中学数学要加强“形同质异”的辨析教学

●(保定外国语学校 河北保定 071000)

在数学教学中经常会遇到一类形式相同但本质相异的问题，学生极易受形似的迷惑将他们混为一谈,因此必须加强“形同质异”的辨析教学．具体说来，在平时练习或测试时可将这类问题放在一起讨论，通过认真对比分析，充分暴露出他们之间细微但又属于本质的差异，这必将大大提高学生分析问题、解决问题的能力．现举例说明之.

1 定义域与有意义

(1)f(x)在区间(-∞,1]上有意义；

(2)f(x)的定义域为(-∞,1].

请分别求出满足条件(1)和条件(2)的a的取值范围．

辨析与解答 不少学生误认为这2道题是一样的，其实截然不同．条件(1)只说f(x)在(-∞,1]上有意义，并未说明其定义域就是(-∞,1]．若定义域为集合A，则只能得到(-∞,1]⊆A．条件(2)则明确指出f(x)的定义域就是(-∞,1]，因此这2道题有着迥然不同的解法．

(1)由题意可得

或

于是

结合题意得

解得

2 函数值变化范围与函数值域

题组2 (1)函数y=3x2-(2m+6)x+m+3的值恒为非负数，求实数m的取值范围;

(2)函数y=3x2-(2m+6)x+m+3的值域为非负实数，求实数m的取值范围．

辨析与解答 这2道题实在太像了！但经仔细辨析，发现有本质差异：在第(1)小题中,“函数y=3x2-(2m+6)x+m+3的值恒为非负数”是指“当自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函数y的每一个值都必须大于等于0，但不一定要求y必须取到大于0的一切数”.而在第(2)小题中,“函数y=3x2-(2m+6)x+m+3的值域为非负实数”是指“当自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函数值必须且只能取到一切大于等于0的数”．由此可见，两者貌似相同，实则迥异．

(1)由题意得,y=3x2-(2m+6)x+m+3≥0(m∈R)恒成立,因此关于x的函数的二次项系数3>0，于是

Δ=(2m+6)2-4×3(m+3)≤0,

解得-3≤m≤0，故m的取值范围是[-3,0]．

(2)通过上面分析可知,应满足

Δ=(2m+6)2-4×3(m+3)=0，

解得

m=-3或m=0，

即使函数y=3x2-(2m+6)x+m+3的值域为非负实数的m的值为-3或0．

3 奇数位必须是奇数与奇数必须在奇数位

题组3 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取5个组成无重复数字的5位数.(1)奇数位必须是奇数；(2)奇数必须在奇数位．分别求出满足条件(1)和条件(2)的5位数的个数．

4 对任意x恒成立与存在x成立

题组4 (1)若任意x∈[1,3]，使得不等式mx2+(m-3)x-3>0恒成立，求实数m的取值范围;

(2)若存在x∈[1,3]，使得不等式mx2+(m-3)x-3>0恒成立，求实数m的取值范围．

辨析与解答 原不等式可化为

(x2+x)m>3(x+1).

由x∈[1,3]，得

x2+x>0，

从而

对于第(1)小题,由题意可得m>[f(x)]max=3.而对于第(2)小题,由题意可得m>[f(x)]min=1．这正与恒成立问题相反，很容易混淆，应注意区分，以免出错．

5 函数递增与数列递增

题组5 (1)设函数f(x)=x2+kx在[1,+∞)上是单调递增函数，求k的取值范围;

(2)若数列{an}的通项公式为an=n2+kn，且满足an

辨析与解答 乍看2道题似乎一样，我们注意寻求它们的“异”.第(1)小题的图像是连续的，而第(2)小题的图像是离散的，2道题都可以利用二次函数的图像求解，都是考虑对称轴与区间的关系，但是其区间是不同的。

6 单调区间与区间单调

题组6 (1)若函数f(x)=x2-(3a-1)x+a2在[1,+∞)单调递增，求实数a的取值范围;

