一个逆向的Hilbert型积分不等式

黄臻晓

(湛江师范学院基础教育学院，广东湛江 524300)

一个逆向的Hilbert型积分不等式

黄臻晓

(湛江师范学院基础教育学院，广东湛江 524300)

通过引入参数及估算权系数,建立一个具有混合核的逆向Hilbert型积分不等式,并证明其常数因子为最佳值.作为应用,给出了相应的等价形式及一些特殊结果.

Hilbert型积分不等式; 权函数; 等价形式; Hölder不等式

(1)

(2)

本文应用文献[7]由估算权系数建立逆向不等式的思想方法,建立一个含参量的核为

的Hilbert型积分不等式,并给出其等价式及一些特殊结果.

1 引理

引理1 设c>0,b>-c,定义权函数为

(3)

(4)

(5)

证明在式(3)、(4)中作变换u=x/y,经查积分表,可算得

故式(5)成立,证毕.

引理2 设c>0,b>-c,0<ε

(6)

在式(3)中作变换u=x/y,由式(5),有

及

故式(6)成立,证毕.

则有

(7)

故式(7)成立,证毕.

2 主要结果

(8)

这里,常数因子

为最佳值.

特别地,当b=c=1时,有

(9)

证明由带权的逆向Hölder不等式[3]及式(3)、(4)，有

(10)

若式(10)中间取等号,则有不全为零的常数A和B,

使得Afp(x)=bgq(y) a.e.于(0,∞)×(0,∞).即存

如式(8)中的常数因子k不是最佳值,则存在常数K≥k,使式(8)的常数因子k换上K后仍成立.即有

由极限保号性,有k≥K(ε→0+).故K=k是式(8)的最佳值.

(11)

(12)

这里,常数因子kp及kq为最佳值.特殊地,当b=c=1时,有如下不等式:

(13)

(14)

证明显然,由条件,有J>0,若J=∞,则式(11)自然成立;若0

(y>0),

则由式(8),有

故式(11)成立.

反之,若式(11)成立, 配方并应用逆向的Hölder不等式,有

(15)

再由式(11),可得式(8).故式(8)与式(11)等价.

若式(11)中常数因子kp不是最佳值,则由式(15)易得式(8)中常数因子也不是最佳值的矛盾.证毕.

易见fn(x)>0 (n≥n0).由式(8)，注意到q<0,有

反之,设式(12)成立,配方并应用逆向的Hölder不等式,有

(16)

再由式(12),可得式(8).故式(12)与式(8)等价,因而式(8)、(11)与(12)相互等价.易由式(16)及反证法证明式(12)的常数因子也是最佳值.证毕.

致谢作者衷心感谢杨必成教授的指导与帮助！

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[6] 黄臻晓. 一个-4齐次核的Hilbert型积分不等式[J].华南师范大学学报:自然科学版,2009(2):20-23.

HUANG Zhenxiao. A new Hilbert-type inequality with the kernel of-4-order homogeneous[J]. Journal of South China Normal University:Natural Science Edition, 2009(2):20-23.

[7] 杨必成.一个-3齐次核的Hilbert型积分不等式[J].云南大学学报:自然科学版,2008,30(4):325-330.

YANG Bicheng. A Hilbert-type integral inequality with the kernel of -3-order homogeneous[J]. Journal of Yunnan University:Natural Science Edition, 2008,30(4):325-330.

[8] 杨必成. 一个新的Hilbert型不等式[J].上海大学学报:自然科学版,2007,13(3):274-278.

YANG Bicheng. A new Hilbert-type inequality[J]. Journal of Shanghai University:Natural Science Edition,2007,13(3):274-278.

[9] 王爱珍, 杨必成. 一个逆向Hilbert型不等式的最佳推广[J].武汉大学学报:理学版,2008,54(3):275-278.

WANG Aizhen, YANG Bicheng. A best generalization of reverse Hilbert-type inequality[J]. J Wuhan Univ: Natural Science Edition, 2008,54(3):275-278.

Keywords： Hilbert-type intergral inequality; weight function; equivalent form; Hölder’s inequality

【责任编辑 庄晓琼】

AREVERSEHILBERT’STYPEINTEGRALINEQUALITY

HUANG Zhenxiao

(College of Basic Education, Zhanjiang Normal University, Zhanjiang, Guangdong 524300，China)

By introducing some parameters and estimating the weight function, a reverse Hilbert-type integral inequality with a mixed kernel and a best constant factor is given. Furthermore, the equivalent forms and some particular results are also considered.

2009-10-12

广东省高校自然科学重点研究项目(05Z026)

黄臻晓(1968—)，女，广东湛江人，湛江师范学院高级讲师，主要研究方向：解析不等式，Email: sjxhzx @126.com.

1000-5463(2010)02-0032-04

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