做太阳的高斯常量,r为太阳和行星的距离.把 (27)式代入 (23)式即比耐公式中,得

这个微分方程的形式与谐振动方程完全一样,所以它的解是

式(32)就是我们要求的轨道方程.把它和在极坐标的标准圆锥曲线方程

(33)式轨道方程表示的是:轨道的原点在焦点上的圆锥曲线,力心位于焦点上,p为圆锥曲线正焦弦长度的一半,e为偏心率,此时θ应从是从焦点至准线所作的垂线量起.(32)、(33)两式相比较,得

根据e的数值可画出三种类型的曲线,分别如图 4、图 5和图 6所示.

可见,只要知道偏心率e的数值就能决定轨道是什么形状,而偏心率e的数值需要根据起始条件来确定.

2.5.2 按能量E对轨道分类

我们已经由能量守恒和角动量守恒推导出包含有能量E的轨道方程

以此与标准式(33)式比较,即可得出轨道的偏心率由下式给出

那么,我们就得出用能量E作为轨道类别的判据:

E<0,则e<1,轨道是闭合的(椭圆或圆);

E=0,则e=1,轨道为抛物线;

E>0,则e>1,轨道为双曲线.

3 结语

中心势场的问题,实际上都遵从了共同的规律——质点在有心力场中运动的规律,这体现出理论物理思维的一个特点:用几个最基本的原理、定律去解释丰富多彩的物质运动.质点在中心势场中运动,角动量和机械能都是守恒的,其运动的轨道会因为起始条件的不同而分为三类即闭合轨道 (椭圆或圆)、抛物线轨道、双曲线轨道.中心势场中两个物体相对于他们质心的有心力运动总是能够归结为一个等效的一体问题.我们用有心力场的规律分析质点的运动状况 (如研究质点的守恒量、轨道方程以及其经典的运动特征)时,作了如下近似处理:假设太阳不动,忽略了行星之间的相互作用.这些近似处理是必要的,因为考虑了太多因素,那么问题求解很困难,有时甚至不能,作近似处理实际上抓住了主要因素忽略了次要因素.另外,近似处理所得结果必须与实验观测结果相符合,如果不符合,则要作进一步修正.

[1]戈德斯坦.经典力学[M].汤家镛,陈为询,译.上海:科学出版社,1985:101.

[2]王志刚,王耀华,王莉,等.开普勒定律的功绩[J].河北能源职业技术学院学报,2002,(1).

[3]江尻有乡.力学 15讲[M].朱为群,译.广州:中山大学出版社,1993:58.

[4]周衍柏.理论力学教程 [M].北京:高等教育出版社,1986:67.

[5]陈家森,谭树杰,汪宗禹,等.力学[M].上海:华东师范大学出版社,1985:170.

An Analyse theW ork of Lorentz Force by the Law of Conservation of Energy

L IANG Yu-Juan

(Department of Physics and Electron ics Engineering,Hechi Un iversity,Y izhou,Guangxi546300,Ch ina)

The Lorents force ofmoving charge in a magnetic field isf=qv×B,whose direction is always perpendicular to the direction of velocity and which does not do work;While the non-electrostatic force for the motional electromotive force is lorentz force,which doeswork on the charge.Do these two arguments conflict?How do we understand the two phenomena?How the Lorents force does work is analyzed and explained by the law of conservation of energy and transformation.

moving charge;Lorentz force;law of conservation of energy and transformation;work

G427

A

1672-9021(2010)02-0046-08

潘继环 (1972-),男 (壮族),广西都安人,河池学院物理与电子工程系讲师,主要研究方向:粒子物理和原子核物理理论.

2009-11-01

[责任编辑普梅笑 ]