有限李环的若干性质

孔荣

(湖北大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062)

1 引言及预备知识

由文献[1]可知：李环L是没有单位元的非结合环，它的乘积表示为[a,b]，且对于所有的a,b,c∈L满足：(1)[a,b]=0,(2)[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0.若李环L满足下列条件之一：(1)γc+1(L)=0,(2)L有一个长为c的中心列：L=L1≥L2≥…≥Lc≥Lc+1=0,即使得[Li,L]≤Li+1,其中i=1，2，…，c,(3)[x1,x2,…,xc+1]=0，则称L为幂零李环.本文中我们将幂零群的某些性质引入到李环中去，以李环及幂零李环的定义为基础，给出了Fitting子环、Frattini子环、李环L的非生成元、主列、以及李环满足理想化条件的定义.并对有限李环的幂零性的判定条件，李环中的Fitting定理以及Frattini子环的一些性质进行研究.

下面给出本文所需要的一些定义.

定义1 由李环L的所有幂零理想生成的子环称为L的Fitting子环，记为FitL.

定义2 设L为有限李环，若L≠0，令FratL为L的所有极大子环的交；若L=0，令FratL=0，则称FratL为L的Frattini子环.

定义3 如果由L=〈S，x〉可以推出L=〈S〉，其中S是L的一个子集，则称x为李环L的非生成元.

定义4 若李环列L=L0>L1>L2>…>Ls-1>Ls=0，满足：每个子环Li都是李环L的理想，且在Li-1和Li之间不能再插入L的另一个理想.即对i=1,…,s,Li-1/Li是L/Li的极小理想，则称此列为一个主列.

定义5 如果一个李环满足：它的每个真子环都小于它的理想化子，则称该李环满足理想化条件.

本文采用的记号和术语都是标准的，可参考文献[1].

2 定理的证明

2.1 幂零李环

定理1的证明设L是幂零李环，c是幂零类，则0=ζ0(L)≤ζ1(L)≤…≤ζc(L)=L,其中ζ(L)=ζ1(L).取i为最小正整数，使得N∩ζi(L)≠0成立.因为[N∩ζi(L)，L]≤[ζi(L),L]≤ζi-1(L),[N∩ζi(L),L]≤[N,L]≤N,从而，[N∩ζi(L),L]≤ζi-1(L)∩N=0,N∩ζi(L)≤N∩ζ1(L),所以0≠N∩ζi(L)=N∩ζ1(L).即N∩ζ(L)≠0.

定理2 幂零李环L的极小理想包含在它的中心内.

定理3 设I为幂零李环L的极大交换理想，则I=CL(I).

定理4 设L是有限李环，则下列条件等价：(1)L是幂零的;(2)L的每个子环都是次理想;(3)L满足理想化条件;(4)L是Engel李环.

[L，H]≤Hn-1,[L，2H]=[L，H，H]≤[Hn-1，H]≤[Hn-1，Hn-2]≤Hn-2,…,[L，nH]≤H0=H=〈x〉,[L，n+1H]≤[H,H]=0,任意y∈L,[y,n+1x]=0,故L是Engel李环.

(4)→(1).证明过程见文献[2].

2.2 Fitting子环

定理5 设M和N为李环L的幂零理想.若c和d分别为M和N的幂零类，则K=M+N是类至多为c+d的幂零李环.

定理6 设L是有限李环，则FitL是L的主因子的中心化子的交.

2.3 Frattini子环

定理7 李环L的Frattini子环等于L的所有非生成元组成的集合.

定理7的证明设x∈FratL,并且L=〈S,x〉.假设〈S〉≤M,与L=矛盾,故x是L的非生成元.反之，设x是L的非生成元，M是L的任意一个极大子环.假设x∉M,则L=〈M,x〉，但〈M〉=M≠L,与x是L的非生成元矛盾，所以必有x∈M.由M的任意性可知：x∈FratL.

定理8 设L为一个有限李环，则有：

(4)若A是L的交换理想，使得(FratL)∩A=0,则存在一个子环H，使得L=H+A，H∩A=0.

定理8的证明(1)因为N≤FratH,故N≤H.任取L的一个极大子环M，下证：(M+N)∩H=(M∩H)+N.显然(M∩H)+N⊆M+N,(M∩H)+N⊆H+N=H,因此(M∩H)+N⊆(M+N)∩H.反之，取(M+N)∩H中的任意一个元x,x=(m+n)∈(M+N)∩H,其中m∈M,n∈N.因为x∈H,m=x-n∈H+N=H,又m∈M,所以m∈M∩H.从而x=m+n∈(M∩H)+N.由x的任意性可知：(M+N)∩H⊆(M∩H)+N,故(M+N)∩H=(M∩H)+N成立.假设N≤/FratL,故存在L的某个极大子环M′,使得N≤/M′,L=M′+N,从而H=H∩L=H∩(M′+N)=(H∩M′)+N.注意到N≤FratH,由定理7可知：N是H的非生成元，所以H=H∩M′,H≤M′.从而：N≤M′,矛盾，故N≤FratL.

(2)利用(1)令N=FratK,H=K即可.

(3)设M≥N,且M是L的极大子环，Frat(L/N)=∩{M/N|M是L的极大子环}=((∩M)+N)/N≥((FratL)+N)/N.当N≤FratL时，等号显然成立.

参考文献：

[1] Evgenii Khukhro.Nilpotent groups and their automorphism[M].New York:de Gruyter,1993.

[2] Zel’Manov.On the restricted Burnside problem[J].Siberian Math J,1990,30:885-991.