(2)若函数f(x)=x2-(3a-1)x+a2的单调递增区间是[1,+∞)，求实数a的取值范围．

辨析与解答 单调区间与区间单调是2个截然不同的概念.若函数f(x)在区间M上具有单调性，则在M的任一区间上f(x)具有相同的单调性，单调区间是其中最大的区间．

7 定义域与值域

题组7 (1)若函数y=lg(ax2+2x+a)的定义域为R，求实数a的取值范围．

(2)若函数y=lg(ax2+2x+a)的值域为R，求实数a的取值范围．

辨析与解答 (1)函数y=lg(ax2+2x+a)的定义域为R，即无论x为何实数，ax2+2x+a>0恒成立.令f(x)=ax2+2x+a，则f(x)的图像应始终在x轴的上方，因此a>0且Δ=4-4a2<0，解得a>1．

(2)函数y=lg(ax2+2x+a)的值域为R，就是f(x)=ax2+2x+a要取遍一切正实数．当a=0时，f(x)=2x符合要求；当a>0时,Δ=4-4a2≥0，解得0

8 主元与次元

题组8 (1)对于任意x∈[0,4]，不等式x2+ax≥4x+a-3恒成立，求实数a的取值范围;

(2)对于任意a∈[0,4]，不等式x2+ax≥4x+a-3恒成立，求实数x的取值范围．

辨析与解答 (1)原不等式可转化为f(x)=x2+(a-4)x-a+3≥0恒成立．

综上所述，满足条件的a的取值范围是{a|a=2}．

(2)不等式可转化为对任意a∈[0,4]，不等式f(a)=(x-1)a+x2-4x+3≥0恒成立．

当x=1时，对任意a∈[0,4],f(a)=0，原不等式恒成立．

当x≠1时，只要f(x)min≥0即可，因此

解得

x≤-1或x≥3.

故满足条件的x的取值范围是{x|x≤-1或x=1或x≥3}．

9 以点P为切点的切线方程与过点P的切线方程

题组9 (1)已知y=2x-x3,求以点P(1,1)为切点的切线方程;

(2)已知y=2x-x3,求过点P(1,1)的切线方程．

辨析与解答 这2道题的区别在于：第(2)小题包含第(1)小题的情况，而且除此之外，还有经过点P但不以其为切点的切线方程．

(1)y′=2-3x2，于是k=-1，切线方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0为所求．

(2)当点P为切点时，同第(1)小题,可得切线方程为x+y-2=0．

当P不是切点时，设切点为Q(m,n),依题意可得

解得

因此以点Q为切点的切线方程为5x-4y-1=0．

综上所述，满足条件的切线方程为

x+y-2=0或5x-4y-1=0．

10 函数的自对称与两函数之间的对称题组10

(1)若函数y=f(x)满足f(x+a)=f(b-x)，则函数y=f(x)的对称轴方程是________;

(2)函数y=f(x+a)与函数y=f(b-x)的图像关于________对称．

辨析与解答 这2道题目极易混淆.事实上，第(1)小题是考查一个函数自身图像的对称性的．而第(2)小题则是考查2个函数图像之间的对称性的．

(1)在函数y=f(x)的图像上任取一点P(x0+a,y0),得

y0=f(a+x0)=f(b-x0)，

(2)在函数y=f(x+a)的图像上任取一点P(x0,y0),得

y0=f(a+x0)=f[b-(b-a-x0)]，

题组11 已知函数y=f(x).

(1)若f(x)的定义域为[2，3]，求f(x+1)的定义域；

(2)若f(x+1)的定义域为[2,3]，求f(x)的定义域.

辨析与解答 对于第(1)小题,学生一般都知道该怎么做,而对于第(2)小题,许多学生不知道由函数f(x+1)的定义域如何求f(x)的定义域.其原因是:他们不明白在同一法则下,作用的对象可以不同,但对象的范围必须相同.

(1)由f(x)的定义域为[2,3],得

2≤x+1≤3,

从而1≤x≤2,因此f(x+1)的定义域[1,2].

(2)由f(x+1)的定义域为[2，3]，得

2≤x≤3，

即

3≤x+1≤4，

于是f(x)的定义域为[3,4]．

在数学中,“形同质异”的问题是大量存在的，而学生对此往往有一种“亲切”感，易于产生放松麻痹的心态，从而造成解题失误.在教学中,通过对“形同质异”问题的对比与研究，透过“外貌”颇似的表层，必定能使学生逐渐澄清各种模糊概念，深入认识实质，深化巩固并掌握知识，防止知识负迁移，从而能够从各种“形式相同”的问题中抓住“实质不同”的要害，找到解决问题的正确途径．